Kitabı oxu: «El mundo es un pañuelo»

Director de la colección: Fernando Sapiña Coordinación: Soledad Rubio

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© Del texto: Bartolo Luque Serrano, 2009

© De la presente edición:

Càtedra de Divulgació de la Ciència, 2009

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cdciencia@uv.es

Publicacions de la Universitat de València, 2009

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Producción editorial: Maite Simón

Corrección: Communico, C.B.

Cubierta: Diseño original: Enric Solbes

Grafismo: Celso Hernández de la Figuera

Realización de ePub: produccioneditorial.com

ISBN: xxx-xx-xxx-xxxx-x

A la memoria de Isaac Asimov (1920-1992)

AGRADECIMIENTOS

Este libro no se hubiera escrito sin el amor, el apoyo y la crítica de mi mujer Aida Agea. Ni sin Rafa Barberá, quien me dio la oportunidad de comenzar a escribir profesionalmente en la revista La Clave. Él me enseñó lo poco que sé de periodismo científico en los tres años que estuvimos colaborando. Ni sin Fernando J. Ballesteros, mi viejo amigo y alter ego escribano. ¿Cuántos años llevamos ya llenando páginas en común? Ni sin Ignacio de Miguel Ximénez, un pionero en la divulgación científica en castellano en Internet y un emprendedor incombustible. Ni sin Álex Fernández Muerza, uno de nuestros periodistas científicos más activos, que siempre me abrió de par en par su puerta digital, Divulcat. Ni sin Pilar Perla, una profesional como la copa de un pino, responsable del mejor suplemento científico de este país, Tercer Milenio en el Heraldo de Aragón, que me compromete a seguir escribiendo. Ni sin Lucas Lacasa, mi hijo científico y amigo, quien me contagia su entusiasmo por la ciencia y me riñe cuando huyo del trabajo duro, condición a la que tiendo de natural.

Aunque han sido ampliados y puestos al día, varios de los ensayos de esta obra aparecieron parcial o totalmente en prensa o medios electrónicos entre los años 2001 y 2007, y es obligado citar sus orígenes. En particular: los capítulos 0, 4-7, 10, 12-14, 16-18 y 21 aparecieron en la revista La Clave, los capítulos 1, 2 y 9 en el suplemento de ciencia Tercer Milenio del periódico Heraldo de Aragón, el capítulo 3 en el portal digital Todo Ciencia y los capítulos 11 y 20 en el portal digital Divulcat.

Creo yo que, al llegar la hora de morir, habrá cierto consuelo en pensar que uno empleó bien su vida, que aprendió todo lo que pudo, que recogió todo lo que pudo del Universo y lo disfrutó. Sólo existe este Universo y esta vida para tratar de entender lo que nos rodea. Y aunque resulte inconcebible que alguien aprenda más que una pequeña fracción de todo este Universo, al menos hasta allí podemos llegar. Qué tragedia sería pasar la vida sin aprender nada o casi nada.

ISAAC ASIMOV

HOMENAJE AL BUEN DOCTOR

A pesar de que poco a poco la actitud está cambiando, lo cierto es que el grueso de la ciencia oficial sigue denostando intelectualmente la divulgación científica. Pero si hacer ciencia es también hacer científicos, Isaac Asimov triunfó no sólo como divulgador, sino también como científico: ¿cuántos investigadores en activo están en deuda con el Buen Doctor por una lectura precoz que les entusiasmó de por vida?

Era abstemio, no soportaba el alcohol. Dos copas eran suficientes para sumirlo en estado de total embriaguez. Absolutamente inepto para cualquier actividad atlética, nunca aprendió a nadar ni a montar en bicicleta. Claustrofílico, gustaba de encerrarse en pequeñas habitaciones sin ventanas y utilizaba siempre luz artificial para trabajar. Trabajando ocho horas al día, siete días a la semana, llegó a escribir casi quinientos libros. De este modo, Isaac Asimov, llamado cariñosamente el Buen Doctor, se convirtió en «el mejor divulgador de la ciencia» y el escritor más polifacético del siglo XX.

Si yo no fuera Isaac Asimov, y tuviera la oportunidad de entrevistarle, supongo que le haría una pregunta que todos me hacen y que es: ¿cómo se las arregla para escribir todos esos libros? Y la respuesta que le daría es la que doy siempre. Es la única cosa que me hace de veras feliz, escribir. Y cuando tienes algo que te hace feliz y que además te pagan por hacerlo... puedes hacer un montón.

A pesar de su descomunal obra, increíblemente Isaac Asimov no detenta, según el Libro Guiness de los Récords, el honor de ser el escritor más prolífico de la historia. Semejante lugar lo ocupa Josef Ignacy Kraszewski, un escritor polaco del siglo XIX que produjo más de seiscientos volúmenes. Sin embargo, no cabe la menor duda de que Asimov ha sido el escritor más poliédrico. Sus escritos tratan de temas tan variopintos como la biología, Shakespeare, la química, la Biblia, la historia, la física... sin con-tar sus innumerables relatos y novelas de ciencia ficción.

ISAAC ASIMOV, INC.

Isaac Asimov nació en Petrovichi, en la actual Rusia, el 2 de enero de 1920. Tres años después su familia decidió trasladarse a EE. UU. En el barrio de Brooklyn, Nueva York, leyendo a escondidas las revistas del quiosco que regentaba su padre, Asimov tomó su primer contacto con la ciencia ficción.

Con tan sólo 11 años empezó a escribir The Greenville Chums at College. Al acabar los dos primeros capítulos, se los relató a un compañero de colegio en el recreo. Su amigo le dijo que continuara con la historia y él le explicó que no sabía cómo continuaba. Convencido de que se trataba de un libro que Asimov estaba leyendo, le dijo que se lo prestara en cuanto lo acabara de leer. Asimov no llegó a acabar aquel relato, pero comprendió por el efecto que causó en su amigo que poseía la imaginación que necesita un escritor.

A pesar de que su familia le presionó para que se dedicara a la medicina, se graduó en Química en la Universidad de Columbia en 1939. Fue entonces, con 19 años, cuando la revista Amazing Stories le remuneró con 64 dólares, un centavo por cada palabra, por primera vez por un relato: Abandonados cerca de Vesta. En los siguientes tres años escribió 31 relatos.

Se doctoró en Bioquímica por la Universidad de Columbia en 1948. Y a partir de 1950 se incorporó como profesor asociado de bioquímica en la Universidad de Boston. Como comenta A. Benítez Gutiérrez en su excelente artículo «Isaac Asimov, Inc.»:

Asimov era, al cabo, un hijo de la Gran Depresión, y aunque no sufrió las penurias de ésta como lo hicieron muchos otros, su familia siempre estuvo apenas por encima del límite de la subsistencia. La experiencia le marcó para siempre e hizo que, aun a costa de sacrificios personales, a menudo buscara la estabilidad antes que la promesa de un mayor beneficio. Fue esa actitud ante la vida la que, casado [con su primera mujer Gertrudis Blugerman] y con dos hijos, le forzó a permanecer durante los años cincuenta como profesor en la Universidad de Boston a pesar del escaso sueldo, y el poco aprecio que le demostraban buena parte de sus superiores, cuando sus ingresos como escritor pronto igualaron y después superaron los que obtenía como docente.

En 1958 decidió definitivamente seguir sus aspiraciones como escritor y dedicarse casi íntegramente a ello. Tres años después de separarse de su primera mujer en 1970, contrajo matrimonio con Janet Opal Jeppson. Como escritor independiente le fue tan bien que Asimov se convirtió en 1979 en una sociedad anónima que en adelante detentaría los derechos de sus escritos. Había nacido Asimov, Inc.

CIENCIA FICCIÓN

Iniciado como escritor de ciencia ficción, permaneció fiel al género a lo largo de su carrera. Pero sus objetivos al respecto siempre apuntaron más allá del puro entretenimiento. Como gustaba repetir, la ciencia ficción puede ser una forma de especular con amenidad sobre «la respuesta humana a los cambios en el nivel de la ciencia y de la tecnología», una manera más de divulgar ciencia.

Dice al respecto el Buen Doctor:

La sociedad está siempre cambiando, pero el ritmo del cambio se ha acelerado a través de la historia. Además, el cambio es acumulativo: los cambios que usted introduce hoy facilitan la introducción de cambios futuros. Antes de la Revolución industrial la gente no tenía conciencia del cambio o del futuro. Presuponían que el futuro sería exactamente como siempre había sido, sólo que con diferentes personas. Como dice el Eclesiastés: «No hay nada nuevo bajo el sol». Sólo con el advenimiento de la Revolución industrial el ritmo del cambio se tornó lo suficientemente rápido como para resultar visible en el curso de la existencia de un hombre. La gente repentinamente tomó conciencia de que no sólo estaban cambiando las cosas, sino de que seguirían cambiando tras su muerte. Allí cobró forma la ciencia ficción por contraposición a la fantasía y a los libros de aventuras; la gente sabía que iba a morir antes de poder ver los cambios que se darían en el siglo siguiente, y entonces les pareció interesante y divertido imaginar cómo iban a ser esos cambios.

MODESTIA Y RELIGIÓN APARTE

Ya no asistimos a esas grandes discusiones científicas que tiempos ha eran materia de debate entre los ciudadanos y ocupaban páginas importantes en los periódicos. La ciencia es ahora propiedad de un reducido grupo de especialistas y sus contenidos son cada vez más inaprensibles para el lego. Como advierte Lévy-Strauss: si los conocimientos desbordan la imaginación, se nos empuja de nuevo al pensamiento mítico. Así que no es extraño, entonces, que asistamos a un paradójico auge de las pseudociencias.

A lo largo de toda su vida el Buen Doctor militó o simpatizó con distintas organizaciones escépticas, en contra de la irracionalidad y los mercachifles seudocientíficos como los astrólogos y adivinos. Asimov era, por decirlo suavemente, poco humilde respecto a sus capacidades intelectuales. En la pequeña autobiografía que escribió para Who’s Who leemos:

He sido afortunado de nacer con un inquieto y eficiente cerebro, con una capacidad de pensamiento clara y una especial habilidad para concretarlo en palabras... Soy un afortunado beneficiario de la lotería genética.

Esa ostentación de superioridad, junto con una defensa a ultranza del racionalismo, le granjeó enemigos en el mundo de las seudociencias. Y también en el ámbito religioso.

A pesar de que Asimov nació en el seno de una familia de religión judía, que estudió unos años en un colegio hebreo y que su padre llegó a trabajar como secretario en una sinagoga, era ateo:

Estoy en contra de adosarle el sistema de creencias de una persona a toda una nación o a todo el mundo en general. Lo que objeto de los fundamentalistas no es que sean fun-damentalistas, sino que en esencia pretendan que yo también lo sea. Ahora bien, ellos podrían aducir que yo creo en que la Teoría de la Evolución es cierta y que quiero que todo el mundo también lo crea así. Pero yo no quiero que todo el mundo crea en la Teoría de la Evolución; simplemente aspiro a que estudien lo que decimos acerca de la Teoría de la Evolución y luego decidan por sí mismos. (...) La gloria de la ciencia es que sea algo tentativo, lleno de incertidumbre, sujeto a cambio. Lo realmente lamentable es lo opuesto, tener una serie fija de creencias consideradas absolutas, que ha sido así desde el inicio y que no puede cambiar, y donde sencillamente no se presta atención a ninguna prueba evidente. Cuando los árabes tomaron Alejandría y le preguntaron al califa Omar qué hacer con la biblioteca, Omar respondió: «Si los libros coinciden con el Corán, no son necesarios y pueden quemarlos. Si no coinciden con el Corán, son peligrosos y pueden quemarlos». Todavía hoy existen pensadores al estilo de este Omar, pensadores que creen que todo conocimiento debe ajustarse al de un libro: la Biblia, y se niegan a permitir que se conciba el menor error en él. A mi modo de ver, esta actitud es mucho más peligrosa que un sistema de creencias y conocimientos tentativo y sujeto a cambio.

Lamentablemente, en este asunto de ciencia versus religión, sus palabras siguen teniendo hoy más vigencia que nunca. Volvemos, increíblemente en el siglo XXI, a asistir a un resurgir del fundamentalismo religioso y al combate entre creacionistas y evolucionistas. Con un resultado, por cierto, tan incierto que grandes científicos como Richard Dawkins han decidido pasar a la acción mediática sin tapujos (vean, por ejemplo, su reciente documental: Religión, ¿la raíz de todo mal?, o lean su último libro El espejismo de Dios).

DIVULGACIÓN CIENTÍFICA

A finales de los años cincuenta Asimov decidió volcarse en la divulgación científica. En una entrevista de Manuel Toharia y Esteban Sánchez-Ocaña en el programa de televisión A ciencia cierta, ya desaparecido, manifestaba:

La ciencia es cada día más importante en nuestra sociedad porque cada día hay más cosas que dependen de los avances científicos y esto hace que gran parte de la sociedad se encuentre perdida. No saben cómo funcionan las computadoras o qué hacen los robots, o no entienden el significado de los últimos avances científicos. Yo creo que es importante que lo sepan porque afecta a sus vidas y a la sociedad en la que viven. Además esos ciudadanos, con sus impuestos, son los que pagan el desarrollo científico y tienen derecho a saber qué está pasando. Una forma de lograr esto es que aquel que pueda debe explicar a la gente la ciencia lo más clara y seriamente que sepa, y una de las misiones que me he impuesto es la de servir de intermediario entre la ciencia y el sector no científico de la sociedad.

Vivimos en una sociedad paradójica: analfabeta científicamente pero con un grado de confianza ciego en las posibilidades de la ciencia y la tecnología. Y además la divulgación es desprestigiada como labor por los propios científicos. Para muchos de ellos un divulgador es un científico fracasado que no ha tenido más remedio que buscar fama y dinero vulgarizando la ciencia.

En una carta fechada el 1 de abril de 1963 el Buen Doctor escribía:

En la divulgación de la ciencia mis sueños no tienen límite. Pretendo ser el indiscutible divulgador de la ciencia del siglo XX. Eso es fácil, y creo que lo lograré.

Sus libros de divulgación superan en número a sus libros de ciencia ficción y han sido traducidos a 60 idiomas. Así que su primer deseo se cumplió. La carta seguía:

Pero hay otra parte de mi sueño que no está en mi poder lograr; para ello tendré que depender del mundo. Quiero que la divulgación científica escrita, la comunicación de la ciencia, la traducción científica sea reconocida como una contribución a la ciencia. Y si se hace lo suficientemente bien, quiero que el escritor científico (yo) sea reconocido como un científico, incluso como un gran científico, a pesar del hecho de que su contribución sea con la máquina de escribir y no con el tubo de ensayo.

La ciencia oficial sigue denostando intelectualmente la divulgación científica. Pero si hacer ciencia es también hacer científicos, Asimov triunfó además en su segundo sueño: ¿cuántos científicos en activo están en deuda con el Buen Doctor por una lectura precoz que les entusiasmó de por vida? Yo sí, y aquí estoy pagando, con el mismo entusiasmo, una pequeña parte de esa deuda.

BARTOLO LUQUE

Castelldefels, abril del 2009

CAPÍTULO 1

EL MISTERIOSO FENÓMENO

DE LA ESPIRAL DE ULAM

En 1963 Ulam, aburrido durante una charla científica en un congreso, comenzó a garabatear, comenzando por el número 1, los números naturales en forma espiral. Sorprendentemente los números primos, bajo esta disposición, «exhibían una fuerte apariencia no aleatoria». Tal vez había encontrado un patrón en el caos de la distribución de números primos...

Stanislaw M. Ulam (1909-1986) cuenta en su autobiografía, Aventuras de un matemático, que sufrió una grave encefalitis vírica que estuvo a punto de acabar con su vida. Después de despertar de un coma postoperatorio de varios días, el cirujano quiso comprobar sus facultades mentales preguntándole cuánto sumaban 8 más 13.

Que me preguntase una cosa así me ofendió tanto que simplemente sacudí la cabeza. Entonces me preguntó cuál era la raíz cuadrada de 20, y repliqué: aproximadamente 4,4. Como permanecía en silencio, le pregunté: ¿no es así? Recuerdo que el doctor Rainey rió con evidente alivio y dijo: ¡No lo sé!

Cuando llega la hora de pagar en una cena de varios comensales, donde se sabe que uno de ellos es matemático, siempre se oye la frase: «que calcule el matemático a cuánto tocamos cada uno». La mayor parte de la gente piensa que los matemáticos sencillamente «hacen números» y por tanto deben tener una extraordinaria capacidad para «calcular». Eso, en la mayoría de los casos, no es cierto: los matemáticos calculan tan mal como el resto de los humanos. ¿A qué se dedican entonces? Muchos le dirían que buscan patrones, relaciones y analogías que no han sido todavía descubiertos, que buscan belleza. Los mejores, como decía Banach, «ven analogías entre analogías», buscan relaciones entre relaciones, belleza pura.

BUSCADORES DE PATRONES

Estamos preparados por la evolución para detectar patrones, orden en el mundo. Los humanos tenemos una disposición evolutiva a sustraer orden del desorden, somos buscadores de patrones. Los mejores buscadores son un grupo conocido como matemáticos. Y cómo no, en los números, los encuentran a raudales.

Los números primos son aquellos que sólo son divisibles por ellos mismos y por el 1. Los primeros son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41... (por razones técnicas que no vienen al caso, el número 1 no se considera primo). Como puede observarse en la lista, el sexto número primo es el 13. No se conoce fórmula sencilla alguna para determinar los primos. Pero que no se conozca semejante fórmula no significa que no exista. Durante siglos los matemáticos se han estado preguntando si los números primos están repartidos al azar o podemos determinar a priori sus posiciones. El esfuerzo matemático por desvelar la distribución de los números primos ha sido ímprobo. Leonhard Euler (1707-1783), uno de los matemáticos más grandes de la historia, determinó una sencilla fórmula: n² + n + 41, donde si sustituimos n por 0, 1, 2..., obtenemos una secuencia de 40 primos consecutivos hasta llegar al valor n = 40 que nos proporciona el número compuesto 1.681. Euler llegó a decir al respecto:

Los matemáticos han intentado en vano hasta hoy descubrir un orden en la secuencia de los números primos, y tenemos razones para creer que esto es un misterio al que no podrá nunca penetrar la mente humana.

Muchos de los intentos, como veremos ahora en un famoso ejemplo, se han encaminado a visualizar esa distribución.

LA ESPIRAL DE ULAM

En 1963 Ulam, aburrido durante una charla científica en un congreso, comenzó a garabatear sobre una hoja cuadriculada. Se le ocurrió, comenzando por el número 1, disponer los números naturales en forma espiral de la siguiente manera:

17	16	15	14	13
18	5	4	3	12
19	6	1	2	11
20	7	8	9	10
21	22	...

y distinguir los primos del resto de números (en nuestro ejem-plo los primos están en negrita y subrayados). Sorprendentemente los primos parecían disponerse con mucha más frecuencia de lo esperado a lo largo de diagonales. En palabras de Ulam: «Exhibían una fuerte apariencia no aleatoria». Tal vez había en contrado un patrón en el caos de la distribución de números primos...

Curiosamente, siete años antes, el escritor de ciencia ficción Arthur C. Clarke había descrito una espiral de primos semejante en su novela La ciudad y las estrellas (1956). En ella el personaje de nombre Jeserac, ayudado por su ordenador, buscaba patrones en la distribución de primos. Clarke nunca llegó a realizar ese experimento realmente, sin embargo, cuando Ulam regresó del congreso a su lugar de trabajo en Los Álamos fue lo primero que hizo. Con la ayuda de Myron L. Stein y Mark B. Wells programó para esta tarea el ordenador mastodóntico Maniac II que disponía en su memoria de los primeros 90 millones de primos. Hablamos de una época en la que no existían ni siquiera las pantallas de ordenador. Para vislumbrar el patrón usaron un osciloscopio a modo de pantalla primitiva y fotografiaron el resultado. Para su regocijo, en la espiral que construyeron para todos los primos por debajo de los 10 millones, los primos mostraban tendencia a aparecer en las diagonales y también en líneas horizontales y verticales, como podemos ver en el siguiente ejemplo de pequeña espiral donde sólo hemos señalado la posición de los primos:

De hecho, estas líneas escondían fórmulas para primos. Los alineamientos corresponden a fórmulas como la de Euler, del tipo an² + bn + c, donde a, b y c son enteros. Por ejemplo, tenemos una diagonal, abajo a la izquierda del dibujo, con los primos 5, 19, 41, 71 y 109. Esa línea corresponde a la expresión: 4n² + 10n + 5. Si damos valores a n de 0 a 4 generamos estos cinco primos consecutivos en la diagonal. Similarmente, la secuencia de primos 7, 23, 47 y 79, en diagonal abajo a la derecha, ajusta a 4n² + 4n – 1 dando valores a n de 1 a 4. Si en vez de comenzar la espiral con el número 1 en el centro comenzamos con otros números, como hicieron en sus experimentos Ulam y sus colaboradores, se obtienen líneas y expresiones cuadráticas de primos adicionales. Por ejemplo, comenzando por el 41 en el centro obtenemos precisamente la expresión de Euler.

Ulam constató que, para valores de n por debajo de los diez primeros millones de primos, la fórmula de Euler proporcionaba primos en un 47,5% de las veces. Evidentemente, no todas las expresiones cuadráticas proporcionan gran cantidad de primos. Por ejemplo, la expresión 2n² + 4n + 117 sólo los proporciona un 5% de las veces. Los teóricos han demostrado que no existe ninguna fórmula sencilla que sea capaz de generar solamente primos. Sin embargo, el motivo por el cual algunas de estas funciones cuadráticas presentan una tal riqueza de números primos no se ha desvelado todavía.

ARTE Y BELLEZA ESPIRAL

Ahora el lector está preparado para comprender el sentido de las dos creaciones digitales, infografías, con las que ilustramos este ensayo. La primera, debida a Adrian J. F. Leatherland, se titula Ábaco de madera. Sin duda, Leatherland acierta al usar bolas de madera sobre una espiral de varilla metálica insinuando un ábaco, la calculadora más antigua. Ojalá algún artista plástico se animara a realizar un modelo real.

Ábaco de madera, Adrian J. F. Leatherland (<yoyo.cc.monash.edu.au/~bunyip/primes>).

La segunda creación, debida a Jean-Francois Colonna, se titula: La espiral de Ulam generalizada mostrando 1.024 números naturales. Colonna opta por incluir más información en la espiral: el radio de la esfera número N es proporcional a la raíz cuadrada del número de divisores de N (sin contar al propio N). De modo que los números primos tienen radio 1 y todos están representados por pequeñas esferas de color blanco. El resto de números aparecen en colores que varían su luminosidad también en función de su número de divisores.

La espiral de Ulam generalizada mostrando 1.024 números naturales, Jean- Francois Colonna (<www.lactamme.polytechnique.fr>).

La espiral de Ulam abrió toda una serie de nuevas preguntas: ¿existen líneas que contienen una infinidad de números primos? ¿Cuál es la densidad máxima en una línea? ¿Es la densidad de primos la misma en cualquiera de los cuatro cuadrantes? ¿Qué sucede con otras formas de empaquetar los números como por ejemplo espirales en enrejados hexagonales? ¿Y empaquetamientos tridimensionales y n-dimensionales?

La espiral de Ulam nos ofrece evidencia visual de que existe algún orden oculto en la distribución de los números primos. Tan sólo un año después del descubrimiento o creación de la espiral de Ulam (¿qué opina el lector que es?), en marzo de 1964, fue portada de la famosa revista Scientific American. La espiral es un magnífico ejemplo de cómo un experimento gráfico puede desvelar patrones ocultos y producir resultados matemáticos inesperados. Y como apunta Ivars Peterson en su libro Mathematical Trek, también nos muestra que: «es verdad que no sólo hay misterio, sino también belleza en la distribución de los números primos».

CAPÍTULO 2

EL COLECCIONISTA DE NÚMEROS

Para coleccionista raro, el matemático Neil Sloane, que desde hace casi 50 años caza sucesiones de números. Su colección alcanza ya más de 100.000 especímenes.

Todos conocemos a alguien, si no a nosotros mismos, que colecciona sellos o monedas, etiquetas de botellas de vino o posavasos, cajas de música o de cerillas... Pero, ¿conoce a alguien que coleccione sucesiones de números? El matemático Neil Sloane lo hace desde los años sesenta y su colección, denominada Enciclopedia electrónica de sucesiones enteras, o más brevemente OEIS (acrónimo de su nombre en inglés: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), que contiene más de cien mil sucesiones, es la más completa del mundo.

SUCESIONES

Siguiendo con el tema de la búsqueda de los patrones, déjenme ahora que haga este libro interactivo poniéndolo a usted, lector, a prueba como buscador de patrones. Si hace tiempo que acabó la escuela y el instituto, probablemente no recuerde qué es una sucesión de números. Aunque, si últimamente ha realizado algún psicotécnico para acceder a un trabajo, seguro que se ha vuelto a encontrar con ellas. En estas pruebas nos enfrentamos a cuestiones de la siguiente guisa: ¿Qué numero continúa la sucesión: 1, 4, 9, 16, 25? Se trata de la sucesión de cuadrados perfectos: 1², 2², 3², 4², 5². Luego el número que nos piden es: 6² = 36.

Como explica Fernando Blasco en su reciente y genial libro Matemagia:

Una sucesión numérica es un conjunto (infinito) de números puestos de forma ordenada, en correspondencia con los números naturales, que son los que utilizamos habitualmente: 1, 2, 3, 4...

O sea, que a cada número natural n una sucesión le asigna un número a(n). A veces es fácil expresar el término general de una sucesión. El término número n de la sucesión de los cuadrados perfectos es: a(n) = n². Otras veces es más complicado. Por ejemplo, ¿qué término sigue en la sucesión 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12? Esta sucesión es la «complementaria» de los cuadrados perfectos. Es decir, es la sucesión de números que no son cuadrados perfectos. La expresión de su término general es más complicada: a(n) = n + [1/2 + √n] que, traducido, nos dice que para conocer el término n, debemos extraer la raíz cuadrada de n, sumarle 1/2 y quedarnos con la parte entera del número resultante (eso significan los corchetes) y finalmente sumar el resultado a n. Por ejemplo, el término 5 de la sucesión es: a(5) = 5 + [1/2 +√5] = 5 + [2,736...] = 5 + 2 = 7. Astuto, ¿verdad?

En Matemagia, el profesor Blasco nos presenta una de las sucesiones más famosas de todos los tiempos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... ¿Sabe el lector cuál es el siguiente término? Tóme-se su tiempo para adivinarlo y compruebe a renglón seguido si acertó.

OEIS

Supongamos que después de darle vueltas ha sido incapaz de encontrar la solución. Puede recurrir entonces a oeis. En la página web <www.research.att.com/~njas/sequences/> se encuentra la colección de Sloane. Allí podemos escribir los términos de la sucesión e inmediatamente recibimos la respuesta: se trata de la sucesión de Fibonacci. Nos explica con una fórmula cómo se genera: para obtener un número de la sucesión (excepto los dos primeros) basta con sumar los dos anteriores. Observe que 21 = 13 + 8, que 13 = 8 + 5, etc. De modo que la respuesta es: 13 + 21 = 34. En ecuaciones: a(n) = a(n-1) + a(n-2), con a(0) = 0, a(1) = 1. oeis nos ofrece en este caso una lista con los 39 primeros términos, la posibilidad de representarlos gráficamente o incluso de... ¡escucharlos convirtiéndolos en música! También nos muestra una gran cantidad de comentarios sobre la aparición de los números de Fibonacci en multitud de problemas matemáticos, una enorme cantidad de referencias bibliográficas y enlaces, otras fórmulas menos conocidas para generarlos, cómo hacerlo en algunos programas de cálculo simbólico como Mathematica o Maple, o en pseudocódigo para que lo programemos nosotros mismos. De hecho, oeis es más fino, nos propone como primera solución los números de Fibonacci, pero nos ofrece hasta 22 soluciones distintas que coinciden en los nueve términos introducidos.

OEIS nos permite no sólo introducir los números de una sucesión, sino palabras clave de nuestro interés. Por ejemplo, si escribimos spanish («español») nos da 25 resultados. Uno de ellos es la sucesión: 3, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4... Se trata de otra sucesión clásica en matemáticas recreativas. De alguna manera esta sucesión está relacionada con «español». ¿Adivina el lector cuál es el siguiente término? (Solución al final en la caja 1: Uno, dos, tres...).

Introduciendo palabras nos damos cuenta de que oeis es también una fuente de información sobre temas científicos de toda índole. Por ejemplo, si introducimos la palabra planet («planeta») podemos encontrar las secuencias de los períodos de rotación o los diámetros de los planetas del Sistema Solar. Introduciendo la palabra carbón (el «átomo de carbono») obtenemos un montón de información sobre química orgánica. Si probamos con la palabra fractal nos aparecen ¡282 resulta-dos! ¿Qué será una sucesión fractal? Aquí tiene uno de los ejemplos más famosos: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0... ¿Es capaz de deducir cómo se forma? (Solución en la caja 2: Sucesiones fractales).

Probemos con una palabra menos «científica». Escribamos lazy («perezoso»). Sorprendentemente nos aparece la sucesión llamada del hostelero perezoso. Sus primeros términos son: 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56. Le adelantamos que enumera el máximo número de trozos (no necesariamente iguales) que podemos obtener de una pizza circular con n cortes rectos de cuchillo. Ahora ya nos hacemos una idea de a qué se debe su estrambótico título. ¿Sabría el lector encontrar el término general? (Solución en la caja 3: Pizzas y pasteles).

Visto lo visto, oeis no es sólo una página de referencia para investigadores, sino también una herramienta para educadores y una fuente inagotable de matemáticas recreativas para curiosos insaciables.

Para acabar, déjenos proponerle una última cuestión: el llamado problema 3n + 1. Tome un número entero positivo cualquiera al que llamaremos x_o. Entonces, (1) si el número escogido es impar multiplíquelo por 3 y súmele 1. Y (2) si, por el contrario, es par, divídalo entre 2. De esta manera conseguirá el número x1 sobre el que debe repetir el proceso y así sucesivamente. Veamos un ejemplo. Comencemos tomando x_o=1. Como es impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1. Eso nos proporciona x₁= 4. Como es par, lo dividimos entre 2. Eso nos proporciona x₂=2 que, como es par, debemos dividir de nuevo entre 2 y obtenemos x₃=1. Observemos que volvemos a tener el valor 1. De modo que la sucesión se repetirá periódicamente: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1... La pregunta, aún no resuelta por nadie, es: partamos de donde partamos, ¿acabaremos siempre en el ciclo 1, 4, 2? A pesar de la aparente inocencia de este problema, su solución ha resistido el ataque de los matemáticos hasta el momento. En los sesenta, Shizuo Kakutani comentaba al respecto:

Durante un mes, toda Yale estuvo trabajando en él, sin resultado. Fenómeno similar se produjo al mencionar, yo, el problema en la Universidad de Chicago. Incluso llegó a decirse, en broma, que el problema formaba parte de una conjura para entorpecer la investigación matemática en Estados Unidos.

Si quiere explorar este problema con ayuda de Neil Sloane escriba «3n+1 problem» o hailstone numbers («números granizo») en la página de OEIS, quizá usted tenga más suerte.

CAJA 1: UNO, DOS, TRES, CUATRO...

Esta caja tiene como título lo que se podría llamar una suce-sión de palabras. Podemos «codificar» numéricamente esta sucesión de tal modo que a cada palabra le hagamos corresponder el número de letras que posee. Así, el título de esta caja se convertiría en 3, 3, 4, 6..., y ahora es fácil adivinar el siguiente número que nos pedían.

Éste es un ejemplo clásico de «sucesiones en lenguaje». Podemos ahora hacer lo mismo en portugués o en inglés. ¿Serán parecidas a la española? Es de esperar que lenguas con una raíz común, como el español y el portugués, lenguas románicas, tengan sucesiones numéricas «uno, dos, tres, cuatro...» estadísticamente parecidas. Y que estén relativamente «alejadas» del inglés o el danés, por ejemplo. ¿Podemos utilizar esta medida para recrear un árbol evolutivo de las lenguas?

CAJA 2: SUCESIONES FRACTALES

OEIS nos dice que la sucesión propuesta se denomina Sucesión de Thue-Morse, en honor a dos de sus creadores/descubridores. Nos enseña a generarla: partiendo de 0 o 1 debemos aplicar reiteradamente las siguientes reglas de sustitución: 0 → 01 y 1 → 10. De modo que si comenzamos por 0, obtendremos primero: 01. Aplicando de nuevo las reglas, obtendremos: 0110. Después: 01101001. Y así sucesivamente. El método técnicamente, y de forma muy acertada, se denomina inflación: después de n aplicaciones de las reglas dispondremos de una secuencia de 2ⁿ términos. oeis explica también que la sucesión de Thue-Morse aparece en temas tan alejados entre sí como el ajedrez, la teoría del caos o la lingüística combinatoria.Thue-Morse es una sucesión fractal, autosemejante. De forma genérica, una sucesión fractal es aquella que se contiene a sí misma como subsecuencia («el todo está en las partes»). Visto en nuestra serie, si eliminamos por ejemplo los términos pares de una secuencia de 2ⁿ términos, habremos eliminado la mitad. Nos quedarán 2^n-1 términos. Pero no cualesquiera, sino justamente los 2^n-1 términos iniciales. Por ejemplo, los primeros 16 términos son: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0. Si eliminamos los términos pares (señalados en negrita), nos queda: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1. ¡Que son justamente los 8 primeros! Explore ésta y otras sorprendentes sucesiones fractales en oeis escribiendo «fractal» en la entrada.

CAJA 3: PIZZAS Y PASTELES

Seguidamente hemos dibujado cómo obtener los cuatro primeros números del hostelero perezoso. Con un corte, el máximo de trozos posibles es obviamente 2. La estrategia para maximizar con dos cortes es que ambos se crucen entre sí. De ese modo obtenemos 4 trozos. Con un corte más, conseguiremos maximizar los trozos si cortamos de modo que crucemos sobre los dos cortes anteriores en puntos distintos... Y ésa parece ser la estrategia: dispuestos los n-1 cortes que maximizan, obtendremos la solución para n haciendo que el nuevo corte se cruce con los otros n-1 en puntos distintos.

En ecuaciones, podemos escribir: a(n) = a(n-1) + n que con algo de matemáticas se convierte en: a(n) = n (n +1) / 2 + 1.

Tal vez, el lector, como yo, aprendió qué eran las fracciones cortando tartas en la pizarra. Existe un problema emparentado con el hostelero perezoso, pero en vez de pizza usa pastel: se trata de encontrar el máximo número de trozos con n cortes en un pastel. Observe que ahora disponemos de una dimensión extra: la altura del pastel. Los primeros números pastel son: 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299 que como puede observar crecen mucho más rápido que los del hostelero perezoso. ¿Puede hallar en este caso el término general? Una pista: ahora para el pastel puede conseguir trozos íntegramente del «interior», que no contengan ni partes de la superficie, ni de las bases, ni de la superficie lateral. Y si no se sale, ya sabe: ayúdese con OEIS.

Foresta degli elementi, cuadro de Tobia Ravà. Este pintor italiano es heredero de la antigua escuela pitagórica, fi ltrada a través de la tradición hebrea de la Gematría, donde «todo es número». Su obra plasma ese pensamiento en imágenes. Puede disfrutar de todas las ilustraciones de este ensayo y muchas más en su página web: <www.tobiarava.com>.

CAPÍTULO 3

VIDEOITERANDO, VIDEOITERANDO, EL CAOS SE VA ALCANZANDO

¿Qué ocurre si enfocamos una cámara a la pantalla de un televisor que está emitiendo justamente las imágenes que capta la propia cámara? Descubra una ruta televisiva hacia el caos determinista.

En la naturaleza abundan formas y estructuras complejas. Esta imagen es un ejemplo cotidiano. Al contemplar un árbol no advertimos cómo crece, pero su estructura nos sugiere algún mecanismo de desarrollo en ramificaciones sucesivas. Tras su forma intuimos un proceso de generación.

Los cristales de nieve que cubren este árbol no están vivos, pero también «crecen». La forma de los copos de nieve no nos sugiere, en este caso, reglas de crecimiento tan obvias. ¿Serán terriblemente complicadas? Hoy, gracias al estudio de los sistemas complejos, sabemos que no necesariamente. Quizá el mayor impacto de esta nueva visión científica en la corriente general del conocimiento haya sido demostrar qué patrones complejos pueden ser generados por procesos simples.

La intención de este pequeño ensayo es mostrar uno de los procesos simples más comunes capaces de generar complejidad: la iteración, que ilustraremos a partir de unos sencillos experimentos al alcance del lector.

ITERACIÓN

Antes de abordar el experimento propiamente dicho jugaremos con una calculadora para dejar clara la idea de iteración. Introduzca un número en su calculadora y extraiga su raíz cuadrada. Vuelva a extraer al resultado la raíz cuadrada. Hágalo sucesivamente. Está realizando un proceso iterativo. ¿Acaba el proceso en algún valor que no cambia? ¿Siempre e independientemente del número inicial? Observe que, al resultado de aplicar una operación, le volvemos a aplicar la misma operación: estamos iterando. En un proceso iterativo se dispone de una entrada –en este caso un número–, una regla dinámica que nos dice cómo se transforma la entrada –extraer la raíz cuadrada– y una salida –el resultado–. Lo que hace que el proceso se convierta en una iteración es que la salida se reinyecta en el paso siguiente como entrada, cerrando el proceso en un bucle de repetición infinita. Matemáticamente podemos expresar esta iteración como:

x_n+1= (x_n)^1/2

donde x_n es el valor en el paso n-ésimo.

Nuestro sencillo experimento con la calculadora nos muestra que siempre que comencemos con un número x₀ mayor o igual a 1, la iteración sucesiva acabará en 1. Y si el número x₀ se encuentra entre 0 y 1 acabará en 0. Pero no todas las iteraciones producen resultados tan sencillos como en este caso de la raíz cuadrada. De hecho, una iteración aparentemente tan inocente como: x_n+1= r x_n (1 - x_n), donde r se fija con un valor entre 1 y 4, fue piedra fundamental en el estudio del caos determinista. La logística, que es el nombre que recibe la iteración anterior, muestra una riqueza de comportamientos dinámicos inusitada en función del valor que tomemos para el valor r.

Observemos que la iteración con la calculadora es en realidad un proceso simbólico. Son ecuaciones sencillas que generan cadenas de números. ¿Podemos construir un proceso iterativo físico, digamos, de forma tan sencilla?

VIDEORRETROALIMENTACIÓN

El término iteración suele usarse en matemáticas, los ingenie-ros prefieren utilizar la palabra retroalimentación (feed-back) pa-ra referirse al mismo. Vamos a crear un sencillo circuito de re-troalimentación. Necesitamos simplemente una cámara de vídeo y un televisor.

Conecte la salida de una cámara de vídeo a la entrada de señal de un televisor. De esa manera las imágenes recogidas por la cámara serán vistas en la pantalla. ¿Qué ocurre si apuntamos la cámara a la propia pantalla del televisor? La imagen que aparece en el televisor es capturada por la cámara, que la devuelve de nuevo al televisor, que vuelve a ser capturada por la cámara, que... ¡Estamos iterando la imagen! En nuestra calculadora conseguíamos iterar un paso cada vez que apretábamos el botón de raíz cuadrada. Con este experimento conseguimos 25 iteraciones por segundo y sin tan siquiera mover un dedo. Y además obtenemos imágenes físicas y no cadenas simbólicas.

¿Qué observaremos mediante este sencillo montaje? Si situamos la cámara a larga distancia obtendremos una secuencia de pantallas dentro de pantallas en una sucesión que se aleja. En la fotografía puede observar uno de estos efectos conseguido con un astuto giro de la cámara.

El proceso de retroalimentación puede describirse como una reducción de la imagen hacia un punto interior de la pantalla. Si acercamos la cámara lo suficiente como para que desde su visor de cámara sólo observemos pantalla, observaremos lo contrario. La imagen se expandirá. Para conseguir imágenes que le resultarán hipnóticas, baje el brillo del televisor y ponga alto el contraste. Apague la luz de la habitación y ajuste ahora el zoom de la cámara de modo que la pantalla del televisor quede perfectamente encuadrada sin que aparezca el marco de éste. Es decir, nos encontramos en la región ni demasiado lejos para que la imagen se contraiga, ni demasiado cerca para que la imagen se expanda. En este sencillo sistema puede modificar muchas variables como el zoom, el foco, el ángulo con que encaramos la pantalla del televisor, etc.

Al igual que en nuestra calculadora podíamos comenzar a partir de un número x0 cualquiera (excepto negativos) como condición inicial, en nuestro experimento podemos utilizar un sinfín de objetos como imagen inicial. Pruebe a mover una vela o un mechero encendidos entre la cámara y el televisor para obtener resultados semejantes al de las siguientes fotografías.

CLASIFICANDO LOS RESULTADOS

Después de experimentar un rato observará que los patrones espaciales se pueden clasificar en cuatro clases según su evolución en el tiempo:

1. La pantalla se vuelve totalmente blanca o se fija una mancha de luz estable. Este resultado es, en lenguaje de los sistemas dinámicos, un punto fijo.

2. Aparece una mancha de luz pulsante (estado estacionario periódico).

3. Asistimos a una frenética aparición y desaparición de manchas de luz sin orden ni concierto (caos determinista).

4. Nuestra pantalla exhibe un patrón organizado o complejo de manchas, de reminiscencias orgánicas, que parecen crecer, decrecer y evolucionar (dinámica compleja o auto-organizada).

Sin duda las imágenes más interesantes corresponden a esta cuarta categoría. Aquí tiene algunos ejemplos:

SIMULAR PARA ENTENDER

Los experimentos con videorretroalimentación se remontan al nacimiento de la televisión. Muchos artistas se han mostrado interesados en sus posibilidades estéticas. Si ha experimentado con el sistema habrá observado que el efecto de algunos controles sobre el resultado final es relativamente fácil de entender. Sin embargo, el de otros es endemoniadamente difícil. Fue el físico J. P. Crutchfield («Space-time dynamics in video feedback», Physica 10D, 1984, pp. 229-245) quien primero estudió teóricamente el sistema. Crutchfield propone un modelo matemático para emular lo que ocurre en nuestro experimento con vídeo y televisor. Asume que una imagen se describe como una matriz dos dimensional que puede ser rotada o magnificada. Para iterar una imagen se acopla cada píxel de la matriz con sus píxeles vecinos de manera especificada por el valor del foco, se rota la imagen de manera especificada por el án-gulo escogido y se magnifica por el valor z del zoom, los tres parámetros regulables del modelo. El proceso viene descrito por una ecuación de iteración semejante a las que expusimos al comienzo del ensayo, pero, como el lector puede suponer, matemáticamente mucho más compleja.

Para iterar la ecuación, Crutchfield utilizó un ordenador. De esta manera determinó que existían dos tipos básicos de comportamientos dependientes del valor del zoom. Cuando el zoom era menor que 1 los puntos de luz en la imagen, se obtenían patrones en espiral hacia el centro. Cuando el zoom es mayor que 1 los puntos de luz se magnifican hacia el exterior, formando en algunos casos espirales con estructura autosimilar, fractal. La siguiente tabla muestra una clasificación de los resultados:

PARA SEGUIR EXPLORANDO

Si dispone de una cámara acoplada a su ordenador, una típica web-cam, puede construir igualmente el circuito de retroalimentación que hemos descrito. Y además, con un poco de pericia informática podrá medir la intensidad luminosa de los patrones dinámicos que genere. En la gráfica que acompaña a este texto presentamos el resultado de la variación de intensidad con el tiempo. Las primeras gráficas muestran el comportamiento de una mancha pulsante periódica. Al variar convenientemente las variables del sistema se observan cambios en el período. En concreto, la quinta, sexta y séptima líneas muestran un período de duración doble. Así que al variar los parámetros de forma continua, el período se va doblando una y otra vez, hasta que alcanzamos el comportamiento de la octava gráfica, que no muestra periodicidad: hemos alcanzado el caos determinista. El sistema de videoiteración exhibe lo que los físicos y matemáticos denominan cascada de bifurcaciones. Un comportamiento que estaba presente, de manera simbólica, en la ecuación logística que presentamos al comienzo del ensayo y con la que se suele enseñar en la mayor parte de cursos sobre sistemas dinámicos esta ruta hacia el caos. La sencilla ecuación logística nos desvela un patrón dinámico oculto en muchos sistemas del mundo físico real, un patrón universal.