Kitabı oxu: «Estrategias académicas para la inducción al pensamiento matemático»

LA IMPORTANCIA DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN EL CONOCIMIENTO Y LA CULTURA

Ricardo Cantoral

En estos momentos de reconstrucción, la pregunta que todos tenemos es: ¿yo qué puedo hacer? Esta cuestión genera mucho agobio porque en algunas profesiones naturalmente se sabe qué hacer, pero hay otras con tantas incógnitas que en más de una ocasión el no saber responderlas nos hace sentirnos inútiles. Intentaré provocar conciencia diciéndoles: algo nos toca hacer a nosotros, y cuando digo nosotros en verdad estoy incluyendo a todos, y este quehacer, por supuesto, tiene que ver con la matemática. Un reto pendiente en México es desarrollar el pensamiento matemático de la población y eso exige la enseñanza en escuelas, pero también la implementación de nuevas prácticas, de manera que me voy a ubicar en esa zona, la de la reconstrucción, en donde cada uno tendrá algo por hacer.

Hablaré de algo muy concreto: el desarrollo del pensamiento matemático en este país. Me tocó dirigir el proceso de reforma curricular mexicana para el bachillerato, aún vigente en la Secretaria de Educación Pública, y que se aplica en todos los bachilleratos del país, es decir, representa un cambio muy grande a nivel nacional que implica a la población.

Me voy a ubicar en el terreno de la reconstrucción, en donde nosotros podemos ayudar a desarrollar el pensamiento matemático de una población y, por otro lado, en el momento de cambio que vive el país, que es muy bueno, desde ahí estoy mirando las cosas.

El título que pensé para esta charla alude justo a eso: el papel y la importancia del pensamiento matemático en el conocimiento y la cultura de los pueblos y las personas, no sólo el conocimiento matemático de los matemáticos, sino de la sociedad.

Primero daré algunos datos sobre el contexto educativo mexicano: el primer dato relevante es que, si tomamos los resultados del Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos de la OCDE (PISA por sus siglas en inglés), el valor de la función que describe los resultados mexicanos es pequeño, o sea, la F es pequeña, pero su derivada es grande; tan es así que México está entre los cinco países del mundo que más han mejorado en PISA. Claro, estábamos muy abajo, pero la pendiente es positiva, grande, y eso es muy bueno porque eso quiere decir que algo están haciendo bien los profesores de todo el país, pues estamos mejorado, no todo es tragedia. Lo mismo ocurre en cuestión de lectura. En matemáticas y en lectura hay un ascenso, en matemáticas es muy fuerte y en ciencias se ha mantenido. El único país en la región que logró subir en todos los indicadores fue Brasil, y eso se debió en gran medida a que tuvieron una especie de SUMEM nacional. Todo profesor de Brasil tenía acceso a un apoyo para estudiar una maestría, todos los académicos vinculados con matemáticas, con ciencia, con lectura, colaboraban en el desarrollo profesional. Fue una política pública muy interesante que, infortunadamente, ahora se detuvo, pero fue una política que tuvo resultados importantes.

Tomaré un dato mucho más reciente. Primero hablé de PISA, estamos en el momento del contexto, estamos entendiendo dónde estamos.

Usaré datos de estudiantes en el último grado de los diferentes subsistemas que dependen del macrosistema que es la SEP. Se puede observar que en el último grado la población en bachilleres a nivel nacional es grande, en bachilleratos particulares es grande también y está creciendo significativamente. La Dirección General de Educación Tecnológica Industrial (DGETI), es el subsistema más grande en el país, es decir, si se quiere transformar la educación de este país tiene que transformarse a la DGETI, pues es ahí donde está la mayoría de la población, seguida de los bachilleratos estatales y algunos otros más.

La Dirección General de Educación Tecnológica Agropecuaria (DGETA) es un sistema mucho más estable, con alumnos que en su gran mayoría pasan del campo al estudio y se orientan hacia carreras relacionadas con el agua, la ganadería, la siembra, los alimentos, y que son muy interesantes, porque son sistemas muy disciplinados, eso a mí me encanta porque conservaron la tradición Cardenista de escuelas para el servicio que aún sigue vigente. Si uno entra a un plantel de la DGTA se da cuenta de inmediato que está en un plantel de esos: sistemático, ordenado, los estudiantes muy disciplinados; si se quiere expresar en términos más sociológicos: un capital cultural distinto del que tendría un joven universitario en la ciudad. Se distinguen por ser gente muy entregada. Las encuestas sobre identidad nacional muestran que son los sectores de la población más patriotas; muy interesante ese dato, aunque a la vez triste, pues los más discriminados son los que más mexicanos se sienten.

A continuación un dato duro del último estudio del 2017 que muestra una cuestión que a mí me parece fundamental: si dividimos a la población en deciles, es decir, del total de jóvenes que tienen acceso a la educación media superior (que ahora por ley debe ser el 100%), los jóvenes con menor recurso económico están en el decil más bajo, y los que tienen mayor recurso económico en el más alto. Hay una correlación directa entre el desempeño en matemáticas y el decil al que se pertenece, es decir, estrictamente hablando, podría afirmarse que la educación en México todavía no logra la capilaridad social a que aspiró después de la Revolución Mexicana.

Quien tiene menos recursos, no importa si procede de una escuela privada, tenderá a obtener resultados más bajos y, por el contrario, a mayor recurso, mejor resultado. Aclaro: esto no habla de los individuos, (siempre hay excepciones), sino de la población. Bajo la lógica poblacional significa que no todos los resultados escolares en matemáticas provienen exclusivamente de la calidad del discurso en el aula, sino que tiene que ver con factores externos.

Una cuestión técnicamente importante es: qué proporción de la evolución en el desarrollo del pensamiento de alguien depende, estrictamente hablando, de su clase de matemáticas y cuál no. Lo que hemos inferido es que no podríamos desarrollar el pensamiento matemático de la población si sólo trabajáramos al interior de la escuela: modificaríamos solamente un 30% en el logro, por más que hagamos bien nuestro trabajo; el otro 70% se nos escapa.

Aquí se observan datos interesantes: el sistema educativo privado se mantiene muy abajo, pero a partir del sexto y séptimo avanza: a mayor ingreso, llega a competir con los bachilleratos autónomos.

Los bachilleratos autónomos tienen la ventaja de depender de una universidad, por lo que todo el capital cultural, toda la tradición educativa universitaria del estado se lleva al bachillerato: la continuidad educativa parece ser una ventaja. Puede ser financiera y económicamente difícil mantener bachillerato y universidad, pero desde el punto de vista de resultados es muy bueno para el joven de bachillerato.

Un dato muy interesante por región, porque muestra la pluralidad en México: con la misma currícula, con los mismos libros de texto, con profesores formados de la misma manera, se tendrán resultados mucho más bajos en Chiapas que en Aguascalientes, lo cual prueba, claramente, que hay un problema de discriminación hacia el multilingüismo que no está siendo bien atendido.

Los mismos programas, los mismos profesores y las mismas clases producen resultados diferentes. Lo que quiero señalar es: no sólo es el mensaje del aula, sino algo más que debe pensarse muy seriamente.

Los “mapas de Wright” son interesantes porque miden cómo se plantea el tipo de preguntas a la población. Esta es la prueba de principios de este año, y básicamente nos dice que las tareas de complejidad conceptual alta no son abordadas por casi nadie del bachillerato, sólo abordan tareas de complejidad cognitiva muy baja, es decir que la escuela ayuda ahí, pero no en otros retos. Tendríamos que abordar esto, y mi propuesta es que debe pensarse en estrategias, a las que he denominado: “de aula extendida”, donde se utilice mucho más el conocimiento cultural para el desarrollo del propio pensamiento matemático de la gente, en lugar de reducirlo al aula.

Un caso concreto: en una escuela en la selva de Tulum, ubicada a unas cinco horas de Puerto Escondido, con dirección hacia la Sierra, se dan fenómenos como estos: una clase de geometría y trigonometría donde se define los objetos, se dan fórmulas; el joven no le ve sentido a eso y no va a progresar porque eso no le parece interesante. Pero si el problema se plantea de otra manera, por ejemplo: vamos a medir los terrenos –lo cual es complicado porque los terrenos no son planos–, y lo haremos para calcular exactamente cuánto debe pagar tu abuelito al consejero municipal o a quien sea, por concepto de tenencia de la tierra, entonces ellos contestan: “sí, lo quiero medir porque siempre nos cobran mucho”, y es así como ves a los niños, a los jóvenes midiendo y midiendo, calculando, viendo si es un triángulo, o es como un rectángulo, porque en el fondo no les preocupa si se llama octágono, no les preocupa nada de eso, les preocupa que a su abuelito le cobran mucho, y así también nos dimos cuenta de algo que ignorábamos: en esas clases las mujeres eran mejores alumnas que los hombres, ¿por qué?, porque mencionaron que “es que siempre en las herencias nos engañan y se las quedan los hombres, entonces debemos saber bien cómo se mide”, y de verdad es impresionante ver como comenzaron a medir, y decían: “bueno, si yo parto un rectángulo en dos, éstos pueden ser como dos triángulos”, es decir, lo que en la escuela sería algo sin sentido para ellos, en ese tipo de contexto adquiere relevancia, y paradójicamente son escuelas cuyos resultados comienzan a subir, es decir, aunque no se hayan visto los temas curriculares estrictamente, sino que se abordaron problemáticas que eran de interés, lo que se muestra es que si el alumno sólo se restringe al aula, no pasará de las actividades cognitivas más básicas: recordar, aplicar, ejercitar; pero si se desea algo más de reflexión, de intuición, es mucho más productivo, aunque parezca ser más complicado. Si se aplican estrategias de aula extendida, el escenario mejora.

Eso exige que el maestro abrace y acepte esto, es decir, un profesor que piense: “no estoy perdiendo el tiempo si salgo al jardín”, pues haciéndolo puedo plantear el problema que ustedes quieran, por ejemplo: cómo medir la altura de algo sin instrumentos, o si se puede hacer a escala el sistema planetario, ¿cabría aquí o no? Esto es, preguntas que parecieran fuera de lugar, pero adquieren relevancia para el joven. En el caso de la prueba que hizo el Instituto Nacional para la Evaluación Educativa (INEE) discrepo en algo: yo tenía la esperanza de que ahora el INEE, en tanto que es autónomo, iba a abordar aspectos de cómo mejorar, y no iba a calificar a la gente en la prensa señalando que: “Los jóvenes sólo tienen habilidades cognitivas básicas”, pues esto ya lo sabíamos, pero no olvidemos que estos “jóvenes con habilidades cognitivas básicas” son los mismos que anduvieron ayudando a los damnificados del terremoto pasado, entonces, ¿con qué me quedo?, pues que los del INEE mejor ayuden productivamente, porque calificar no ayuda: tomar la temperatura a diario no cura, tengo que entender qué produce el mal para hacer algo.

En los datos de contexto se observa que en lengua y en comunicación la brecha es muy grande, pero en matemáticas se acorta considerablemente entre los alumnos de colegios privados y los tecnológicos, o sea que, aunque no lean ni escriban tanto, no se comuniquen mucho, resuelven problemas muy parecidos. Este es un dato interesante que va en contra de lo que apuntaba el Banco Mundial respecto a las competencias vinculantes, como ellos les llaman.

¿Qué hay que hacer entonces?, pues pensar en formas nuevas, es decir, buscar que la ciudadanía use el pensamiento matemático en diferentes tipos de situaciones. Si se lograra que en la ciudadanía un mayor nivel de desarrollo del pensamiento, de inmediato se reflejaría en la escuela, en lugar de insistir sólo en modificarla. Esto claramente es política pública, ya no es una cuestión de aula, tiene que ver con algo más amplio.

Un colega me decía: “el día que todas las mamás entiendan muy bien la proporcionalidad de la regla de tres simple, ésta dejará de ser un problema en la escuela”. Me impresiona el dato. Me lo dijo una persona que ya murió, un físico muy famoso. Yo no lo había pensado así, es decir ¿cómo logras modificar la escuela desde fuera?, es un reto.

¿Cómo se puede hacer? Tomando en cuenta las prácticas cotidianas y culturales, es decir, lo que la gente hace, por ejemplo: ese señor construye casas en su región, aunque nunca fue a la escuela; “él se lanza y sabe cuándo tirarse al vacío”, arregla hasta las conexiones de comunicación y lo hace mediante ensayo y error. Estos son profesores que están midiendo cosas con trigonometría, pero sin instrumentos. Quitarles el instrumento hace que las ideas aparezcan, esto es muy interesante.

Ayer vi un estudio muy interesante sobre los paileros, aquellas personas que trabajan sobre láminas de acero. Las compuertas del canal de Panamá se hicieron en San Luis Potosí por paileros. Los depósitos de los camiones que llevan gasolina, cemento, los que usan las tolvas en las que se traslada la grava, también las hicieron estos trabajadores. La pieza de la tortilladora donde se deposita la masa, la hizo también un pailero. Los paileros trabajan en todas partes, y ellos, en su gran mayoría, no tuvieron estudios formales, sin embargo, están preparados para construir piezas únicas. Alguien les dice: “yo quiero una tolva que tenga tanto de altura”, entonces ellos tienen que utilizar proporciones, semejanzas, paralelismo; saben usar compás y reglas. Vi el diseño de una empresa francesa que les pidió un trabajo y vi cómo lo hicieron. La cantidad de información de trigonometría y geometría que usan es mayor a la que la escuela les da a los estudiantes; entonces surge una pregunta: ¿cómo podría yo recuperar algunas de esas prácticas para volverlas prácticas escolares? Es posible que al volverla práctica escolar la esterilice, pero tendría al menos un elemento más para lograrlo. Pues bien, tenemos que hacer cosas así, que salgan del aula para hablar del pensamiento. Ahora, ¿qué tipo de problemas?, ¿qué se sabe hoy de la enseñanza de la matemática a este nivel de bachillerato? Esos son ya estudios del sistema educativo mexicano.

Actualmente, una asignatura no tiene que ver con la otra. Al terminar álgebra corresponde cursar geometría, luego trigonometría, pero ninguna de estas asignaturas tiene nada que ver con la anterior, pues cada una está desarticulada con la básica y con la superior. Lo que se aprendió en básica no le preocupa al que enseña en media superior; no hay contextos reales de la solución de actividades. Este desfase ha provocado desinterés en la continuidad académica del alumnado, y a la vez ha producido fenómenos de abandono escolar que se están ocultando y que deben revelarse, porque los desertores de los estudios nutren a las filas del narcotráfico, aquellos jóvenes que abandonan el primer año del bachillerato en gran medida pasan a formar parte de las filas del narco. Por tanto, debe hacerse un esfuerzo grande porque la gente no abandone a esa edad la escuela, es un reto.

También nos hemos dado cuenta de que a nivel de programas y currícula, el tema gira en torno al pensamiento deductivo o al inductivo, pero no hay casi nada sobre el pensamiento abductivo. Los pensamientos abductivos son esencialmente conjeturales, son formas de intuición, y eso en la escuela no cabe, no se puede abordar en 50 minutos, no encaja, pero el pensamiento abductivo es fundamental para la vida profesional.

¿Cuál es la estrategia?, lograr que, para un joven de esta edad, a quien eventualmente no pueda parecerle atractivo un tema, lo vea con un significado relevante para él, al igual que su clase; y aunque esto limitaría el conjunto de objetos a tratar, ampliaría considerablemente su imaginación. Se supone que en tanto que el bachillerato es la última parte de la educación obligatoria por ley, el que egrese de este nivel debe ser un ciudadano competente, que pueda insertarse en el mundo laboral, o pueda seguir estudiando si quiere. Bajo esa lógica, que debe ser propedéutica, en realidad no lo es, pues aunque terminan no necesariamente van a encontrar un lugar en la universidad o van a encontrar un empleo.

Existe una consigna de la UNESCO que propone “aprender a aprender”, pero ¿qué significaría aprender a aprender? Si ya la acción de aprender es compleja, “aprender cómo aprendo” es claramente más complejo, por lo tanto, como meta o ideal está bien, pero puede no ser muy concreto. Entonces debe buscarse una forma de darle concreción a esa idea.

Un ejemplo: tengo una fórmula matemática que tiene significado sólo para aquellos que conozcan los términos, los teoremas asociados, pero fuera de ese núcleo la expresión no quiere decir nada. Se ve que es una integral, y aparece un 𝜋 que se relaciona con los círculos o con cosas así, una 𝑖 la conecta con los circuitos o con los complejos, pero el joven debe encontrar una forma de darle un sentido a eso, ese sentido es el que a veces la escuela no logra. Voy a intentar darle significado: en el fondo lo que dice es que si yo tengo una región del plano con un punto en el interior, la función es analítica; tengo una función analítica sobre un dominio y en el interior tengo un punto tal, que si defino esta nueva función para la cual 𝑍0 es un polo, el valor de la integral sobre la curva se puede calcular como el valor de la función en un punto en el interior. En el fondo lo que me está diciendo es que hay una propiedad de esa región, y esas funciones me permiten saber lo que pasa en la frontera con solo conocer lo que pasa en el interior, o al revés, puedo saber lo que pasa en el interior solo conociendo la frontera.

¿Le preguntaría a cualquier ingeniero mecánico si ha metido el dedo en un pistón para saber la temperatura que hay en su interior?, ¡pues no! (Hablando sobre usar esa idea de frontera). O cuando yo era niño y me daba fiebre, y mi mamá me ponía un termómetro en la axila, a ella no le importaba la temperatura de mi axila, le interesaba la temperatura de mi cuerpo, entonces, ¿cómo podía obtener la información? Ella no conocía la fórmula integral de Cauchy pero sí sabía que la frontera le daba información del interior, esa idea es mucho más cercana para la gente que la sola fórmula. Si yo empiezo a atribuirle significado a la fórmula a partir de contextos, aunque no pueda yo entenderla plenamente, puedo entender de qué habla. Un segundo o tercer nivel del desarrollo del pensamiento permite que yo pueda dominar la fórmula y darle un significado. Esto se hace en todos los niveles. Por ejemplo, puedo resolver un montón de problemas de aritmética, calcular una gran cantidad de áreas y no estar pensando matemáticamente, y es esto precisamente lo que la escuela enseña, a calcular esas cosas, no está enseñando a desarrollar el pensamiento matemático, y puedo, por otro lado, tener un buen pensamiento matemático y equivocarme cuando voy a comprar a la tienda.

Nuestra idea social de lo que es saber matemáticas no es lo que uno imaginaría, eso es algo que hay que modificar a nivel de la sociedad: ejemplos, actividades, que la gente pueda ver en dónde está presente la matemática.

Estamos en una etapa experimental muy interesante. Tomamos dos escuelas de ingeniería muy buenas, una es la Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas (UPIITA), del Instituto Politécnico Nacional, y la otra es la Escuela de Ingeniería de la Universidad de Camagüey, en Cuba. A estudiantes destacados de ambas universidades les planteamos la pregunta: si esta es una función analítica, ¿en qué región la tercera derivada es positiva? Ya sé que es difícil contestar eso, pero queríamos ver qué hacían estos jóvenes y nos dimos cuenta de que las respuestas se parecían mucho. Conclusión: no dependen del sistema educativo. La misma pregunta tampoco pudieron contestarla en Francia, por lo tanto, eso tiene que ver específicamente con el pensamiento de la gente ¿Cómo analizamos eso? Hay técnicas, hay maneras de hacerlo, y es en lo que estamos trabajando.

¿De qué nos dimos cuenta?, de que para entender esto debemos empezar por algo muy elemental: sólo hay tres formas de crecer ¿Cómo haces para que un joven sepa que esas tres formas existen?, pues logrando que él tenga manera de imaginarlas, de construirlas, luego ya verá que la primera derivada es positiva en una parte, negativa en otra, pero primero debe saber que son formas de crecer. Esto no está en los programas de estudio y es fundamental para otras preguntas que tienen que ver con temas más avanzados.

Quisimos que en la nueva propuesta de planes de estudio ese tipo de cuestiones estén presentes y se logró. Esto se discutió en el último evento de Hamburgo, en donde se presentaron las teorías emergentes de diferentes lugares: Israel, Francia, Japón, México, y también presentamos la idea de la “socioepistemología”, que habla de la construcción social del conocimiento, es decir, partir de la cultura como elemento de desarrollo del pensamiento.

¿Qué propusimos en los años noventa?, que debían adoptarse contextos no formales, es decir, fuera del aula, y plantear cómo sirven en el aula si los llevábamos a la práctica, de manera experimental. Hicimos mucho trabajo con ingenieros, médicos, matemáticos, para entender cómo pensaban los alumnos en situaciones no escolares y a partir de ahí tomamos elementos que hoy están en la propuesta curricular de la SEP. Vendrá una etapa experimental en los siguientes dos años. ¿Qué caracteriza a la propuesta?, que el significado de un objeto matemático no está en el objeto, sino en el uso se haga de él, por lo tanto, es imposible que un joven le dé significado a algo si no tiene manera de usarlo en algún sitio.