Kitabı oxu: «Estadística aplicada a la ingeniería y los negocios», səhifə 3

Solución

p₁: Proporción muestral de vehículos, atendidos en el local de Miraflores, que funcionan a gas natural.

p₂: Proporción muestral de vehículos, atendidos en el local de Santiago de Surco, que funcionan a gas natural.

Dado que:

donde

Luego, la probabilidad solicitada es P(p₁ - p₂ ≥ 0.10) = 0.2732

PROBLEMAS RESUELTOS

1. En cada uno de los casos que se presentan a continuación, defina y/o identifique adecuadamente, de acuerdo al contexto del caso, según se solicite:

Caso de estudio:	Empresa de electrodomésticos
El gerente de ventas de una empresa de electrodomésticos realizó un estudio dirigido a los clientes potenciales de electrodomésticos en relación con los siguientes aspectos: • Marca de electrodomésticos preferida. • Número de televisores que posee en el hogar. • Monto total pagado en la última compra de electrodomésticos. • Nivel de prioridad para adquirir un televisor de ultra alta definición (UHDTV). Para la realización del mencionado estudio se aplicó una encuesta a 360 clientes potenciales, los cuales fueron ubicados en sus hogares, residentes en los principales distritos de la zona norte de Lima metropolitana. Se ha estimado que en los distritos seleccionados existen aproximadamente 276 000 hogares que cumplen con el perfil socioeconómico requerido para el estudio y que podrían ser seleccionados para este.
Unidad de análisis	Cliente potencial residente en alguno de los principales distritos de la zona norte de Lima metropolitana.
Unidad de muestreo	Hogar familiar de alguno de los principales distritos de la zona norte de Lima metropolitana.
Población	Clientes potenciales residentes en los principales distritos de la zona norte de Lima metropolitana (276 000).
Muestra	Existen 360 clientes potenciales residentes en los principales distritos de la zona norte de Lima metropolitana.
Tipo de muestreo	Se debería utilizar un muestreo estratificado, por distrito, luego aplicar un muestreo aleatorio simple o sistemático.
Clasificación de las variables	• Marca: cualitativa nominal. • Núm. de televisores: cuantitativa discreta. • Monto: cuantitativa continua. • Prioridad UHDTV: cualitativa ordinal.

Caso de estudio:	Banca virtual
El gerente del área de sistemas de una entidad bancaria realizará un estudio dirigido a los clientes, de los diversos tipos de cuentas (libre costo, máxima y rendidora) y que han descargado el aplicativo de banca virtual, en relación con diversos aspectos del servicio brindado. Para el estudio se encuestará a 320 de los mencionados clientes. Entre los principales objetivos del estudio se pueden mencionar los siguientes: i. Conocer el nivel de satisfacción con el servicio de banca virtual. ii. Estimar el tiempo que se ahorra el cliente gracias al servicio de banca virtual.
Unidad de análisis	Cliente de la entidad bancaria, de alguno de los tipos de cuenta, que haya descargado el aplicativo de banca virtual.
Marco muestral	Base de datos de los clientes.
Muestra	Los 320 clientes de la entidad bancaria, de alguno de los tipos de cuenta, que hayan descargado el aplicativo de la banca virtual.
Tipo de muestreo	Se debería utilizar un muestreo estratificado, por tipo de cuenta, para luego aplicar un muestreo aleatorio simple o sistemático.
Estadísticos que se deben obtener	• Proporción muestral de clientes satisfechos con el servicio de la banca virtual. • Media muestral del tiempo ahorrado por el cliente.

2. El gerente de una empresa constructora ha programado la realización de un estudio dirigido a los propietarios de departamentos del conjunto habitacional El Robledal, el cual fue entregado en su totalidad a sus propietarios hace un poco más de un año. El conjunto habitacional se encuentra compuesto por doce edificios de dos tipos distintos. A continuación se presenta una descripción del conjunto habitacional:

Se encuestó a cuarenta de los propietarios de departamento registrados en el conjunto habitacional El Robledal (se asume un propietario por cada departamento). A los propietarios seleccionados se les consultó sobre diversos aspectos (condición laboral, número de miembros de familia, nivel de satisfacción con el servicio de guardianía y consumo de energía eléctrica en los departamentos de los propietarios), y a partir de las respuestas brindadas se elaboró un informe, del cual se presenta el siguiente extracto:

En base a la muestra se ha determinado que el 80 % de propietarios son trabajadores dependientes, y que los miembros de familia de los propietarios son en promedio 4.25 personas, y el 65 % de los propietarios encuestados se encuentran entre satisfechos y muy satisfechos con el servicio de guardianía del conjunto habitacional. De acuerdo a la inspección de los medidores de energía eléctrica se ha determinado que los departamentos de los propietarios presentan un consumo promedio de 1240 kwh/mes.

a) Defina a la población del presente estudio, e indique cuál es el tamaño de dicha población.

Solución

La población se encuentra conformada por todos los propietarios de departamentos del conjunto habitacional El Robledal.

El tamaño de la población es la suma de propietarios (departamentos) que hay en los edificios A y B que conforman el conjunto habitacional.

N = 144 + 40 = 184 departamentos.

b) Determine la fracción de muestreo del estudio realizado.

Solución

c) Si se señala que el número de propietarios seleccionados para el estudio se repartirán en forma proporcional por cada edificio, ¿qué tipo de muestreo se estaría trabajando? Justifique.

Solución

Se estaría trabajando un muestreo estratificado, ya que el tamaño de la muestra se reparte en forma proporcional entre cada estrato (edificio).

d) ¿Los valores presentados en el informe son estadísticos o parámetros? Justifique.

Solución

Los valores presentados en el informe son estadísticos, ya que son medidas resumen obtenidas a partir de una muestra.

e) De acuerdo con el informe presentado, identifique las características (variables) involucradas y su respectiva clasificación (tipo de variable). Además, señale el parámetro correspondiente a dichas características.

Solución

Característica	Tipo variable	Parámetro
Condición laboral	Cualitativo nominal	Proporción poblacional según condición laboral de los propietarios.
N° de miembros de familia	Cuantitativo discreto	Media poblacional del número de miembros de familia de los propietarios.
Nivel de satisfacción con el servicio de guardianía	Cualitativo ordinal	Proporción poblacional según nivel de satisfacción con el servicio de guardianía.
Consumo de energía eléctrica	Cuantitativo continua	Media poblacional del consumo de energía eléctrica en los departamentos de los propietarios.

Teorema central del límite

3. La empresa Computer System S.A.C. vende baterías externas para dispositivos móviles, el fabricante de las baterías externas ha establecido que el tiempo de descarga total de una batería completamente cargada, cuando es conectada a una ultrabook, es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con media 6 horas. Suponga que se selecciona una muestra de 64 baterías externas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de descarga de las baterías externas que conforman la muestra se encuentre entre 350 y 400 horas?

Solución

X: Tiempo de descarga, en horas, de las baterías externas.

X ~ Exp(β = 6), donde E(X) = 6 horas, V(X) = (6 horas)²

: Media muestral del tiempo de descarga, en horas, de las baterías externas.

n = 64 baterías externas.

Por el teorema central del límite:

Donde:

Luego, la probabilidad solicitada es:

b) ¿Cuántas baterías externas deberían seleccionarse para que exista una probabilidad de 0.10, de que la media muestral del tiempo de descarga sea mayor a 7.11 horas?

Solución

: Media muestral del tiempo de descarga, en horas, de las baterías externas.

n = ¿?

Por el teorema central del límite:

Estandarizando,

Luego, se solicita determinar el valor de n, tal que: P( ≥ 7.11) = 0.10

Luego:

Se deben seleccionar 48 baterías externas, aproximadamente.

4. La Superintendencia de Banca y Seguros ha determinado que el número de tarjetas de crédito que poseen las personas pertenecientes a la población económicamente activa (PEA) presenta la siguiente distribución de probabilidades:

N° tarjetas de crédito xi	Probabilidad P(xi)
0	0.11
1	0.14
2	0.35
3	0.24
4	0.16

a) ¿Cuál es la media y la varianza de la distribución del número de tarjetas de crédito?

Solución

Media:

μ = 0(0.11) + 1(0.14) + 2(0.35) + 3(0.24) + 4(0.16)

μ = 0 + 0.14 + 0.70 + 0.72 + 0.64 = 2.2 tarjetas de crédito.

Varianza:

σ² = V(X) = E(X²) - [E(X)]²

σ² = [0²(0.11) + 1² (0.14) + 2² (0.35) + 3² (0.24) + 4² (0.16)] – (2.2)²

σ² = [0 + 0.14 + 1.40 + 2.16 + 2.56] – 4.84 = 6.26 – 4.84

= 1.42 tarjetas de crédito².

b) Si se seleccionan a 32 personas pertenecientes a la PEA, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del número de tarjetas sea de a lo más 2 unidades?

Solución

Aplicando el teorema central del límite: ~ N(2.2;0.21065²)

Donde:

Luego, la probabilidad solicitada es: P( ≤ 2) = 0.1712

Distribución de la media muestral()
Población normal con σ conocida o con σ desconocida

5. En una sala de cine se realizó un estudio dirigido a todos los tipos de asistentes, cuyo principal interés era analizar el gasto por asistente (S/. asistente) en bocaditos y refrescos. De un estudio anterior se ha determinado que el gasto por asistente, en bocaditos y refrescos, presenta una distribución normal con media S/. 18.9 por asistente y una desviación estándar poblacional de 2.50 (S/. asistente).

a) Se han seleccionado 16 asistentes. Calcule la probabilidad de que la media muestral del gasto, en bocaditos y refrescos, sea de a lo más S/. 20 por asistente.

Solución

X: Gasto por asistente (S/. /asistente) en bocaditos y refrescos.

Luego, la probabilidad solicitada es: P( ≤ 20)

P( ≤ 20) ≈ 0.9608

Conclusión: La probabilidad de que la media muestral del gasto por asistente, en bocaditos y refrescos, sea de a lo más S/. 20 por asistente es de 0.9608, aproximadamente.

b) Se han seleccionado 25 asistentes. Calcule la probabilidad de que el gasto total, en bocaditos y refrescos, de los 25 asistentes se encuentre entre S/. 460 y S/. 490.

Solución

x: Gasto por asistente (S/. /asistente) en bocaditos y refrescos.

Calcular:

P(18.4 ≤ ≤ 19.6) = 0.760588

Conclusión: La probabilidad de que el gasto total conjunto, en bocaditos y refrescos, por parte de los 25 asistentes se encuentre entre S/. 460 y S/. 490 es de 0.7606, aproximadamente.

c) Suponga que la varianza poblacional del gasto por asistente, en bocaditos y refrescos, es: (S/. / asistente)². Determine la cantidad de asistentes que se deberían seleccionar, de tal forma que haya una probabilidad de 0.01 de que la media muestral del gasto por asistente, en bocaditos y refrescos, sea de por lo menos S/. 20.4 por asistente.

Solución

: Media muestral del gasto por asistente en bocaditos y refrescos.

μ = 18.9 (S/. / asistente), σ = 3 (S/. / asistente), n = ¿?

Se solicita calcular n, tal que: (P( ≥ 20.4) = 0.01

Entonces: asistentes.

6. El gerente de una empresa dedicada a la venta de electrodomésticos se encuentra analizando un lote de planchas verticales a vapor marca Sliza. La mencionada plancha vertical presenta las siguientes características:

– Potencia máxima: 2750 W (vatios)

– Caudal de vapor constante: 40 gr/min

– Caudal de súper vapor: 180 gr/min

De acuerdo a las especificaciones del fabricante se sabe lo siguiente:

i. El caudal de vapor constante presenta una distribución normal con media 40 gr/min y una desviación estándar de 0.3 gr/min

ii. El caudal del súper vapor presenta una distribución normal con una desviación estándar de 1.8 gr/min

a) Se selecciona al azar una muestra de 30 planchas verticales para determinar el caudal promedio de vapor constante, si dicho valor promedio difiere de la media poblacional en por lo menos 0.15 gr/min, entonces, no se acepta el lote inspeccionado. ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace el lote de planchas verticales?

Solución

X: Caudal (en gr/min) de vapor constante de la plancha vertical a vapor.

Se solicita calcular la probabilidad de rechazar el lote: P(| - μ | ≥ 0.15)

P(| − μ |≥ 0.15) = P( − 40 ≤ −0.15) + P( −40 ≥ 0.15) = P( ≤ 39.85) + P( ≤ 40.15) = 0.0031 + 0.0031 = 0.0062

Conclusión: existe aproximadamente una probabilidad de 0.0062 de que se rechace el lote de planchas verticales a vapor, de acuerdo a la inspección realizada.

b) ¿Cuál es el valor de la media poblacional del caudal de súper vapor, tal que exista una probabilidad de 0.90 de que la media a obtenerse a partir de una muestra de 60 planchas verticales sea de a lo más 178.8?

Solución

X: Caudal (en gr/min) de súper vapor de la plancha vertical

Obtener , tal que: P( ≤ 178.8) = 0.90

Conclusión: la media poblacional del caudal de súper vapor es de aproximadamente 178.5 gr/min.

7. En un conjunto habitacional se determinó que el consumo mensual de electricidad en los departamentos de vivienda se distribuye en forma normal con una media de 1270 kwh/mes, y con una varianza poblacional desconocida pero estimada en 3600 (kwh/mes)². En dicho conjunto habitacional se seleccionó una muestra de 34 departamentos de vivienda.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que presenten una media muestral, asociada al consumo mensual de electricidad, entre 1265 y 1275 kwh/mes?

Solución

X: Consumo mensual de energía eléctrica de los departamentos de vivienda del conjunto habitacional.

n = 34, μ = 1270 kwh/mes,

: Media muestral del consumo mensual de energía eléctrica de los departamentos de vivienda del conjunto habitacional.

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(1265 ≤ ≤ 1275)

b) Se ha señalado que existe una probabilidad de 0.95 de que la media muestral del consumo de energía eléctrica sea de a lo más k kwh/mes; determine el valor de k.

Solución

El valor de k solicitado verifica la siguiente relación: P( ≤ k) = 0.95

Se tiene que:

8. Una pequeña empresa de productos lácteos dispone de camionetas frigoríficas para realizar el reparto de sus productos. Se sabe que la carga (peso) con que se despachan las camionetas frigoríficas se distribuye en forma normal con una media de 1.68 toneladas métricas (TM), y no se conoce el valor de la varianza poblacional pero se ha determinado que esta se estime a partir de los resultados de una muestra compuesta por los últimos 40 despachos realizados. Con estos 40 despachos se determinó lo siguiente:

a) ¿Cuál es el valor de la varianza muestral que se considerará para los análisis por realizar?

Solución

Se calcula la varianza muestral:

Por lo tanto:

b) Si se selecciona una muestra de 16 despachos de las camionetas frigoríficas, determine la probabilidad de que la media muestral de la carga difiera en a lo más 0.07 TM de la media poblacional correspondiente.

Solución

: Media muestral de las cargas (TM) de despacho de las camionetas frigoríficas.

μ = 1.68 TM, S_X = 0.14 TM, n = 16.

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(| − μ |≤ 0.07)

Distribución de la varianza muestral

9. En un estudio destinado a estimar los montos mensuales que pagan los usuarios de tarjetas de crédito, se sabe que la desviación estándar poblacional es de S/. 120. Calcule la probabilidad de que la desviación estándar muestral asociada a los montos de pago que realizan 31 usuarios de tarjetas de crédito sea por lo menos S/. 150.

Solución

S_X : Desviación estándar muestral de los montos de pago de las tarjetas de crédito σ = S/. 120, n = 31

Se sabe que:

Se solicita calcular: P(S ≥ 150)

10. En las cajas rápidas de un supermercado se realizará un análisis de los tiempos de atención. Si sobre la base de una muestra de 37 clientes se ha determinado que existe una probabilidad de 0.983 de que la varianza muestral sea a lo más 2500 segundos², ¿cuál es el valor de la varianza poblacional de los tiempos de atención que permitió el cálculo de dicha probabilidad?

Solución

: Varianza muestral de los tiempos de atención de los clientes en las cajas rápidas σ = ? segundos, n = 37.

Se sabe que:

Se solicita calcular σ², tal que: P(S² ≤ 50²) = 0.983

Entonces: segundos²