Kitabı oxu: «(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг»

Jo Boaler

MATH-ISH

Finding Creativity, Diversity, and Meaning in Mathematics

© Jo Boaler, 2024

© Поникаров Е. В., перевод на русский язык, 2025

© Издание на русском языке, оформление. ООО «Издательство АЗБУКА», 2025 КоЛибри®

⁂

Математика —

это ключ и дверь ко всем наукам.

Галилео Галилей

Эта книга посвящается моей племяннице Имоджен (1995–2021), а также Джулии, Вику и Алексу.

Ими, ты всегда с нами

1. Новые отношения с математикой

Меня пригласили на ужин в дорогой ресторан: предполагалась встреча с генеральным директором крупной социальной сети и его женой. Я нервничала, оказавшись за столом роскошного ресторана, типичного дорогого заведения Кремниевой долины, размышляя, что принесет этот вечер. Организовать встречу помог один из моих друзей, который был знаком с женой генерального директора. Друг знал о моей деятельности по улучшению преподавания математики и решил, что пообщаться с таким руководителем будет полезно. После нескольких лет жизни и работы в Кремниевой долине я поняла, что подобная коммуникация – часть структуры этого региона и одна из причин развития инноваций и роста производительности.

Начало ужина обескураживало. Раньше я не сталкивалась ни с чем подобным: генеральный директор вел себя так, словно больше за столом никого не было. Он постоянно разговаривал по телефону с коллегами и деловито составлял рабочие планы, вынув из портфеля стопку рабочих документов. Такое поведение, намеренное или нет, заставляло всех нас ощущать собственную незначительность. Его жена выглядела смущенной и раз за разом бросала взгляд в сторону импровизированного офиса мужа на углу нашего стола. Это продолжалось, пока не принесли еду, и директор вынужденно закончил работу. В середине ужина он признал мое существование. Оторвав глаза от еды, генеральный директор пристально посмотрел на меня и с неодобрением спросил: «Значит, вы считаете, что преподавание математики стоит менять?»

Без малейшей паузы он принялся рассказывать, как хорошо у него было с математикой, перечисляя свои многочисленные достижения в школе и в колледже. В этот момент я поняла, что разговор будет непростым. Я многие годы пыталась улучшить преподавание этого проблемного у многих предмета и знала, что люди, добившиеся в нем успеха, обычно считают, что ничего менять не нужно. В их представлении математика – дело сложное, а их собственные успехи доказывают их блестящие способности. Но вам следует знать обо мне одну вещь: я готова бороться за то, что считаю реальными проблемами, с которыми сталкиваются многие учащиеся. Я решила познакомить директора с другой математикой.

Рис. 1.1. Автор демонстрирует предложенную Рут Паркер модель увеличивающихся фигур, которая показана на рис. 1.2.

Я рассказала, что нейробиологи установили, каким образом наш мозг обрабатывает математические данные, и почему важен тот факт, что при математическом мышлении мы задействуем различные участки мозга, особенно зрительные пути. Он согласился взглянуть на диаграммы, которые я часто использую при знакомстве с новыми людьми. Я выбрала одну из своих любимых, предложенную преподавателем математики Рут Паркер (рис. 1.1 и 1.2).

Рис. 1.2. Модель увеличивающихся фигур Рут Паркер.

Обычно такие диаграммы используются, чтобы учащиеся задумались о закономерностях увеличения числа клеток и сумели выразить их с помощью алгебраических символов. На уроках математики ученикам часто задают вопросы по типу: «Сколько квадратиков будет на фигуре 10? А на фигуре 100? А на фигуре n?» Это хорошие вопросы, которые становятся намного понятней, когда задействовано визуальное мышление. Обычно преподаватель ожидает, что ученики нарисуют таблицу с числами, а затем будут глазеть на нее, пока не заметят какую-нибудь связь. Здесь можно обнаружить числовую закономерность: чтобы найти количество квадратиков фигуры, достаточно взять ее номер (например, 2), прибавить к нему единицу (3), а затем возвести это число в квадрат и получить 9. Прибавление единицы и возведение суммы в квадрат позволяет найти общее количество квадратиков в любой из фигур. Алгебраически эту закономерность можно выразить как (n + 1)².

Выражение (n + 1)² является квадратичной функцией. Когда ученики работают подобным образом – манипулируют числами и символами без связей и смысла, – они упускают важные возможности для понимания математических функций. На своих занятиях я не спрашиваю, сколько квадратиков в разных фигурах. Вместо этого я говорю: «В каком месте, по-вашему, увеличивается фигура? Где вы видите на ней новые квадратики?» Именно эти вопросы я и задала в тот вечер генеральному директору.

Количество квадратиков в каждой фигуре

Его ответ удивил меня. Дело не в том, что генеральный директор не видел способ роста; он видел и мог его описать: новые квадраты находились на верху каждого столбца. Другие люди называют это методом «дождя»: квадраты добавляются к фигуре сверху, словно капли, падающие с неба. На рисунке 1.3 показан не только этот метод, но и другие способы, как люди воспринимают рост фигуры на диаграммах.

Но, объяснив свое восприятие, директор задал мне вопрос, который мне не доводилось слышать раньше. С искренней растерянностью в голосе он спросил: «А разве не увеличение размеров разными способами. все видят это именно так?» Я не стала отвечать ему «нет», а просто попросила всех людей за столом сообщить, как они видят увеличение фигуры. Оказалось, что все наблюдают рост по-разному. Директор выглядел все более шокированным, словно ему никогда не приходило в голову, что в математике существует не одно ви́дение. Он недоуменно покачал головой. Мы завладели его вниманием.

Рис. 1.3. Люди видят и описывают

Чтобы продвинуться дальше в математике, очень важно изменять вопросы. Когда ученики сталкиваются с узким числовым вариантом и смотрят на таблички с числами, устанавливая закономерности и подбирая алгебраические выражения, они могут прийти к (n + 1)², но они не понимают, почему это выражение работает или что оно означает. Когда мы спрашиваем учеников, каким образом они воспринимают рост фигуры, это способствует более глубокому пониманию такой функции. Они могут визуально проследить, что количество квадратиков растет как квадрат, который всегда на единицу больше, чем номер фигуры. Нагляднее всего это демонстрирует последний метод на рисунке 1.3. Вот почему мы можем описать рост как (n + 1)².

Далее, в процессе ужина, я рассказала об интересующей меня ценности математического разнообразия, которое вытекает из важных нейронаучных исследований. Термин разнообразие означает различие, множественность. В этой книге я буду использовать термин математическое разнообразие для различных способов, с помощью которых мы можем смотреть на математику и изучать ее, подобно тому, как мы оперируем понятием «разнообразие людей» (расовое, культурное, социальное или любое другое). Я также буду говорить о ish-математике¹, чтобы описать способ восприятия этого предмета, который мы используем в реальном мире и который может стать мощным инструментом для развития мышления студентов. Принятие этих концепций математического разнообразия и ish-математики – это ключ к богатому пониманию математики, который в равной степени значим для всех, независимо от образования, пола, расовой или этнической принадлежности и так далее.

Исследования показывают, что разнообразие учащихся является важнейшим фактором для сотрудничества, решения проблем, сопереживания, успехов и многого другого¹. Ученые также пришли к выводу, что, когда математика воспринимается как предмет, на который можно смотреть по-разному и искать различные решения, это приводит к более высокой успеваемости, большей мотивации и удовольствию². Эти два аспекта разнообразия (математическое и человеческое) самостоятельны, но при этом прекрасно сочетаются, усиливая и поддерживая друг друга. Если мы хотим ценить то, что люди думают по-разному, и поощрять это, нам следует отказаться от узкой математики – той единственной, которую знает подавляющее большинство. Напротив, мы должны принять математическое разнообразие.

В тот вечер генеральный директор был поражен многоплановым подходом, которого часто не хватает в школах и домах – а это серьезно ухудшает отношения людей с математикой. Некоторые люди могут добиться успеха, используя узкую одномерную версию математики, но даже они упускают весь спектр и силу этой науки. Когда люди вовлекаются во все многообразие, это меняет восприятие информации, с которой они сталкиваются, – числовой, пространственной или связанной с данными.

Другой путь

Я профессор Стэнфордского университета, однако начинала карьеру с преподавания математики в лондонских школах. Сначала работала учительницей в Хаверстоке – средней школе в районе Камден-таун в центре Лондона³. Камден – колоритный и красивый, но недостаточно обеспеченный район; большинство учеников здесь происходят из семей, получающих материальную помощь для аренды жилья, и имеют право на бесплатное школьное питание. Когда я преподавала в Хаверстоке, ученики говорили более чем на сорока разных языках. Удивительное разнообразие.

Окончив Лондонский университет, я пошла работать в школу, преисполненная идей, каким образом показывать ученикам красоту и радость математики. Школьникам в классе было по тринадцать лет, и их только что разделили на группы по способностям. Мне досталась самая слабая – группа 4. Здесь я познакомилась с дерзкой ученицей Сью: позже я узнала, что она была на грани исключения из школы. Она открыто в школе Хаверсток (Лондон). не соглашалась с некоторыми идеями учителей, из-за чего ее часто отстраняли от уроков. В мой первый рабочий день Сью с фирменным нахальным выражением лица и блеском в глазах громко спросила: «А нам-то это зачем?»

Рис. 1.4. Мой первый день преподавания

Я медлила с ответом. Будучи новичком на своем первом в жизни уроке, я не знала, что сказать. Вопрос школьницы был вполне обоснован. В британской системе ученики, оказавшиеся в низких группах, могут получить на экзаменах только низкие оценки. Самая высокая оценка, на которую школьники из моего класса могли претендовать на государственных экзаменах, предстоявших через три года, – D². Для большинства профессий и получения высшего образования требуется оценка C или выше. Если ученики слышат странный громкий звук в момент попадания в низкие группы, то это, вероятно, звук захлопывающихся дверей – дверей, которые могли бы вести к более светлому будущему. В тот момент я решила, что буду обучать Сью и ее ровесников на более высоком уровне. Через три года Сью получила оценку, необходимую для карьеры, и решила учиться звукорежиссуре. Сейчас она владеет и управляет крупными музыкальными и развлекательными компаниями на Бали.

Когда Сью впервые оказалась у меня на уроке, она полагала, что не способна к математике. Ей приходилось преодолевать трудности как дома, так и в школе – включая то, что ее отнесли к самой слабой группе. Несмотря на это, она смогла преуспеть в этой науке, а вместе с тем и изменить свою жизнь. Позже она рассказывала в прессе, что до достижений в математике она считала, что никогда в жизни не добьется каких-либо значимых результатов.

За прошедшие с тех пор годы я учила многих людей тому же, чему учила школьников в Хаверстоке, – подходу к математике, который ведет к успеху. Все начинается с математического разнообразия – признания ценности разных способов смотреть на математику и думать о ней. Уже одно это способно превратить школьный предмет из узкого, негибкого занятия в разнообразный, доступный и динамичный опыт. Это также подразумевает «ish»-подход к математике, но подробнее о нем я расскажу позже.

Узкая математика

Многие знают не понаслышке, какой вред наносит отсутствие математического разнообразия в школьной системе. Я называю это узкой математикой. В рамках этой концепции задачи имеют лишь один подходящий метод и единственный ответ.

Они всегда числовые, никогда не привлекают визуальные образы, объекты, движения или творчество. Большинство людей сталкивались только с узкой математикой – именно поэтому в нашей стране так много учеников, испытывающих страх перед этим предметом⁴. Один из примеров отрицательного влияния такого подхода мы можем найти в системе колледжей. В примечательной статье в New York Times журналист Кристофер Дрю рассказал, что каждый год учащиеся поступают в колледжи с четырехлетним обучением, намереваясь изучать одну из дисциплин STEM – естественные науки (Science), технологию (Technology), инженерию (Engineering) и математику (Mathematics)⁵. Однако после окончания вводного курса, который Дрю описывает как «вихрь анализа³, физики и химии», ошеломительные 60 % меняют выбранную дисциплину. Дрю цитирует Дэвида Голдберга, заслуженного профессора инженерии, который называет это «маршем смерти⁴ в математике и естественных науках».

Дрю приводит в пример Мэтью, который в старшей школе⁵ занимался анализом, прошел пять курсов углубленного изучения математики и набрал 800 баллов по этому предмету в тесте SAT⁶. Он поступил в колледж, намереваясь стать инженером, и надеялся встретить интересный материал, на который можно смотреть под различными углами. Как будущий инжеи естественных науках (Лондон). нер, Мэтт ожидал, что занятия будут полностью прикладными. Вместо этого его заставляли заучивать уравнения и формулы, учеба ограничивалась лишь теоретической частью. Парень настолько разочаровался узкими способами подачи материала, что сменил свою основную специальность, выбрав психологию, где студенты могли высказывать свои идеи и рассматривать одну и ту же концепцию по-разному.

Рис. 1.5. Марш смерти в математике

Узкая математика не только отталкивает талантливых школьников от программ STEM, но и оказывает разрушительное воздействие на студентов, которым необходимо сдавать математику для продолжения образования – вне зависимости от выбранного направления. Примерно 40 % американских учащихся поступают в общественные колледжи⁷, где им приходится сдавать тесты по материалам курса Алгебра 2⁸. 80 % этих людей вынуждены посещать коррекционные курсы⁹ по математике, которые часто подают материал таким же образом, как в средней школе, – опираясь лишь на теоретическую базу, быстро и неструктурированно. В Калифорнии свыше 170 000 учащихся направляются на коррекционные курсы по математике, причем более 110 000 не справляются с ними или бросают их, из-за чего не могут продолжить обучение в колледже⁶.

Узкая математика лишает надежды и мечты миллионы студентов колледжей. Это не только проблема для молодежи, но и серьезная угроза для американского общества, ставящая под сомнение будущее экономики, развитие науки, техники, медицины и искусства⁷. Действительно, эти факты настолько драматичны, негативны и значимы, что я удивлена, почему они не побудили федеральные власти и власти штатов принять меры по запрету узкой математики, изгнав ее из старшей школы и колледжей.

Проблема, на которую указывают приведенные факты о колледжах с двух– и четырехлетним обучением, существует во всех классах, начиная с детского сада и заканчивая колледжем: очень немногие учащиеся испытывают удовольствие от предлагаемой там математики, которая представляет собой узкую, обедненную версию этой дисциплины. По мере того как школьники переходят из класса в класс, математика становится все более узкой, и эта узость отражается на уменьшающемся количестве успешных учеников⁸.

Если же мы расширим подход к математике, соглашаясь с тем, что любую математическую мысль или концепцию можно рассматривать множеством способов, то есть преподавать математику с разнообразием, мы раскроем этот предмет для гораздо большего числа учеников⁹.

Еще в самом начале своей карьеры я знала, что существует более успешный способ преподавания и изучения математики. Но активно начала распространять эти идеи примерно десять лет назад, с появлением новой нейронауки об обучении, которая продемонстрировала, каким образом наш мозг обрабатывает математические данные¹⁰. Когда я делюсь идеями с другими людьми, я не просто сообщаю абстрактные результаты нейронаучных исследований; я преобразую эти результаты в форму, показывающую их значение для изучения математики и – более широко – для отношений с ней.

Эти идеи способны трансформировать процесс учебы и поэтому невероятно полезны для родителей, учителей и учеников. Более того, они меняют и то, как люди применяют, казалось бы, школьный предмет в своей жизни. Математика может оказаться секретным оружием, невероятным инструментом, которым способен воспользоваться каждый из нас, однако зачастую мы делаем это недостаточно эффективно.

Если вы хотите жить полной жизнью, максимально используя математический объектив, через который можно рассматривать мир, я приглашаю вас повысить свою мощность, подходя к математике и жизни посредством математического разнообразия и ish-математики.

Глобальная культурная проблема

Идеи, которые я излагаю в этой книге, помогли не только тем, кто плохо успевал по математике. Я уже много лет учу студентов в Стэнфорде, и у большинства из них плохие отношения с этим предметом. Они достаточно успешно усваивают материал, но воспринимают его как набор процедур, которые нужно исполнять в быстром темпе. Когда я показываю им, что математика может быть прямой противоположностью – комплексом взаимосвязанных творческих идей, которые можно медленно обдумывать, – они удивляются и приходят в восторг¹¹. Студенты говорят мне, что никогда не захотят вернуться к той узкой, основанной на скорости математике, которую они знали раньше.

Лишь немногие видят и воспринимают разнообразие математики, тогда как последствия плохого преподавания реальны для миллионов людей по всему миру. В большинстве стран от 10 до 40 % взрослых не разбираются в математике и стараются ее избегать¹². Они оказываются в уязвимом положении всякий раз, когда им нужно прочитать график, диаграмму, таблицу или набор цифр. Многие из них живут в бедности, а неравенство в системе образования и обществе лишает их возможности учиться и улучшать свою жизнь. К сожалению, именно те люди, которым больше всего нужны математическая уверенность и знания, часто не имеют доступа к хорошему математическому образованию, поэтому перед ними закрыты многие карьерные пути¹³. Освоение математики может помочь молодежи выбраться из нищеты и обеспечить им полноценную жизнь¹⁴.

Плохие отношения с математикой у многих людей складываются не только из-за отсутствия разнообразия на уроках, но и потому, что она чаще всего используется для выставления оценок. Математика – самый перегружаемый тестами предмет в учебной программе, и к ней нередко обращаются для ранжирования учеников, а порой и для определения их ценности как людей. Ученики зачастую даже не думают о математике как таковой; они могут думать лишь об оценках по ней. Еще хуже то, что такое тестирование обычно включает выхолощенные узкие вопросы, на которые нужно отвечать за строго фиксированное время.

Такие узкие тесты на скорость вряд ли сформируют у кого-либо позитивное отношение к предмету. Тестирование по математике – это испытание процедурами. Те, кто справляется с подобной задачей, получают в награду встречу с настоящей математикой – игрой с идеями и установление связей между ними. Однако сочетание монотонных действий, давления и постоянного оценивания ведет большинство людей к убеждению, что математика – это страшно и неприятно.

Если вы родитель или учитель, чьи ученики сталкиваются с подобными проблемами, у меня есть хорошие новости: вы не одиноки, и эта книга поможет вам. Важная информация на ее страницах поможет детям не только встать на увлекательный математический путь, но и обрести надежду, найти радость и облегчение в описанном разнообразном подходе к этой дисциплине. Даже если вы взрослый человек со сложившимися хорошими отношениями с математикой, эта книга будет вам полезна, поскольку в ней обсуждаются новые исследования подхода, без которого не обойтись в современном мире. На протяжении долгих лет я работала с множеством людей, которые смогли изменить свои отношения с математикой, осознав, что проблема не в них, а в системе. Когда изменилось их взаимодействие с математикой, обнаружилось, что жизнь стала лучше¹⁵.

Один из математических навыков, которому я вас обучу, – умение упрощать сложные математические задачи. Большинство людей не подозревают, как это делать, или думают, что это «не разрешается». Они полагают, что обязаны решить задание в исходном виде. Однако видоизменять математические упражнения действительно полезно, причем не только в школе, но и в жизни, когда перед нами встают серьезные проблемы. Иной взгляд на математику – это новый ракурс, который можно использовать для чего угодно, и как только вы освоите эту суперспособность, ваше мышление изменится навсегда. Я также научу вас применять имеющиеся у вас знания и устанавливать связи с другими фактами. Если это звучит загадочно, не беспокойтесь и читайте дальше, потому что в следующих главах все прояснится.

Культура математических достижений в школах стала для меня очевидной несколько лет назад, когда я проводила опрос прохожих на улицах Сан-Франциско (Калифорния). Я тогда разрабатывала один из своих первых онлайн-курсов и приехала в город в прохладный день, прихватив с собой пару аспирантов и несколько фотоаппаратов¹⁶.

Я просила встреченных людей просто описать мне математику. Однако все они отвечали на совершенно другой вопрос. Один за другим они начинали рассказывать, насколько хорошо у них шли дела с предметом, – по сути, люди описывали свою успеваемость и даже ранжировали себя.

Поражала эмоциональность, с которой прохожие рассказывали о своем опыте – успешном или нет. Ни один человек не пояснял математику; все опрошенные излагали свой собственный путь из успехов или неудач. В этом и заключается вред культуры успеваемости: она лишает людей права наслаждаться математическими идеями и повышать свой потенциал¹⁷. Вместо этого большинство воспринимает математику исключительно в качестве инструмента для ранжирования, оценивания и разделения.

Причиняет вред не только избыточное тестирование; культура тестирования сочетается с традиционным неверным представлением о математике как о наборе операций и правильных или неправильных ответов. То, что эти аспекты идут бок о бок, не случайность. Чтобы создать тестовые вопросы, учитывающие разнообразный подход к математике, оценивающие мышление у учащихся, творческие способности и умение решать задачи, нужно потрудиться и приложить определенное воображение. Ни крупные издательства, выпускающие учебники по математике, ни разработчики приложений, ни компании, занимающиеся тестированием, никогда не занимались подобным делом. Они любят узкую, процедурную математику, потому что бездумные вопросы легко воспроизводить на сотнях тысяч страниц учебников, а тесты легко проводить. Однако движущей силой математического образования должно быть что-то иное.

Итак, пока у нас на сцене невзгод присутствует два злодея: чрезмерное тестирование и ложное представление о математике как о наборе процедур. Эти два злодея достаточно плохи, но им помогает третий: коварный «математический мозг» («математический склад ума»).

На протяжении веков многие верили, что одни люди рождаются с «математическим умом» и способны успешно освоить математику, другие же лишены этого дара. Часто такие идеи сочетались с сексистскими, расистскими и прочими дискриминационными представлениями о том, кто обладает этими особыми «талантами»¹⁸. Однако последние десять лет (или около того) вполне определенно показали, что «математического склада ума» не существует, а мозг человека постоянно развивается, строит новые связи¹⁰ и изменяется¹⁹. Эти выводы подкрепляются нейронаучными исследованиями, демонстрирующими невероятный рост мозга после коротких вмешательств²⁰. Это также доказывают люди, которые испытывали проблемы в первые школьные годы (и даже получали ярлык нуждающихся в особых занятиях), но в дальнейшем достигли высочайшего математического уровня – вплоть до получения докторской степени по прикладной математике в Оксфордском университете²¹.

Эти три злодея – математический ум, процедурный подход к дисциплине и избыточное тестирование (а вдобавок еще и определенное системное неравенство) – работают абсолютно синхронно и порождают ужасный опыт, от которого мало кто оправляется. Мало того, некоторые из тех, кто пережил этот кошмар (обычно богатые и влиятельные личности), противостоят тем, кто пытается изменить ситуацию, стремясь сохранить сложившийся порядок вещей. Они ведь выдержали, почему бы не заставить и других пройти тем же путем? Я отказываюсь уступать этим людям, и мое постоянное сопротивление принесло мне за эти годы несколько боевых ран²². По завершении последнего проекта – я участвовала в создании новой системы обучения математике в штате Калифорния – на меня обрушился шквал писем с ненавистью и угрозами от группы людей, стремящихся дискредитировать мои исследования и работу²³. Я продолжаю эту борьбу и по сей день, потому что знаю, что математику можно воспринимать совершенно иным, прекрасным образом – через разнообразие, через многоплановый подход. И когда люди смотрят на математику под другим углом, даже в рамках жесткой культуры успеваемости, пронизывающей учебные заведения, они получают удовольствие от нее и добиваются высоких результатов²⁴.

К счастью, не все люди, добившиеся успеха в нынешней системе преподавания математики, сражаются за ее сохранение в прежнем виде. Я рада сотрудничать с выдающимися математиками, инженерами и учеными, которые понимают, что нам нужны кардинальные изменения в методах преподавания и изучения этого предмета²⁵. Юджиния Ченг – один из математиков, которыми я восхищаюсь, – посвятила бо́льшую часть своей карьеры попыткам изменить представления людей о том, чем является и чем может быть математика. Она точно подмечает, что мы не уделяем достаточно времени тому, чтобы дарить молодежи радости математики; вместо этого мы стараемся научить их прыгать сквозь непонятные обручи, поощряем запоминать методы и правила, которые, вероятно, мало помогут им в жизни, а то и вовсе не пригодятся²⁶.