Kitabı oxu: «Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики»

Знак информационной продукции (Федеральный закон № 436-ФЗ от 29.12.2010 г.)

Переводчик: Екатерина Полякова

Редактор: Екатерина Новохатько

Главный редактор: Сергей Турко

Руководитель проекта: Елена Кунина

Арт-директор: Юрий Буга

Дизайн обложки: Денис Изотов

Корректоры: Мария Стимбирис, Анна Кондратова

Верстальщик: Александр Абрамов

Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

© Éditions du Seuil, 2022 Published by arrangement with SAS Lester Literary Agency & Associates

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина Паблишер», 2024

* * *

Но ведь на то и Мечтатель, живущий в каждом из нас ‹…› Прислушаться к Его тихим, настойчивым речам – значит отыскать путь к себе самому. Инерция духа – серьезное препятствие на этой дороге; чтобы преодолеть его, нужна решимость.

АЛЕКСАНДР ГРОТЕНДИК¹

Глава 1
Три тайны

Цель этой книги – изменить ваш взгляд на мир.

Ее отправная точка – мой собственный путь, долгое странствие, которое преобразило меня и наделило необычными способностями. Но оно было не только моим. Это всеобщее странствие, одно из самых древних и значительных, какие только могут быть. Его начала горстка людей в доисторические времена, но оно и поныне преобразует нашу цивилизацию, наши язык и мышление.

Сколько нас, чувствующих живой пульс математики внутри? Не знаю. Знаю только, что нас ничтожно мало, и мы еще не поведали миру о себе.

Считается, что путь математики непостижим. Изучающему ее надо быть причастным к элите, получить особый дар. Величайшие математики писали труды, чтобы опровергнуть это. Как мы увидим дальше, они добились таких высот обычными человеческими средствами, преодолевая сомнения и слабости, любопытство и воображение. Так они утверждали.

Никто не захотел им поверить. Возможно, они не смогли рассказать свою историю простыми словами. А может, недооценили силу мифа, который подвергали сомнению, одного из великих мифов человечества – об интеллекте.

Математика придает нашему миру форму. Она – инструмент власти и господства. Но для тех, кто живет ею, постижение математики – это прежде всего внутренний опыт, чувственный и духовный поиск.

Этот опыт мало похож на то, чему нас учат в школе. Отчасти это своего рода ясновидение, экстрасенсорное мышление. Отчасти это продолжение того загадочного процесса, который позволил нам в раннем детстве научиться говорить.

Понять математику – значит пройти тайной тропой, ведущей к гибкости нашего детского ума. Восстановить эту гибкость, приручить ее и уметь применять. Эта тропа интеллекта удивительно близка к той, которой мы следуем в повседневной жизни. Но доступ к ней спрятан, скрыт за нашими привычками, страхами и запретами.

И мне хотелось бы помочь вам отыскать эту тропу.

Нечто загадочное

«У меня нет особого таланта. Я просто страсть как любопытен».

В 15 лет я ненавидел эту фразу Эйнштейна. Я считал ее неискренней, это напоминало мне о тех случаях, когда топ-модели принимаются нам объяснять, что важнее всего внутренняя красота. Ну правда, кому охота слушать такую чушь?

И все же главная идея этой книги в том, что слова Эйнштейна надо принимать всерьез.

Кстати, поразительно, насколько нам трудно принять их всерьез. За Эйнштейном не водилась репутация законченного болвана или патологического лжеца. Спросите любого прохожего, и он скажет, что теория относительности – величайший вклад в человеческую мысль. Стало быть, то, что мог сказать и написать Эйнштейн, заведомо должно заслуживать внимания.

Но стоит ему намекнуть, что его уровень творческих способностей может быть досягаем для других, что это результат лишь немного другого взгляда на мир и так может каждый, – мы тут же решаем, что он не всерьез. Старикан сам не понимает, что несет. Или, хуже того, это ложная скромность, он так говорит, просто чтобы выпендриться.

Проблема в том, что, пока мы отказываемся принимать всерьез слова Эйнштейна, мы лишаем себя возможности продолжить разговор. А он заслуживает продолжения.

Фраза Эйнштейна объективно интригует, но мало о чем говорит. Если даже предположить, что она правдива, то что нам с ней дальше делать? Чем она может нам быть полезна? Без дальнейших уточнений, конкретных деталей или практических советов сложно понять, какие уроки следует из нее извлечь.

И все-таки невероятно, что никто не сообразил ответить ему: «Альберт, то, что ты сказал, безумно интересно, но хотелось бы узнать больше. Как насчет пояснения? Мы хотим узнать скрытые подробности, понять, как оно на самом деле у тебя работает. Заходи на чашечку кофе! Или, может, тебе больше по нраву долгие прогулки по лесу? Приходи и расскажи нам, у нас к тебе куча вопросов…»

Очевидно, что в первую очередь мы хотели бы задать самые глупые вопросы.

1. Откуда взялось любопытство Эйнштейна?

Я знаю мало людей, любопытных до такой степени, чтобы закрыться в комнате и размышлять о проблемах теоретической физики. Но кое-кого все же знаю, и все они говорят одно и то же: если им хочется закрыться в комнате наедине с проблемами теоретической физики, разумеется, ими движет научное честолюбие, но при этом – и в первую очередь – они получают истинное удовольствие.

И тогда вопрос начинает звучать так: как Эйнштейну удавалось находить удовольствие в занятиях физикой?

2. Как Эйнштейну удавалось не сдаваться?

Быть «страсть как любопытным» – значит иметь способность интересоваться чем-то с неослабевающим интересом, увлеченно, не пасуя перед сложностями. Эйнштейн явно нашел тайное средство, чтобы не отчаиваться там, где другие сдаются. И в чем же секрет?

Занимаясь математическими исследованиями высокого уровня, я понял одну важную вещь: когда запираешься в комнате наедине со сложной задачей, возникает ровно одно желание – сбежать оттуда.

Столкнуться с настоящей сложностью, достичь пределов своего ума, натыкаться на препятствия, месяцами барахтаться на месте, чувствовать себя слишком глупым, чтобы все это понять, и не иметь ни малейшего представления, как найти выход, – это же просто ужасно!

Эйнштейн нашел способ приручить свой страх и воспротивиться рефлекторному желанию сбежать. Что же это за способ?

3. Что именно происходило, когда Эйнштейн запирался в комнате наедине с проблемой?

Или, если говорить прямо, что Эйнштейн делал с проблемой? С какой стороны он к ней подходил? Как он действовал, чтобы с ней справиться?

Мы хотим знать, что на самом деле происходило у Эйнштейна в голове. Мы хотим знать, как он это делал по правде. Хотим узнать технику Эйнштейна, секретный фокус, который всегда срабатывал.

Мы знаем, что способность к интеллектуальному творчеству зависит не только от упорного труда. Мы знаем, что тут явно есть что-то еще, своего рода волшебные флюиды, что-то таинственное, что никогда не преподают в школе.

Если бы Эйнштейн нашел время преподать нам методику, как совершать великие научные открытия, его вклад в достижения человечества намного превзошел бы его работы по физике. Как говорится, лучше дать удочку, а не рыбу.

Эта дискуссия так и не состоялась. И никогда не состоится. Альберт Эйнштейн умер 18 апреля 1955 года в университетской больнице Принстона. Врачу, выполнявшему вскрытие, самому было так интересно раскрыть тайну Эйнштейна, что он изъял его мозг без согласия семьи и разрезал на тысячи пластинок.

Это мало чем ему помогло.

Метод

Но вообще, вопрос не только к Эйнштейну. Этому вопросу уже много веков. Он касается наших убеждений и заблуждений об интеллекте и интеллектуальном творении, а также ограничений, которые налагают на нас эти убеждения.

Самое трудное в понимании работ Эйнштейна – математический формализм. Он же создавал больше всего проблем и самому Эйнштейну. Как тот однажды признался школьнице, просившей у него совета: «Не переживай насчет своих проблем с математикой, уверяю тебя, у меня их намного больше».

Четыреста лет назад величайший математик своего времени рассказал о своей жизни в книге, ставшей известной на весь мир. С первых же страниц его посыл абсолютно ясен. Его можно вкратце изложить так: «Я не умнее других. Мне просто посчастливилось открыть волшебный метод, который позволил мне стать сильнее всех остальных. Позвольте мне объяснить, как я это сделал».

Тот же рефлекс, который не дает нам принять всерьез слова Эйнштейна, мешает нам услышать то, что пытается сказать этот математик (Рене Декарт), и поместить его книгу («Рассуждение о методе») на ту полку, где ей и следует быть – среди литературы о личностном развитии.

Сойдемся на том, что нет метода, который позволил бы каждому стать великим математиком, как и метода, который позволяет увеличить пенис или разбогатеть, работая из дома по два часа в день.

И неважно, что Декарт говорит нам прямо противоположное.

Три заблуждения

Мы еще вернемся к «Рассуждению о методе» в главе 14. Но, чтобы услышать, что нам пытаются сказать Эйнштейн и Декарт, сначала нужно избавиться от трех стереотипов о математике.

1. Чтобы заниматься математикой, надо мыслить логически.

2. Некоторые из нас от природы в ладах с числами, а некоторые от природы наделены хорошей геометрической интуицией. Увы, подавляющее большинство не понимает в математике ровным счетом ничего, и с этим надо смириться.

3. Великие математики родились с иной структурой мозга, чем у нас.

По первому стереотипу скажем сразу: нет, математики не мыслят логически. И никто не мыслит логически. Более того, мыслить логически в принципе невозможно. Логика вообще не предназначена для мышления. Она нужна для других вещей – мы еще обсудим для чего.

Второй стереотип – самый токсичный. Он ограничивает нас и делает фаталистами. Он сумел убедить добрую половину человечества, что математика – это чуждые и враждебные земли. Каждому из нас, включая самых одаренных, он полагает непреодолимый предел – уровень математической интуиции, который якобы «от природы» у каждого свой.

Третий стереотип – просто вариация на ту же тему: чтобы быть Эйнштейном или Декартом, надо таким родиться, им нельзя стать. А когда Эйнштейн и Декарт заявляют нам обратное, они просто над нами смеются.

Это представление, согласно которому мы якобы не способны стать успешными в математике, неверно, но исходит из фундаментальной истины: волшебная сила математиков не логика, а интуиция.

Как выстроить свою интуицию

Эйнштейн много говорил о важности интуиции в своих открытиях. «Я верю в интуицию и вдохновение», – сказал он и был при этом совершенно серьезен. Что же до математиков, они прекрасно знают, что есть две разные версии математики.

Официальная версия находится в учебниках – там она представлена логически и структурированно, на заумном языке, основанном на загадочных символах.

Скрытая версия находится в голове у математиков и называется математической интуицией. Она состоит из мысленных представлений и абстрактных ощущений, часто визуальных, которые кажутся математикам очевидными и приносят им удовольствие. Но когда речь заходит о том, чтобы поделиться этими очевидными вещами с остальным миром, математики оказываются в большом затруднении. То, что было таким очевидным, вдруг становится сложным.

Чтобы записать свои идеи, математики были вынуждены придумать тот самый заумный язык и загадочные символы, точно так же, как музыкантам пришлось придумать заумную нотную запись, чтобы передать свои сочинения. Только у музыкантов есть огромное практическое преимущество: им достаточно сыграть музыку, чтобы все сразу поняли, о чем идет речь, не занимаясь расшифровкой партитуры.

Большая проблема математиков в том, что у них такой возможности нет. В их голове идеи ярки, просты и богаты. На бумаге они становятся унылыми и невзрачными. Проклятие математиков – играть математику только в голове.

Если бы детей приобщали к музыке, заставляя расшифровывать партитуры Моцарта или Майкла Джексона и никогда ничего не давая слушать, музыка была бы таким же предметом всеобщей ненависти, как математика.

Интуиция – это смысл математики. Без интуиции математика не значит буквально ничего. И все же не нужно из этого заключать, что если вы ничего не понимаете в математике, то с этим уже ничего не поделать.

Ошибочно считать, что математическая интуиция – нечто статичное, непреодолимый рубеж. Ведь наше интуитивное представление о математических объектах не врожденное, не застывшее. Мы можем выстраивать его, выращивать день ото дня, если только следовать верной методике.

Математики прекрасно знают, что официальная математика – та, что в учебниках, – рассказывает не все. Они прекрасно знают, что истинная задача – суметь понять то, что в учебниках, суметь увидеть это и почувствовать.

Поэтому в повседневной жизни их занимает вопрос, как развивать свою интуицию, чтобы она становилась богаче. Интуиция математика – в гораздо большей степени, чем его публикации и официальные работы, – это его шедевр, творение всей жизни.

Это необыкновенное искусство видеть, чувствовать, действительно понимать и находить очевидным то, что 99.9999 %² человечества считает чудовищно абстрактным и в высшей степени непостижимым, – великое искусство математиков и их великая тайна. Лишь те, кто занимался этим, знают, куда может привести данное искусство.

Но как у них получается? Вот о чем эта книга.

Три секрета математиков

1. Занятия математикой – это физическая активность. Чтобы понять то, чего не понимаешь, нужно выполнять в уме скрытые действия – невидимые, но необходимые, – которые позволят обогатить интуицию и развить новые мысленные представления, более глубокие и мощные. Это деятельность, которая усиливает и обогащает нас. Учиться заниматься математикой – значит учиться пользоваться своим телом. Это то же самое, что и учиться ходить, плавать, танцевать или ездить на велосипеде. Эти действия не даны нам от рождения, но все мы способны им научиться.

2. Есть метод, позволяющий отлично разбираться в математике. Этот метод никогда не преподают в школе. Впрочем, он не похож ни на какую школьную методику и противоречит всем принципам традиционного образования. Он требует не усилий, а простоты. Его можно сравнить с техникой скалолазания, боевым искусством, своего рода йогой или медитацией. Он учит нас преодолевать страхи, обуздывать позыв к избеганию неизвестного, учит находить удовольствие в столкновении с противоречием. Это способ перепрограммировать нашу интуицию. А значит, это не просто метод, помогающий отлично разбираться в математике, – это метод, позволяющий стать очень умным.

3. Мозг великих математиков работает так же, как и наш. Как и с другими видами физической активности, естественная склонность к математике, конечно, распределена между людьми неравномерно. Но это биологическое неравенство играет все же не такую важную роль.

Математические навыки распределены так чудовищно неравномерно, что биологическая гипотеза не выдерживает критики. Несомненно, некоторым людям генетически присуще более эффективное, быстрое и мощное взаимодействие нейронов, которое – почему бы и нет? – может сделать их, скажем, в два раза способнее к математике. Но владеть правильным методом, развить правильные умственные рефлексы, занять правильную психологическую позицию – значит стать способнее к математике в миллиард раз.

Есть другое, намного более простое и правдоподобное объяснение, почему существует столь вопиющее неравенство в способностях к математике: нас никогда не учат методу, как начать отлично разбираться в математике. Все отдается на волю случая. Каждому приходится заново, самостоятельно и наудачу открывать крупицы методики. А чаще всего никому не удается ничего открыть, потому что некоторые ключевые моменты метода неожиданны и идут вразрез с интуицией. Пройти мимо них очень легко.

Мозг великих математиков работает так же, как и наш. Но их личная история, их способ выстроить взаимоотношения с миром дали им возможность познакомиться с этим методом с детства. Они приобщились к нему самостоятельно, не имея такого намерения и не зная, что они делают. Просто так случайно повернулась жизнь.

Устная традиция

Многие ученые-математики признавались, что ощущали себя самоучками. Если вспомнить, какое место занимает математика в школьном образовании, такое ощущение выглядит парадоксальным.

Действительно, они не самоучки в том смысле, что школа научила их массе вещей. Но они в самом деле самоучки в том смысле, что самым важным вещам учились не в школе.

Я сам один из таких парадоксальных самоучек. В школе я научился основам математики в общепринятом смысле. И в то же время я открыл для себя зачатки тайной математики, хотя некому было преподать их мне.

Очень долго я не понимал связи между невидимыми действиями, которые я производил у себя в голове, – этой привычкой весьма своеобразно использовать воображение – и моими способностями к математике.

Я поделюсь упражнениями для развития воображения, которыми стал заниматься с детства. Вначале это были лишь очень простые и невинные игры. Например, я развлекался, ходя по дому с закрытыми глазами и стараясь запомнить расположение мебели. Казалось бы, никакой связи с тем, чему меня учили в школе?

Когда я только начал, у меня не особо получалось. Я то и дело врезался в стены. Я и не подозревал, что эта игра, как и другие, всё более сложные, позволит мне развить необыкновенно сильную геометрическую интуицию – при той же стартовой позиции, что и у всех.

Эта интуиция стала тайным оружием моей математической карьеры. Я видел то, что никто никогда не видел, и мог решать задачи, которые никто не мог решить.

Поскольку я чувствовал, как математические силы растут во мне с годами, я твердо знаю, что они не врожденные. Я также знаю, что мыслительные привычки, которые позволили им возникнуть, никогда не преподавались мне в школе. В первую очередь они – плод случая и удачи.

Лишь много позже, общаясь с другими математиками и читая свидетельства знаменитых ученых, я обнаружил, что мой опыт ничуть не уникален.

Параллельно с нормативным знанием, содержащимся в учебниках по математике, секрет математиков живет в устной традиции, которая передается и обогащается из поколения в поколение. Она рассказывает о том, о чем никто не осмеливается писать в книгах, потому что это выглядит несерьезно, потому что это уже не наука и потому что это как-то чересчур похоже на курсы личностного развития.

Эта история заслуживает, чтобы ее рассказали простыми и доступными словами. Она касается нас всех, двоечников по математике или гениев, молодых или старых, гуманитариев или технарей. Она говорит о наших сильных и слабых сторонах, о наших скрытых талантах и о том, что мы способны совершить. О человеческом разуме, сознании и языке. Это история обо всех нас.

Математическое странствие – это внутреннее странствие, тайное и безмолвное. Но это наш общий путь. Его истинная цель – человек.

В частных разговорах, когда математиков никто не слышит, они наконец могут рассказать друг другу все как есть.

Да, математика внушает страх. Да, она кажется непостижимой. Да, у многих создается впечатление, что они не достигнут успеха. И все же способ есть.

Глава 2
С подходящего конца ложки

Моему сыну Араму год, и он учится есть ложкой. Не буду лукавить – это катастрофа. Через две минуты пюре у него даже в ушах.

Я пытаюсь ему помочь. Наполняю ложку и протягиваю ему. Но он берет ее не с того конца, где ручка, – а с того, где пюре. Я объясняю, что брать нужно с другого конца, с ручки, и показываю, как надо. Но он упорно тянет руку к пюре. В конце концов, это не лишено логики, потому что его интересует именно пюре. Только вот это не так делается.

И все же я совершенно за него не беспокоюсь. У него все получится. Все в конце концов понимают, что ложку нужно держать с нужного конца. Я никогда ни от кого не слышал: «Ложки – это не мое. Так и не понял, зачем это. Меня это быстро выбесило, и я бросил».

У человечества с ложкой прекрасные отношения. Никто не ненавидит ложки. Ложки никого не ненавидят. Это одно из первых настоящих орудий, с которыми мы встречаемся, и они будут сопровождать нас всю жизнь.

Сначала ложка загадочна и непредсказуема. Потом становится привычной. Очень скоро мы начинаем ею пользоваться не задумываясь, как собственной рукой. И в каком-то смысле она и правда как рука: мозг интериоризирует ложку, ее назначение и возможности. Она становится продолжением нашего тела.

Когда умеешь есть ложкой, кажется, что это просто. Когда не умеешь, кажется, что это сложно. Мы так хорошо научились обращаться с ложкой, что забыли, что этому пришлось учиться. Мы забыли, что это было непросто.

Сложность этого действия вновь становится очевидной, когда мы видим малыша, у которого не получается. Этот жест требует отменной координации движений. Просто взять ложку и правильно держать ее под правильным углом – уже очень тонкое искусство. Не говоря о том, что правильный способ держать ложку зависит от того, что мы хотим ею съесть.

Вот уже 50 лет, как мы умеем отправлять ракеты на Луну. Но мы только-только начали учиться программировать роботов, способных зачерпнуть пюре ложкой. О киви и говорить не будем – это намного сложнее пюре.

Кое-что посерьезнее

Ложка – это только начало. Дальше уже идут серьезные вещи. Мы учимся надевать ботинки и завязывать шнурки. Чистить зубы и стричь ногти. Кататься на велосипеде и на роликах. Чистить лук и варить кофе. Собирать конструкторы Playmobil и пришивать пуговицы. Водить машину и чистить кофеварку от накипи. Часто бывает немного сложно в начале, потом становится проще.

Точно так же, как ложка или велосипед, наши орудия в конце концов становятся продолжением нас самих. Мы пользуемся ими не задумываясь. Они преобразуют нас. Дополняют нас. Делают нас теми, кто мы есть. Без наших орудий мы уже мало что из себя представляем.

Самое трудное – научиться говорить. Неслыханный, необычайно долгий, ужасающе тяжелый труд. В полтора года мы практически не можем пролепетать ничего внятного. И все же тренируемся весь день напролет.

Есть много поводов отчаяться, и все же мы не перестаем. Никто не думает: «Разговаривать – это не мое. Оно того не стоит. Слишком уж тяжело дается». Никто из родителей не говорит: «Она такая милая с соской, заставлять ее так трудиться – сердце разрывается. В общем, мы решили с ней не разговаривать».

Речь не инструмент по выбору. Это не занятие, доступное лишь избранным, – богатым или гениям.

Если нужно обозначить дату, с которой началось человечество, то это день, когда наши предки решили приобщить всех к речи. Задолго до десяти заповедей мы выбрали себе закон: «Научи разговаривать детей своих».

Радикальный успех

Ближе к нашему времени, около полутора веков назад, было принято еще одно основополагающее решение: учить всех чтению и письму.

Это решение настолько фундаментальное, что уже трудно представить, как вообще выглядел бы наш мир, если бы оно не было принято. Если бы, как до этого времени, доступ к чтению был лишь у крошечной доли населения.

Во времена иероглифов в Древнем Египте искусство письма было сродни магии. Писцы образовывали потомственную касту и передавали свои тайны из поколения в поколение.

В средневековой Европе письменность была призванием. Молодые люди становились монахами, удалялись от мира и посвящали свою жизнь переписыванию рукописей.

Что думали обо всем этом неграмотные крестьяне Средневековья? Казалось ли им, что, чтобы научиться читать и писать, нужен особый дар, особый склад ума, которого у них нет? Считали ли они несправедливым и унизительным, что им это недоступно? Или просто говорили себе, что у них нет времени, денег и желания и вообще читать им нечего?

Сегодня уже никто не думает, что для чтения и письма нужен особый дар. Никто не думает, что это ни к чему. За редкими исключениями все режимы, вне зависимости от верований и идеологии, отдают начальному образованию высший приоритет.

Радикальный проект по насаждению грамотности по всей Земле имел оглушительный успех. Конечно, неграмотность не исчезла, но теперь она – удел меньшинства. За несколько поколений человечество смогло осуществить глобальную программу когнитивного преобразования, которой нет равных в истории.

Настоящая катастрофа

В то же самое время, когда начался великий проект по насаждению грамотности в планетарном масштабе, было принято еще одно радикальное решение: теперь основы математики преподаются всем.

Сегодня в начальных, средних и старших классах всего мира более миллиарда мальчиков и девочек изучают математику.

И это настоящая катастрофа.

Сегодня в начальных, средних и старших классах всего мира более пятисот миллионов мальчиков и девочек молча страдают. Им кажется, что они ничего не понимают, и в их душе сменяют друг друга скука (они совершенно не улавливают, чем интересен этот предмет) и унизительное чувство, что они недостаточно умны.

Когда американских подростков спрашивают, какой предмет самый трудный, математика идет во главе списка – 37 % ответов. Она же, с большим отрывом, самый ненавистный предмет. Но когда их спрашивают о любимом предмете, математика снова стоит первой – 23 %. А для некоторых это даже самый легкий предмет.

Нам всем знаком этот странный феномен. Он стал частью повседневности, и мы привыкли считать его нормальным. Мы считаем нормальным, что есть те, кто любит математику и находит ее простой, а есть те, кто ее ненавидит и считает недоступной пониманию. А еще мы считаем нормальным, что между этими крайностями практически ничего нет.

Мы считаем такое положение вещей настолько нормальным, что возможные варианты отношения к математике вошли в наши культурные стереотипы: «ботаник», который ее обожает (непременно прыщавый); клевая девчонка, которая интересуется модой (непременно полный ноль в математике); еще вон та девчонка, которая решает все задачи не раздумывая (непременно аутичная); лентяй и хулиган (непременно полный ноль в математике).

Эти стереотипы нелепы и оскорбительны. Я знаю лентяев и хулиганов, которые стали великими математиками. Старшеклассница имеет полное право быть хорошенькой, иметь кучу друзей и мгновенно решать любые задачи по математике. А еще она имеет полное право стать великим математиком.

Мы привыкли к этой ситуации, но она совершенно ненормальна. Более того, это крайне странно. Такое не должно было произойти.

Чтобы осознать это, проще всего сравнить изучение математики с освоением других основных навыков.

Разве нам казалось бы нормальным, что некоторые подростки считают крутым не уметь читать? Что они полагают, будто те, кто читает бегло, кому не приходится разбирать каждую букву, например, не может ни с кем подружиться?

Разве нам казалось бы нормальным, что половина определенной возрастной группы оканчивает школу, не умея правильно есть ложкой? Или не умея завязывать шнурки?

Решать математические задачи старших классов школы должно быть так же просто, как завязывать шнурки, и если это не так, значит, с преподаванием математики есть большая проблема.

Две гипотезы

Чтобы объяснить, почему существуют, с одной стороны, «способные к математике», а с другой – «неспособные к математике», обычно приводят две гипотезы.

Первая гипотеза: это вопрос мотивации. Если человек полный ноль в математике, то это потому, что он ее не любит, а не любит он ее потому, что не понимает, зачем она ему нужна в повседневной жизни. Но разве люди правда верят, что в повседневной жизни им пригодится история? И все же это не делает ее непостижимой, и уроки истории никого не повергают в панику. Никто никогда не видел, чтобы школьник плакал, потому что не может понять, что такое война или революция.

На самом деле такие «нули» отлично поняли, что разбираться в математике зачем-то да нужно, хотя бы для того, чтобы хорошо учиться в школе и поступить в хороший университет. Они же не идиоты. Они прекрасно поняли, что неспособность к математике закрывает им доступ ко многим профессиям из числа самых высокооплачиваемых и самых престижных. Возможно, они не понимают всю важность математики, но они знают, что она так или иначе важна. И чувствуют себя исключенными из нее, что дает им прекрасный повод ее ненавидеть.

Вторая гипотеза более жестока. Она предполагает, что существует некий загадочный тип интеллекта – математический интеллект, крайне неравномерно распределенный среди населения. Это якобы объясняется биологией. Есть математическая железа или математический ген. Способные к математике просто такими родились, а неспособным просто не повезло.

Тот факт, что эта идея так популярна, сам по себе удивителен. Казалось бы, нам следовало научиться с подозрением относиться к таким идеям. Было время, когда люди считали, что определенным расам предназначено природой работать на хлопковых плантациях, а другим – владеть этими хлопковыми плантациями. Еще недавно можно было услышать, что женщины генетически не способны пилотировать истребители. Сейчас эти идеи уже дискредитированы.

Если вы все еще сомневаетесь, то в следующей главе узнаете, что у вас есть все необходимые умственные способности, позволяющие достичь очень высокого уровня в математике.

Биологическое неравенство существует, но оно не похоже на то, что я только что описал. Проще всего понять его, предложив выпускному классу пробежать стометровку. Кто-то справится за 11 секунд, кто-то за 13 или 18. Возможно, кому-то понадобится целых 30 секунд, чтобы пробежать эту дистанцию.

Этот разрыв можно объяснить многими факторами, такими как мотивация, тренированность, здоровый образ жизни, – и, конечно, генетикой. Мы генетически неравны в предрасположенности к бегу. Но на стометровой дистанции эти генетические факторы помогают выиграть лишь несколько секунд.

А теперь представьте, что кто-то добежал за 11 секунд, но половина класса не пришла к финишу и через неделю. Примерно так выглядит разброс уровня в математике к выпускному классу школы.

Вы идете искать отставших. Некоторые так и сидят на старте. Они объясняют вам, что стометровка – это худшая вещь на свете. Они не понимают, зачем она может им пригодиться в повседневной жизни, и считают, что физрук – просто злобный садист.

И из этого можно сделать вывод, что все дело в генетике? Серьезно?

Мне хотелось бы убедить вас, что единственное возможное объяснение – гигантское недопонимание. «Неспособные к математике» неспособны к ней, потому что никто не потрудился дать им четкие указания. Никто не сказал им, что математика – это физическая активность. Никто не сказал, что в математике нужно не заучивать, а делать.

Они берут ложку не с того конца, потому что никто не объяснил им, как надо, и они никогда не видели, как ее берут с подходящего конца.

Фразы, которые произносятся на уроке математики, – это не информация, которую надо запомнить. Это советы и указания для невидимых действий, которые каждый должен скрытым образом произвести в своей голове.

Слушать урок математики так, как мы слушаем урок истории или биологии, – так же нелепо, как конспектировать занятия йогой – тщательно, чтобы точно ничего не забыть. Если вы не делаете даже простейших дыхательных упражнений, это ровным счетом ничего не даст.

Глава 3
Силой мысли

Представьте себе круг – идеально правильный, без единого недостатка. Круг – проще некуда. Вы его видите?

В реальной жизни идеальных кругов не существует. Когда мы рисуем круг на бумаге, у него всегда есть небольшие неровности. Не бывает идеально круглых вещей: ни колеса велосипеда, ни солнечный диск, ни круги на воде не идеальны.

Но это совершенно не мешает вам понять, о чем я говорю, и вообразить идеальный круг.

Вы можете не только его представить, но и буквально увидеть его. Вы можете его мысленно перемещать. Увеличить или уменьшить. Да вообще делать с ним все, что пожелаете.

Эта способность видеть предметы, которых не существует в реальности, ощущать их прямо здесь, перед вами, и манипулировать ими в мыслях так же свободно, как если бы вы могли к ним прикоснуться, – и есть одна из ваших волшебных способностей.

Путь, который позволит вам по-настоящему понять математику, начинается отсюда.

Наша удивительная способность к абстракции

Идеальный круг – это математическая абстракция. Круги выглядят для вас знакомыми предметами потому, что вы, как и все люди, обладаете природной способностью к математической абстракции.

Ваша способность к абстракции не ограничена математикой.

Хотите вы того или нет, вы все время смотрите на мир абстрактным взглядом. Это физиологическое свойство вашего тела. Ваш мозг – машина для извлечения абстракций и мысленных манипуляций с ними, так же как ваши легкие – машина для извлечения кислорода из воздуха и передачи его в кровь.

Как такое возможно? Об этом пойдет речь в главе 19, где мы увидим, как структура нашего мозга от природы позволяет создавать абстракции и манипулировать ими.

А до тех пор, даже если вы не вполне понимаете, как возможно такое чудо, приходится признать очевидное: вы способны увидеть круг.

Наша удивительная способность к рассуждению

Может ли прямая линия пересекать окружность в трех точках? Не торопитесь. Тут нет подвоха. Просто попробуйте составить собственное мнение. Попробуйте представить все способы, которыми прямая может пересекать окружность, и увидеть, возможны ли в некоторых случаях три точки пересечения.

Нет, прямая не может пересекать окружность в трех точках.

Ответ кажется вам очевидным? Это потому, что вам, как и всем людям, присуща удивительная способность к математическому рассуждению.

Вы не просто способны вообразить абстрактные объекты, такие как прямые и окружности, – вы способны задаваться абстрактными вопросами об этих объектах и манипулировать ими у себя в голове, чтобы найти ответ.

Ответ для вас очевиден, но что вы будете делать, если кто-то скажет вам, что не понимает?

Вам захочется начать объяснения со слов «ну ты же видишь…», но это не сработает. Если кто-то не понимает, значит, этот кто-то не видит окружности и прямые так же ясно, как вы. Объяснять математику – значит помогать другим увидеть то, что они еще не умеют видеть.

Ваше рассуждение происходит интуитивно и визуально. У вас в голове оно похоже на мультик, где персонажи – окружность и прямая. Такой тип рассуждения очень эффективен, но его трудно передать словами. Слова никогда не могут в полной мере объяснить тонкости того, что вы видите.

Получая математическое образование, вы научитесь преобразовывать свою визуальную интуицию в строгие доказательства. Преобразование никогда не будет идеально точным. Чтобы выразить понятные выводы интуиции, нужно много слов. У вас в голове все так просто. Но стоит это написать – и все становится жутко техничным и сложным.

Наша удивительная интуиция

Вы – единственный, кто способен видеть, что происходит у вас в голове. Пусть это трудно, но только постаравшись строго перевести все это в слова и символы, вы сможете поделиться этим с другими. А еще эти усилия по переводу – единственный способ проверить, что ваша интуиция не ошиблась.

Потому что иногда она ошибается.

Вы это знаете и не любите, когда вам об этом напоминают. Самый верный способ задеть кого-то – посмеяться над его внешностью. Но заставить его усомниться в своей интуиции – вот способ поистине действенный. Обычно срабатывает один из двух защитных механизмов: или человек решает, что он полное ничтожество, зарабатывает комплекс неполноценности и перестает рефлексировать, или же говорит себе, что он все равно прав, а остальные – просто болваны (и тоже перестает рефлексировать).

Однако есть и третий путь. Когда Эйнштейну или Декарту говорят, что их интуиция ошибочна, они не чувствуют себя задетыми. Не считают себя ничтожествами. И тем более не считают других болванами. Они реагируют иначе. Как именно? Это одна из центральных тем данной книги.

Когда в школе вас научили не доверять интуиции, учителя совершили две ошибки. Две величайших ошибки, затормозивших ваше интеллектуальное развитие.

Первая ошибка – все преувеличивать. Вам создали комплексы на пустом месте. Да, ваша интуиция иногда ошибается – но не всегда. Зачастую она права. И вы можете сделать так, чтобы она как можно реже ошибалась. Вы можете научить ее видеть яснее и точнее. Начиная на том же уровне, что и вы, математики создают себе сильную и надежную интуицию. Они делают это с помощью простых методов, таких как те, что описаны в этой книге.

Вторая ошибка школы – вам рассказали о недостатках интуиции, но забыли напомнить о ее сильных сторонах. Вы усвоили посыл, что интуиция несовершенна. Но школа забыла передать вам куда более важный посыл: интуиция – ваш самый могущественный интеллектуальный ресурс. В каком-то смысле это ваш единственный интеллектуальный ресурс.

Это не пустые слова. У меня нет цели польстить вам, рассказывая небылицы.

За всем этим кроется глубинная биологическая истина, к которой мы еще вернемся. А еще это вполне познаваемая на практике реальность, и вы испытывали это тысячи раз. Вы прекрасно знаете, что учить наизусть, применять готовые методики или следовать рассуждениям строчка за строчкой не значит действительно понимать. Вы никогда полностью не доверяете логическим аргументам, вам гораздо проще с тем, что вы понимаете интуитивно.

Дар воображения

Ваша интуиция могущественна – вы это знаете уже давно. Несомненно, вы не осмеливаетесь заявить об этом громко и уверенно, но втайне вы доверяете именно интуиции.

А вот чего вы, возможно, не знали: за величайшими научными революциями и целыми областями математики, которые считаются самыми сложными, всегда стоят проблески интуиции, и они так же просты, как и у вас.

Придумать теорию относительности Эйнштейну позволил мысленный мультфильм, ненамного сложнее того, который позволяет вам увидеть, что прямая линия не может пересекать окружность в трех точках.

Когда Эйнштейн говорил, что верит в интуицию, он имел в виду не какую-то особую интуицию, полученную в дар от небес, которая радикально отличалась бы от вашей. Если бы он так думал, то не говорил бы, что у него «нет какого-то особого таланта».

Это сбивает с толку, но нужно принять эту правду. Эйнштейн говорит о наивной интуиции, о той, которая есть у всех нас, которую так часто считают глуповатой, а в школе учат ее презирать.

Эйнштейн говорил всего лишь о нашей способности воображать разные предметы. Это дар, который мы все получили в равной степени. Может, это и немного, но это само по себе удивительно, ведь ни у кого нет исключительного таланта в этой сфере.

Если бы вы, как и Эйнштейн, научились использовать собственное глупое детское воображение, чтобы стать величайшим физиком своего времени, вы бы сказали, как и он, что великие научные открытия – это всего лишь вопрос любопытства (и вас бы тоже не приняли всерьез).

Даже если вы не изобрели теорию относительности, вам уже есть чем восхититься.

Вы можете увидеть круг у себя в голове.

Вы можете мысленно им манипулировать.

Вы можете зрительно убедиться, что прямая не может пересекать окружность в трех точках.

И все это вы можете проделать, закрыв глаза и не двигаясь с места.

Вы можете проделать это буквально силой мысли.

Насколько нам сейчас известно, это биологическое достижение свойственно исключительно людям. Если гиппопотамы тоже так умеют, они хорошо шифруются.

Если вам это удается, не сомневайтесь – у вас подходящий генетический потенциал и умственные способности, чтобы достичь больших успехов в математике. С биологической точки зрения это все, что вам надо. Остальные ингредиенты не генетические, и они также вам доступны. Речь об искренности, терпении, смелости и желании.

Как создавать мощные и ясные образы

Великие идеи всегда интуитивны и всегда просты. Более того, они до смешного просты. На самом деле мы умеем понимать только очевидные вещи. Если что-то неочевидно, значит, мы не до конца это поняли.

Этот вселенский закон – человеческий закон. Он гласит, что наша наука придумана людьми, а люди, на самом глубинном уровне, все сделаны по одному образцу.

Великие открытия совершены людьми, которые просто пытаются что-то понять. Они просто хотят, чтобы это было очевидно. Если они не понимают, то они не притворяются, что понимают. Они продолжают искать подходящий путь, подходящие мысленные образы, подходящий взгляд на вещи – пока все не станет для них очевидным.

Хорошая новость: с помощью этого метода они могут открыть только очевидные вещи. И то, что стало очевидным для них, может стать очевидным и для вас.

А значит, у вас нет никаких оснований бояться.

Это касается всех областей интеллектуального творчества и тем более – математики. Математическое знание не опирается на экспериментальные данные. Для него не нужно накапливать энциклопедические познания. В частности, учебники математики не содержат вообще ничего, кроме очевидных фактов.

Парадокс в том, что, чтобы понять очевидность очевидного, нужно предварительно выстроить мысленные представления, позволяющие это сделать. Стоит один раз создать эти образы – и они позволят видеть суть мгновенно и без усилий. Но для их построения нужно много времени и труда.

Сами того не осознавая, вы уже построили вполне неплохой мысленный образ круга. То, что удалось вам с кругом, нужно будет воспроизвести с другими объектами, строить другие мысленные образы и комбинировать их, чтобы создать еще много других.

Никто не рождается с готовыми образами. Никто не умеет создавать их мгновенно. Процесс их построения занимает гораздо больше времени, чем можно представить. И у всех он состоит из сомнений, продвижения наощупь, тупиков и возвращения к началу. На самом деле он длится всю жизнь.

Занимаетесь вы математикой или нет, ваше видение мира и мысленные образы постоянно эволюционируют.

Вот здесь и начинается устная традиция математиков. Речь идет не о чудотворных рецептах, как стать сверхчеловеком, а о вполне простых принципах, помогающих лучше строить мысленные образы.

На кону – ни много ни мало власть над тем, как вы строите собственный взгляд на мир.

Вы знаете, что для хорошего здоровья надо заниматься спортом, есть фрукты и овощи, избегать наркотиков и высыпаться. Но сможете ли вы назвать несколько базовых принципов, позволяющих создавать мощные и ясные мысленные образы?

Все то время, пока вас пытались убедить, что надо мыслить логически, а вы втайне решали по-настоящему доверять лишь интуиции, никто не рассматривал эту тему всерьез.

Вы как-то справлялись без методики и с ложным убеждением, что ваша интуиция в чем-то хороша, а в чем-то плоха, но, по сути, у вас нет никакой возможности ее развить.

В таких условиях просто чудо, что вы вообще чему-то научились.

И все же, как мы увидим в следующей главе, вам уже удалось развить надежную математическую интуицию. Возможно, вы считаете себя неспособными к математике, но вы прекрасно усвоили математические понятия, которые на протяжении 99 % истории человечества считались уделом исключительно гениев.

Вы уже построили отличные мысленные образы и пользуетесь ими изо дня в день.

Глава 4
Настоящая магия

Возьмите миллиард. Отнимите 1. Сколько осталось?

Вам незачем размышлять, результат тут же появляется у вас в голове: 999 999 999. Его даже проще представить, чем произнести.

Это кажется вам очевидным – но это не для всех так. Жителю Древнего Рима это было бы совершенно неочевидно.

В классической латыни нет слова «миллиард» (как и «миллион»). Чтобы передать это понятие, проще всего выразить его как произведение: «тысячу умножить на тысячу умножить на тысячу». Пожалуй, римлянин эпохи Юлия Цезаря смог бы это понять, хотя от такого у него бы уже слегка разболелась голова. Но если бы вы сказали ему, что способны взять это число, вычесть из него 1 и немедленно увидеть у себя в голове результат, он бы вас больше не слушал.

Он принял бы вас за сошедшего с ума ученого.

Попробуйте написать 999 999 999 римскими цифрами – у вас будут большие проблемы. Для того, кто знает только римские цифры, 999 999 999 не просто большое число, оторванное от повседневной жизни. Это число, которое сложно написать. Головокружительное, ужасающее число, которому невозможно взглянуть в лицо. Сама мысль, что кто-то может мгновенно «увидеть» его в точности и без усилий, нелепа.

И римляне не самый экстремальный случай. Они как раз уже весьма продвинулись в понимании чисел.

Традиционная система счета у некоторых племен австралийских аборигенов основана на частях тела. От одного до пяти считают на пальцах, потом поднимаются выше по руке. Шесть – это запястье. Семь – предплечье. Восемь – локоть, а девять – бицепс. Дойдя до десяти, то есть до плеча, продолжают считать, поднимаясь еще выше. Число двенадцать – это мочка уха.

Если каждому числу должна соответствовать часть тела, хватит ли вам смелости дойти до миллиарда?

У других народов охотников-собирателей системы счисления еще более просты. Некоторым известны только числа один, два, три, четыре, пять и универсальное число, означающее «много». В языке Амазонии пирахан есть слово, чтобы сказать «один», и слово, чтобы сказать «два», но не существует слова, чтобы сказать «три». Три – это уже много.

Если человек, который так видит мир, обнаружит, что существует разница между 25 и 26 и ее можно точно выразить, – это должно стать для него очень мощным духовным опытом, сравнимым с ощущениями студента-математика, узнавшего, что существует несколько уровней бесконечности, о которых можно вполне точно рассуждать.

Обман?

А вот житель Древнего Рима сразу увидел бы различие между XXV и XXVI. Но ваша ловкость в обращении с большими числами создала бы у него впечатление, что у вас сверхъестественные способности к вычислениям.

Вы улыбаетесь при этой мысли, так как в глубине души прекрасно знаете, что это обман: никаких сверхъестественных способностей у вас нет.

А вы уверены?

Если вы представляете себе талантливых вычислителей мутантами, наделенными волшебными способностями, и думаете, что в голове у них компьютер, позволяющий сверхбыстро считать с помощью известных вам методов, вы ошибаетесь.

По сути, одаренные вычислители – это что-то вроде волшебников и Деда Мороза: на самом деле их не существует.

Когда вы думаете, что видите Деда Мороза, – это не настоящий Дед Мороз, а просто какой-то человек, переодетый Дедом Морозом.

Когда вы думаете, что видите волшебника, – это не настоящий волшебник, а просто иллюзионист, то есть человек, который знает разные штуки, способные создать иллюзию, будто он наделен магическими способностями.

Когда вы думаете, что видите уникально одаренного вычислителя, – это никакой не одаренный вычислитель, а просто человек, который умеет так видеть числа, что операции, которые для вас сложны и практически немыслимы, становятся для него простыми и даже очевидными.

Истина в том, что по природе мы все совершенно не умеем считать в уме, если только не владеем интуитивным способом радикально упростить счет и «увидеть» результат.

Десятичная запись, основанная на арабских цифрах, и есть тот фокус, который позволяет вам считать определенные результаты очевидными. Основное отличие между одаренными вычислителями и вами в том, что их арсенал фокусов обширнее вашего и они более привычны к играм с ним.

Как понять по-настоящему

Система десятичной записи чисел кажется вам настолько очевидной, что вы уже не помните, что вам пришлось ее изучать. Всё как с ложкой. Вы пользуетесь ею не задумываясь, словно это продолжение вашего тела. Когда вы видите 999 999 999, то считаете, что видите непосредственно число, и даже не отдаете себе отчета в том, что видите его с помощью инструмента.

А ведь десятичная запись – чисто человеческое изобретение. Это больше, чем система записи, – это дверь в состояние сознания, где целые числа, как бы велики они ни были, становятся конкретными и точными объектами. А заодно становится очевидностью сама бесконечность целых чисел.

Что-то ранее немыслимое вдруг становится очевидным – вот то самое действие, которое математика производит с вашим мозгом. Это восхитительное ощущение и сильнейшее удовольствие.

В детстве вы гордились, что умеете считать до 10, затем до 20, затем до 100. Это позволяло вам от души повоображать во дворе. Чтобы повыпендриваться еще больше, вы хотели бы узнать самое большое число на свете.

По сути, ваше представление о числах было не очень далеко от представления охотников-собирателей, которые умеют считать только до двух или до пяти и твердо убеждены, что следующее число – «много» – и есть самое большое число на свете.

Однажды вы поняли, что ни одно число не может быть самым большим. Даже если вы могли бы прийти к этому выводу другим путем, десятичная запись показала вам короткую дорогу. Вы знаете, что за каждым числом следует другое. Вы можете видеть последовательность чисел в виде крутящегося счетчика и знаете, что этот счетчик может крутиться бесконечно. Нет предела, нет какого-то особого числа, после которого счетчик остановится.

На протяжении 99 % истории человечества никто не научился видеть у себя в голове крутящийся счетчик чисел.

Счетчик, крутящийся у вас в голове, – коллективное творчество великих математиков, которые с доисторических времен до Средневековья формировали образ чисел, знакомый нам сегодня.

Этот образ не от природы. Он не был записан в вашем теле при рождении. В какой-то степени он произволен – мы могли бы выбрать другую систему для записи чисел, и вы видели бы их иначе.

Более 4000 лет назад вавилоняне придумали шестидесятеричную систему: они записывали числа при основании 60, а не 10. Вавилонская математика была самой продвинутой для своего времени. И ваше мысленное представление о часах, минутах и секундах носит очень глубокий отпечаток их понимания чисел.

А вот что действительно от природы – так это ваша способность усваивать абстрактную математику и понимать ее по-настоящему, то есть перестраивать свой мозг так, чтобы эта самая математика действительно стала частью вас.

Вы думаете, что видите число 999 999 999. В реальности вы расшифровываете абстрактное и сложное математическое понятие. Вы расшифровываете его с безупречной легкостью, мгновенно, не осознавая этого. Целые числа не были вашим родным языком, но вы стали билингвом.

Вот как выглядит удачное усвоение математического понятия. И если пример кажется вам идиотским – это именно потому, что вы действительно его поняли.

Настоящей магии не существует

В начале карьеры молодые математики часто чувствуют себя самозванцами.

Мне прекрасно знакомо это чувство, и в моем случае оно казалось полностью оправданным. Расчеты в моей диссертации были настолько очевидны, что это граничило с мошенничеством. Мои теоремы всегда были наивными, и их доказательство никогда не создавало реальных сложностей.

Меня окружали толпы очень умных людей, занимавшихся очень трудной математикой, в которой я не понимал ничего. Глубокие и сложные статьи мне так и не удавалось прочесть. А если какие-то и удавалось, то лишь потому, что по сути они были проще других.

Мне хотелось уметь заниматься настоящей математикой – по-настоящему сложной. Все, что мне удавалось понять, было простой математикой, математикой для чайников.

В моем изложении это звучит по-дурацки, но мне реально понадобились годы, прежде чем я осознал, что это лишь оптическая иллюзия. Линия горизонта перемещалась вместе со мной. Она всегда соответствовала моему уровню.

Настоящей магии не существует. Стоит вам научиться волшебному трюку, как он перестает быть волшебным. Это, возможно, печально, но придется привыкнуть.

Если математика, которую вы понимаете, кажется вам слишком легкой – это не потому, что она легкая, а потому, что вы ее понимаете.

Глава 5
Невидимые действия

Великим математиком становится, допустим, человек, родившийся в культуре, где все умеют считать только до пяти, и однажды осознавший, что можно пойти дальше.

Никто не изобретает сразу всю бесконечность чисел. Вначале математические идеи расплывчаты и неполны. Возникает ощущение, что можно дойти до 6 или даже 7, но его не удается высказать, так как мы не знаем слов, чтобы выразить 6 и 7. Более того, складывается впечатление, что можно продвинуться и еще дальше, но оно мимолетно, в него не верится до конца, кажется, что где-то что-то идет не так.

Вот что происходит, когда мы натыкаемся на ограничения языка.

Чтобы выразить то, что мы чувствуем, нужно придумать новые слова или по-новому использовать те, что уже есть. Облекая в слова наши мимолетные впечатления, мы можем зафиксировать мысль. Это необходимо, но для этого нужно время. Слова приходят нелегко и не сразу.

Начальная стадия открытия – это духовный опыт. Вы мыслите вне пределов языка. Мир озаряется. Вас посещают откровения. Вы видите то, что до сих пор было скрыто. Это настолько ново, что еще не имеет имени.

Это чудесное ощущение прекрасно вам знакомо. Вы уже испытывали его. Вспомните: впервые это случилось в день вашего первого великого математического открытия.

Когда вы были совсем малышом, еще не умеющим говорить, вы, вероятно, играли с примерно такой игрушкой:

Родители показали вам пример. Взяли фигурку и поместили в отверстие. Вам захотелось сделать так же. Вы взяли фигурку и захотели поместить в отверстие. Но у вас не получилось. Вы давили изо всех сил, но она не влезала.

Это вывело вас из себя. Родители сказали, что незачем так напрягаться, достаточно внимательно посмотреть: круглую фигурку в круглое отверстие, квадратную – в квадратное. Смотри, все же совсем просто, правда?

Вот только вы ничего не поняли в их объяснениях. У вас не было никаких шансов это понять. Слова «круглый» и «квадратный» ничего для вас не значили. Вам не хватало не словарного запаса, хуже – вам не хватало самих форм. Вы не умели их видеть. Круги и квадраты были для вас невидимы.

Все, что вы видели: родителям удавалось поместить фигурки в отверстия, а вам нет. Хотя вы были уверены, что совершаете точно те же действия, что и они. У них эти действия работали, а у вас нет.

Так происходило десятки раз. Это длилось месяцами, это было худшее разочарование в вашей жизни. Ваши родители были волшебниками, а вы нет. Это было несправедливо и жестоко. Вы часто приходили в ярость.

Но вы так и не бросили это дело. Вы сотню раз возвращались к этой загадке, которая была для вас такой унизительной. Но вам не было дела до унижения, вы хотели понять. Проникнуть в тайну.

И в одно прекрасное утро вы поняли. Вы взяли в руку одну из фигурок и заметили, что в ней есть что-то особенное, а в одном из отверстий – что-то такое же особенное, как и у фигурки. И именно в это отверстие и следовало поместить фигурку.

Это осознание не потребовало от вас никаких усилий. Вы просто повторяли те же действия, что и обычно, – действия, которые еще вчера не работали. И вдруг оно предстало для вас чем-то очевидным. Бросилось в глаза – иначе не скажешь.

Именно в этот период жизни вы изобрели понятие формы. Оно касалось не только этой фигурки и этого отверстия, а всех фигур и всех отверстий сразу. Для каждой фигуры было свое отверстие, соответствующее ей, с которым она делила эту нематериальную сущность, не имеющую имени. И это работало всегда. В этом и был секрет фокуса.

Вы изобрели понятие формы самостоятельно и для себя. Это не было ранее существующим знанием, предшествующим вам, которое принес бы вам язык. Вы самостоятельно научились видеть формы, потому что, пока вы не умели их видеть, никто не мог вам объяснить, что это такое. Слова, чтобы сказать об этом, вы обрели позже – вы научились накладывать их на свое восприятие форм.

С тех пор вы уже не можете их не видеть. Это же так просто. Круги и квадраты, треугольники и звездочки, сердечки. Это даже слишком просто. Вы уже неспособны представить, как это – не видеть их.

Великая история любви

Давайте здесь внесем ясность.

Когда вы поняли тайну вхождения фигурок в отверстия, вы были счастливы. До глубины души горды. Вы улыбались до ушей.

Ваши родители тоже чувствовали гордость и были рады за вас. Ведь они подарили вам эту игрушку, именно для того, чтобы доставить вам это удовольствие.

Возможно, ваши родители сами этого не знали, но они всей душой любили математику. Именно свою любовь к математике они хотели передать вам, даря эту игрушку. И у них получилось. Если у вас будут дети, вы тоже захотите подарить им ее.

Пока во все это не вмешалась школа, пока на пути не встали наши собственные запреты и страх перед чужим суждением, мы все могли познать великие математические радости. Между человечеством и математикой развивается давняя и глубокая история любви.

Ваши первые шаги были многообещающими. Открытие форм было действительно великим математическим открытием. Я серьезно. Это не метафора.

Это было великое открытие, совершенно бесполезное для остального человечества, потому что вы всего лишь заново открыли уже известное понятие. Но с точки зрения ваших познаний в том возрасте это было потрясающее открытие.

То, что вы испытали в тот день, – это и есть то, что ощущает математик, совершивший открытие. Да, математическое открытие – это настолько просто, настолько глубоко и настолько очевидно.

До Декарта никто не понимал, что геометрические фигуры можно описать уравнениями. В своей «Геометрии», опубликованной в 1637 году, он установил связь между алгеброй и геометрией, двумя ветвями математики, которые до тех пор считались совершенно изолированными друг от друга. Эти открытия легли в основу современного понятия декартовых координат, ныне очевидного для любого школьника: можно обозначить точку на плоскости через значение по оси абсцисс и по оси ординат. В самом деле сложно представить, что до Декарта никто не видел декартовых координат. Это практически абсурдно, все равно что представить, что люди не видели кругов и квадратов.

Усвоить математическое понятие – значит научиться видеть то, чего до сих пор не видел. Научиться считать это очевидным. Перейти на следующий уровень сознания.

Когда вы смотрите на мир, вы не можете не узнавать формы, размеры, текстуры, цвета. Но есть еще много того, что вы могли бы увидеть. Существуют и другие структуры, другие формы, другие типы отношений между объектами. Пусть сегодня они от вас ускользают, но эти формы и структуры могут стать очевидными.

Они не так уж далеко.

Они не так уж недоступны зрению.

Они буквально у вас перед глазами.

Билли и ее подруги

Поместить нужные фигурки в нужные отверстия не сложнее, чем есть ложкой. Но научиться помещать нужные фигурки в нужные отверстия существенно сложнее, чем научиться есть ложкой.

В случае с ложкой вы смогли научиться через подражание. В случае с сортером вы попытались научиться через подражание, но это не сработало. Вам не хватало основополагающего элемента. Опознать форму фигурки и найти нужное отверстие – вот те невидимые действия, которые ваши родители выполняли мысленно, а вы никак не могли подражать им напрямую.

Необходимо помнить, что подавляющему большинству того, что мы усваиваем, мы учимся как раз через подражание. Инстинкт подражания присущ всем. Он объединяет нас со всеми млекопитающими и не только с ними.

Моя любимая история про обучение через подражание связана с Билли и ее подругами. Билли была самкой дельфина, жившей в устье реки Аделаида, в Австралии. В юности она заблудилась, отбилась от группы и застряла в порту. Обессилевшую Билли подобрали спасатели и поместили в дельфинарий, пока она не поправится.

В этом дельфинарии жили в неволе дельфины, которых люди выдрессировали и научили выполнять акробатические фигуры. Глядя на них, Билли спонтанно принялась подражать им.

Ее любимым номером была «прогулка на хвосте». Фокус заключается в том, чтобы набрать скорость, плывя под водой вверх тормашками, на спине, а потом резко перейти в вертикаль – за счет разгона создается впечатление, что дельфин идет по воде на хвосте, пятясь назад, отсюда и название трюка. Это сложное движение, требующее большого физического напряжения, и от него нет никакой практической пользы – разве что выпендриться перед товарищами.

Через три недели, когда Билли выпустили в родную бухту, она продолжала заниматься «прогулками на хвосте». Никто никогда не видел, чтобы дельфин, живущий на воле, проделывал этот трюк. Но интереснее всего то, что произошло потом: другие самки в стае Билли принялись делать так же. «Прогулка на хвосте» вошла в моду у дельфинов Аделаиды.

В этом плане мы совсем как дельфины: мы не только наделены способностью учиться, глядя на других, но еще и чувствуем потребность им подражать. Инстинкт подталкивает нас копировать друг друга.

Через подражание мы учимся завязывать шнурки, пользоваться тостером или ездить на велосипеде. Не всегда получается с первого раза, но, глядя на других, мы по крайней мере можем составить себе некоторое представление. Мы понимаем «в целом», зачем нужна ложка, тостер или велосипед, и «в целом» понимаем, как ими пользоваться.

Но, поскольку математика подразумевает невидимые действия, ей нельзя научиться через подражание.

Техника Фосбери

Чтобы совершить математическое открытие, сначала нужно самому придумать новые мысленные действия, создать у себя в голове новые образы, не зная заранее, как за это взяться, и без уверенности, что это сработает.

В реальной жизни придумать по-настоящему новое действие удается настолько редко, что найти задокументированные исторические примеры такого рода непросто. Майкл Джексон – и тот не изобрел «лунную походку». Он научился ей через подражание. Истоки этого танцевального па восходят как минимум к 1930-м годам, а изобрели его безымянные гении.

А вот Дик Фосбери именно что придумал по-настоящему новое действие – технику прыжка в высоту, которая с тех пор носит его имя.

До него основными техниками были «ножницы» (в положении как будто сидя, перешагивая ногами через планку) и перекидной стиль (на животе, вперед головой).

Прыжок в стиле Фосбери – на спину с приземлением на плечи – может показаться противоречащим здравому смыслу. Вне спортивного контекста и без использования мата он похож на попытку самоубийства. У нашего тела нет ни малейшего желания проделывать это. Чтобы решиться упасть навзничь да еще головой вниз, нужно отключить инстинкт самосохранения, внушающий нам, что со всей очевидностью это действие слишком опасно, чтобы его пробовать.

Прыгун в высоту Дик Фосбери на Олимпийских играх 20 октября 1968 года в Мехико завоевал золотую медаль, установив мировой рекорд³

Фосбери ни у кого не копировал этот прием. Он начал обдумывать его в 1963 году, в 16 лет, и посвятил годы оттачиванию техники.

Фосбери вполне мог бы удовлетвориться подражанием. Подражание не было для него постыдным. Он не был тщеславен. Он не стремился быть оригинальным или творческим. Он знал, что подражание – самый действенный метод обучения, и, естественно, сначала пытался прыгать как все.

Все началось с того, что в старших классах он был самым слабым в команде. Поскольку ему никак не давались официальные техники, он принялся экспериментировать, искать более умный и эффективный способ прыгать: «У меня не было цели выиграть, у меня была цель хотя бы не проиграть».

Преимущество его техники заключается в том, что она позволяет преодолеть планку, обогнувшись вокруг нее, так, чтобы центр тяжести проходил под планкой: каждая часть тела постепенно переносится через планку, но в среднем тело все время находится ниже. Так можно преодолеть намного более высокую планку, отталкиваясь с той же силой.

Фосбери прекрасно понимал эти научные аспекты. В университете он заинтересовался инженерными науками. Но он пришел к открытию своей техники постепенно, не столько через вычисления, сколько через самоанализ, внимательно прислушиваясь к своему телу и концентрируясь на действиях, которые позволяли ему легче преодолевать планку. Подход Фосбери требовал одновременно решительности и размышлений.

Однажды, изменив траекторию разбега и положение тела, он побил свой личный рекорд на 15 сантиметров. Это был его первый подлинный успех на школьных соревнованиях. Именно тогда он понял, что это перспективный путь. Но его тренеры не поверили. Годами они продолжали попытки убедить его наконец научиться прыгать как надо. Сам он толком не мог ничего им противопоставить. Он ограничивался ответом, что его техника, возможно, и неправильная, но она правильная для него.

Благодаря своей технике Фосбери выиграл золотую медаль на Олимпиаде в Мехико в 1968 году. Ему был 21 год. Первые интервью показывают, что он еще сам не осознал масштаб своего открытия: «Могу себе представить, что теперь многие мальчишки будут пытаться прыгать как я. Не гарантирую результатов и никому не рекомендую мой стиль».

Но все принялись ему подражать. Со следующих Олимпийских игр 1972 года его техника стала общепринятой. Вот уже более 50 лет каждый новый мировой рекорд по прыжкам в высоту достигается благодаря технике Фосбери.

Воспроизвести вслепую

Открытие всегда начинается с простого и наивного стремления понять. Мы придумываем новые приемы не из любви к новизне, а потому, что существующие техники не срабатывают. Нет ориентиров, нет никого, кто мог бы вас направить, – значит, нужно прислушаться к собственному телу. Нужно привыкнуть чувствовать его по-новому. Найти решение – значит сделать мыслимым то, что до сих пор было немыслимым. Это все равно что расширить когнитивные возможности человеческого вида.

Одна из особенностей математики – в том, что понять что-то бывает так же сложно, как и открыть; главную роль по-прежнему играет самоанализ. Чтобы воспроизвести невидимые действия, вы должны прислушаться к себе и заново изобрести их в себе и для себя.

Для понимания этой сложности представьте себе невидимую версию прыжка в высоту, выполняемую без свидетелей и камер, в пустом зале с электронными приборами в роли судей, которые лишь проверяют, что планка преодолена, но никак не фиксируют технику прыгуна.

И как тогда Фосбери мог бы рассказать свою историю?

Все были бы убеждены, что он генетически запрограммирован прыгать выше, чем все остальные. Никто не поверил бы, если бы он заявил: «Я ни в чем не превосхожу остальных биологически, и, кстати, мои спортивные качества не позволяли мне соперничать с другими, пока я не открыл новый метод».

Он мог бы написать книгу про свою технику – про то, как он воспринимал ее изнутри. Но как найти нужные слова? Когда один из его прыжков впервые засняли на пленку, Фосбери сам был удивлен, поскольку ему было сложно поверить, что увиденное на экране физически возможно и реально отражает то, что он делает.

Для человека, который никогда не видел, как это делается, научиться прыгать как Фосбери почти так же сложно, как самому придумать такую технику. Даже с подробными указаниями это невероятно сложно. «Подбросьте свое тело в воздух и откиньтесь на спину, головой вниз». Серьезно? А зачем все эти страницы предварительных рассуждений о траектории разбега и наклоне оси тела при приближении к планке? Зачем этот технический язык? Это все правда нужно?

Научиться какому-то действию – значит понять его за пределами слов. Почувствовать его в собственном теле. Осознать, что оно естественно и интуитивно.

Невидимые действия

Математика таинственна и сложна, потому что мы не можем увидеть, как с ней справляются другие. Можно увидеть то, что они пишут на доске или на листе бумаги, но нельзя увидеть то, что они предварительно проделали у себя в голове и что сделало их способными это подумать и написать.

Сама по себе математика проста, но мысленные действия, позволяющие овладеть ею, едва уловимы и парадоксальны. Они невидимы. Мы не можем воспроизвести то, что делают другие. У нас есть только слова, чтобы говорить об этом, но слова всегда упускают главное – то, что мы действительно чувствуем в своем теле.

Каждый должен воссоздать эти действия для себя, вслепую. Легко смеяться над учителями математики, но представьте себя на их месте.

Как бы вы стали объяснять кому-то, как завязывать шнурки, если этот человек никогда не видел ботинок, а ваш единственный канал общения – телефонный разговор? Вообразите эту сцену на несколько секунд, и вы увидите, насколько это трудно. От одной мысли перехватывает дыхание, это просто головокружительно сложно.

Эта повседневная реальность преподавания математики обуславливает конкретные сложности, с которыми сталкиваемся мы все. У профессиональных математиков есть кое-что общее с двоечниками – им знакомо чувство полной растерянности.

Этот опыт – часть их повседневности. Математик, присутствующий на научной конференции, знает, что он, вероятно, потеряет нить объяснений в первые же пять минут. Он знает, что дальше настаивать на разъяснениях бесполезно, это попросту болезненно и унизительно, потому что слова, которые он произнесет, ничего не будут для него значить.

Но профессиональный математик знает, что растерянность – нормальный этап процесса понимания. Он не обидится. А главное, не будет притворяться, будто что-то понимает. Даже не станет пытаться записывать. Просто перестанет слушать.

Если он действительно хочет понять, он будет действовать иначе.

Глава 6
Откажитесь от чтения

Я не коллекционер. Я не нахожу удовольствия в накоплении предметов. Это относится и к книгам тоже – я не раз избавлялся от значительной части своей библиотеки, дарил или перепродавал большинство книг. Я сохранил только те, к которым был особо привязан.

Моя математическая библиотека невелика – меньше ста книг. Мало у кого дома есть сто книг по математике, но у некоторых математиков их намного больше. Я скопил эти книги за время учебы и научной деятельности. Несколько экземпляров мне подарили, потому что я был знаком с авторами. Меньше ста за все эти годы – не так уж много.

Большую часть нужных мне книг я одалживал или читал в электронной форме. Я покупал только те, которые мне очень нравились, которые я хотел иметь у себя или находил действительно прекрасными.

Одна из моих любимых книг, одна из тех немногих, расставание с которыми разбило бы мне сердце, – «Категории для работающего математика» Саундерса Маклейна.

Каждый раз, как она попадается мне, я мысленно улыбаюсь. Эта книга написана в 1960-е годы и остается главным трудом по теории категорий – революционному способу видеть и осмыслять математические структуры, который Маклейн и Самуэль Эйленберг изобрели в 1940-е годы.

Я купил ее 20 лет назад, сразу после защиты диссертации, на первое жалованье доцента в Йельском университете. Немногие книги оставили во мне такой же след. Я нахожу ее великолепной, блистательной, вдохновляющей и на редкость хорошо написанной.

Я так ее и не прочитал.

Рафаэль

В начале работы над диссертацией, хотя я официально считался очень способным к математике, а моя работа уже заключалась в создании новых форм математики, я все еще робел перед существующими знаниями.

Стоило мне открыть научную статью, как я застревал на первых же строках. Мне не хватало основ. Я искал их по ссылкам в исходной статье, но эти тексты также было сложно читать. Я шел смотреть, к чему отсылают в свою очередь эти работы.

Ссылки, ссылающиеся на ссылки, ссылающиеся на ссылки, на которые ссылаются ссылки, – можно продолжать бесконечно. Добравшись таким образом до математики 1950-х годов, я осознал, что уже она для меня непонятна. Углубившись в прошлое еще на несколько поколений, я был погребен под тысячами книг и десятками тысяч научных статей, и все были непонятны. Как я мог надеяться выдумать хоть что-то оригинальное?

Однажды я услышал о недавно вышедшей книге на тему, которая была полезной – но не ключевой – для моего исследования. Все говорили, что эта книга очень понятно и хорошо написана. Мне захотелось ее прочесть.

Через неделю я так и не добрался до третьей страницы. Я был обескуражен и обратился за помощью к моему другу Рафаэлю Рукье, молодому математику-вундеркинду, с которым делил кабинет.

Его ответ отпечатался в моей памяти навсегда: «Да ты что, Давид! Тебе что, никто не говорил, что книги по математике читать не нужно? Никто не говорил, что читать их вообще невозможно?»

Осмелиться не читать

Нет. Никому не хватило смелости сказать мне это настолько прямо.

Рафаэль преувеличивал – книги по математике читать можно. Но это против нашей природы и требует необычайного усилия, даже если ты очень одарен в математике. Прочесть настоящую книгу по математике (а не просто книгу о математике, как та, что у вас в руках) почти так же сложно, как и написать.

На то есть веская причина. Открывая книгу по математике, вы открываете книгу, где слова имеют смысл, который вы еще не можете понять. Иногда они имеют смысл только для этой конкретной книги. Для чтения книги нужно понимать слова, которые в ней содержатся. Для этого вам понадобится выстроить внутри себя правильные мысленные образы для каждого слова и сочетания слов. Это требует напряженного усилия, почти такого же, как то, что позволило автору написать эту книгу, и это усилие приведет вас почти к такому же пониманию темы, как у него.

Если вам этого действительно хочется, у вас достаточно времени и книга выбрана правильно, возможно, оно того стоит. Готовьтесь к нескольким месяцам упорного труда. Это испытание сродни обряду инициации – оно преобразит вас. За всю свою жизнь я по-настоящему сумел прочесть всего три или четыре книги по математике. Я не жалею об этом труде. Он придал мне неслыханную силу, словно я глотнул волшебного зелья. Эта сила и сейчас со мной. Но зелье было сложно проглотить.

Даже если Рафаэль и преувеличивал, по сути он был прав. Книги по математике не созданы для того, чтобы их читать.

У него даже манера держать книги была другой, чем у меня. Он буквально иначе брал их в руки. Рафаэль был первым человеком в моей жизни, кого никогда не пугала математика. Он не видел проблемы в том, чтобы взять 500-страничный том по теме, в которой он ничего не понимал, и раскрыть прямо на середине.

Рафаэль удерживал книги в равновесии на предплечье, взявшись пальцами за верх переплета. Вторая рука оставалась свободной, и он мог очень быстро перелистывать ею страницы. Техника довольно проста. Она заключается в том, чтобы никогда не начинать с начала, а только с того места, которое тебе нужно. Это не техника чтения – это техника не-чтения.

По сути, когда берешь книгу по математике, у тебя всегда сидит в голове какая-то мысль. Возможно, мы хотим разобраться в понятии, которое только что где-то увидели, узнать, верно ли конкретное утверждение, или понять, как его доказать. Реально нам нужно, может быть, Определение 7.4 со страницы 138, Теорема 11.5 со страницы 227 или всего лишь один конкретный момент из ее доказательства.

Вот Рафаэль и научил меня отправляться прямо на страницу 138 или 227 и искать те самые четыре–пять строк, которые в этот конкретный момент больше всего меня интересуют, вообще не заботясь о горах предварительных условий, от которых предположительно зависят эти строки.

Вот это и нервирует больше всего. Предполагается, что книга по математике организована логично и, чтобы понять страницу 138 или 227, теоретически следовало бы предварительно понять все, что написано раньше. А значит, линейное чтение должно быть единственно возможным способом чтения. Но на практике этот способ не работает.

В тех четырех–пяти строках, которые нас интересуют, возможно, будут какие-то загадочные слова. Если это мешает нам понять суть, вероятно, мы захотим обратиться к определениям. Прекрасно. Или мы как-нибудь разберемся сами. Тоже отлично.

На самом деле мы можем делать что хотим. Можем листать книгу в течение десяти минут, часа или трех месяцев – неважно. Основной принцип – никогда не заставлять себя следовать порядку страниц, а следовать только порядку собственного желания и любопытства.

Это книга должна служить нам, а не наоборот. Если мы попытаемся читать книгу по математике как «нормальную» книгу, предоставим ей задавать темп и будем ждать, что она будет вести нас за руку и рассказывать историю, ничего не получится. Мы тут не для того, чтобы пассивно слушать. Нам не хватает для этого терпения, и, давайте уж начистоту, нас это не интересует. Мы здесь потому, что у нас есть конкретные вопросы, потому что мы чего-то не понимаем и хотим понять.

В любом случае, книга не должна навязывать нам тему разговора. Вопросы здесь задаем мы.

Не стоит прятать голову в песок. Понять те четыре–пять строк, которые нас интересуют, будет очень сложно, особенно если они где-то в середине книги. Возможно, мы проведем над ними несколько часов. Каждая страница книги по математике очень трудна для понимания. Якобы простые, но на самом деле скучные предварительные пояснения понять ничуть не проще.

В конечном счете, страница, которая больше всего нас интересует, с большой вероятностью окажется для нас наименее сложной. Во-первых, она нас интересует – а когда интересно, все намного проще! Во-вторых, она неизбежно связана с чем-то, что мы уже понимаем, – иначе она бы нас не интересовала.

Следовать своему желанию – единственный способ по-настоящему дать ему шанс осуществиться. Начинать с начала – значит рисковать все бросить уже на странице 2.

Билл Тёрстон

На свете есть не только книги по математике. Есть и другие книги, которые никто никогда не читает с начала. Вот вы читали инструкцию к вашему тостеру?

Вероятно, нет. Может быть, вы машинально открыли ее, пока распаковывали тостер, но скорее всего вы никогда в нее по-настоящему не заглядывали. Разве что, конечно, если у вас возникла проблема с тостером – тогда вы, вероятно, пропустили все предисловия и напрямую отправились на страницу, которая в этот момент вас больше всего интересовала.

Может показаться шуткой, что мы сравниваем математические тексты с инструкциями к тостерам. Но вообще, это очень глубокая мысль. Мы обязаны ею Биллу Тёрстону.

Билл Тёрстон (1946–2012) – один из самых потрясающих математиков нашего времени. Его работы по геометрии, отличающиеся исключительной глубиной и оригинальностью, стали важнейшим этапом на пути к доказательству знаменитой гипотезы Пуанкаре, которое завершил Гриша Перельман в 2002 году.

Эти работы принесли Тёрстону Филдсовскую премию в 1982 году. Как и Абелевская премия, это самая престижная награда по математике.

Возможно, Тёрстон – величайший геометр ХХ века, но не только. Сложно передать в нескольких словах его необыкновенное мышление, открытый ум, безграничный гуманизм и любознательность. Насколько мне известно, никакой другой выдающийся математик не участвовал в создании коллекции высокой моды для Иссэя Миякэ.

В 1994 году Тёрстон опубликовал в «Бюллетене Американского математического общества» (Bulletin of the American Mathematical Society) статью на пару десятков страниц «О доказательстве и прогрессе в математике» (On Proof and Progress in Mathematics), описывающую изнутри его мотивацию как математика и мыслительные процессы, задействованные в его работе.

В частности, Тёрстон рассказывает, что, читая научную статью по знакомой тематике, он никогда не читает ее в полном смысле слова. Он предпочитает сосредоточиться на мыслях между строк.

Как только он составляет себе представление о них, весь формализм и подробности структуры статьи вдруг кажутся ему ненужными и избыточными: «Мне было бы проще все написать с нуля, чем пытаться понять, что на самом деле написали авторы».

Уильям Пол (Билл) Тёрстон⁴

«Это как новый тостер, к которому прилагается инструкция на шестнадцать страниц, – продолжает он. – Если вы уже понимаете что-то про тостеры, и этот экземпляр похож на те, с которыми вы встречались раньше, вы просто включите его в сеть и убедитесь, что он работает, а не будете сначала читать все подробности в инструкции».

Эта метафора заслуживает дальнейшего развития.

Тёрстон говорит, что инструкция бесполезна, если вы уже знаете, что такое тостер. Но если вы не имеете ни малейшего представления о тостерах, много ли пользы вам будет от инструкции?

Несомненно, вы с радостью узнаете, что не стоит совать пальцы внутрь и не нужно использовать его во время купания в ванне, но все эти правила безопасности, которые инструкция приказывает вам ВНИМАТЕЛЬНО ПРОЧЕСТЬ ПЕРЕД ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ, никак не помогут разрешить великую тайну тостеров: зачем они вообще нужны?

Я не нашел инструкцию от своего тостера, зато нашел от пылесоса. В ней 64 страницы, но нигде не объяснено, зачем нужен пылесос. Иначе говоря, если бы мы ограничились официальной литературой, пылесосы создали бы нам огромные проблемы. Было бы несколько счастливчиков, способных к использованию пылесоса (те, кто случайно разобрался, что с ним делать), а остальные остались бы в этом полными профанами. Мы приняли бы это с покорностью судьбе.

Сокровенный смысл пылесосов не содержится в инструкции к ним. Это секрет, который мы передаем в устной традиции.

Но этот основной закон обучения, работающий как для пылесосов, так и для математических теорий, остается неизвестным и забытым.

Иной, нечеловеческий язык

Математические тексты написаны не на человеческом языке. Вот почему их так сложно читать.

Официальный язык математики работает не так, как язык, на котором мы говорим, и никто из людей никогда не сможет в полной мере овладеть ими обоими. Этот искусственный язык – чисто человеческое изобретение (пожалуй, одно из величайших за нашу долгую историю), созданное, чтобы исправить уязвимости языка, на котором мы говорим.

Его главная особенность заключается в том, что он заменяет наш обычный способ определять слова на радикально иной.

В повседневной жизни мы не даем точных определений используемым словам. Мы учимся им на примерах. Лучший способ объяснить, что такое банан, – показать его. Этот метод работает неплохо, но порой создает реальные трудности, и вот самая явная из них: если что-то существует только у вас в голове, как показать на это пальцем?

На самом глубинном уровне математика – единственная успешная попытка человечества точно рассказать о вещах, на которые мы не можем показать пальцем. Это одна из центральных тем этой книги, и мы еще не раз к ней вернемся.

Самые важные строки в математическом тексте – это не теоремы и не доказательства, а определения. Математический язык работает как конструктор, где слова по-настоящему определяются, то есть строятся на базе других слов, которые ранее сами были определены. И именно это позволяет говорить о вещах, на которые невозможно показать пальцем.

При таком подходе смысл слов сводится исключительно к их определению. Они становятся лишь абстрактными оболочками, не означающими ровным счетом ничего, кроме того, что сказано в их определении: если наличие хобота – часть определения слона, значит, слон, у которого убрали хобот, немедленно перестает быть слоном.

Этот логический формализм настолько не соответствует гибкости нашего ума, что становится гротескным. У нас нет ни малейшего желания думать так, да мы на это и не способны. Так работать могут только роботы и компьютеры. А мы ни то и ни другое.

Вот цена, которую приходится платить, чтобы корректно говорить о невидимом. Хотя логический формализм чужд нам по сути, мы можем научиться манипулировать им, точно так же, как можем научиться взаимодействовать с роботами и компьютерами. Они раздражают нас, мы находим их смешными, но в конце концов привыкаем к их психологии и все-таки весьма довольны, что они у нас есть и служат нам.

Научиться видеть

Понимать математику – значит научиться обращаться с этими словами-оболочками, определенным логическим формализмом, как если бы речь шла о словах родного языка. Научиться наполнять эти слова интуитивным и конкретным смыслом. Научиться видеть предметы, которые они обозначают, как будто они сейчас перед нами. Это подразумевает особые техники, о которых мы расскажем в следующих главах.

«Видеть» – это не всегда самое удачное слово, потому что не все конкретные объекты видимы. Сладкий вкус, текстура материала, ритм, песня, знакомый запах или ощущение проходящего времени – это тоже вполне конкретные переживания.

Способность соотносить воображаемые физические ощущения с абстрактными понятиями называется синестезией. Некоторые люди видят буквы в цвете. Другие воспринимают дни недели расположенными в пространстве вокруг себя.

Распространенное убеждение гласит, что синестезия – редкий феномен, связанный с некоторыми психическими нарушениями. На самом деле это универсальное явление, лежащее в основе человеческого познания. Вот маленький тест, чтобы определить, способны ли вы к синестезии: можете ли вы, глядя на последовательность букв в слове «шоколад», ощутить звук, цвет, аромат? А при виде последовательности символов «999 999 999» возникает ли у вас ощущение чего-то большого?

Что действительно редко встречается, так это осознание нашей способности к синестезии и стремление систематически ее развивать.

Математическое действие – это разновидность мыслительной йоги, цель которой – вернуть нам контроль над нашей способностью к синестезии.

Ничего из того, что я здесь рассказываю, не должно стать для вас сюрпризом, потому что все это вам знакомо. Когда вы научились «видеть» число 999 999 999, а не завитушки, выписанные ручкой по бумаге, – это произошло благодаря вашей способности к этой мыслительной йоге.

Вы смогли сделать это в раннем детстве и должны быть все еще способны к этому сейчас.

Билл Тёрстон был одним из величайших мастеров этого искусства. В главе 10 я расскажу вам кое о чем из того, что ему удалось увидеть. Это настолько необычайно, что вам будет трудно мне поверить.

Нам предстоит еще многому у него учиться.

Создано людьми, создано для людей

Вот где его замечание о тостерах обретает полный смысл. Когда человек сталкивается с математическим текстом, задача не в том, чтобы прочесть его с первой до последней страницы, как читал бы робот. Задача в том, чтобы уловить мысли между строк, то есть придать интуитивный смысл использованным словам и описанным ситуациям.

Но математические тексты написаны не роботами и не для роботов. Они написаны людьми и для людей. Без нашей способности придать им смысл, без мыслей между строк математических текстов не было бы, как не было бы музыкальных партитур без музыки.

Лучший способ поделиться этим человеческим пониманием – прямое общение между людьми. Это общение о математике ведется на языке людей. Как рассказывает Тёрстон, эффективнее всего оно бывает, когда общаются только двое:

«Наедине люди используют каналы коммуникации, далеко выходящие за пределы формального математического языка. Они жестикулируют, рисуют картинки и диаграммы, издают звуки, используют язык тела».

Когда кто-то только что доказал новую важную теорему, отмечает Тёрстон, зачастую он может объяснить решение за несколько минут в частной беседе двух специалистов по этой теме. Но чтобы объяснить тот же самый результат в докладе перед аудиторией специалистов, нужно закладывать час. А чтобы передать этот результат письменно, нужна статья на 15–20 страниц, на понимание которой тот же самый специалист потратит несколько часов или даже дней.

Перейти от масштаба минут к масштабу дней – значит потратить в 500 раз больше времени. На самом деле все еще хуже, потому что в процессе мы теряем энтузиазм.

Волшебный флюид

Понимание математики – это не какой-то волшебный флюид, передающийся взмахом руки, но оно весьма на него похоже. Если хочешь вникнуть в математическое понятие, самый короткий путь идет через свободную дискуссию с тем, кто реально его понимает.

Профессиональным математикам это хорошо известно. Истинный предмет их интереса – их собственные трудности в понимании математики. У них ровно та же проблема, что у двоечников. Только они знают решение.

Когда я учился в аспирантуре, я смог продвинуться в понимании математики не благодаря чтению книг. Тем, что я смог совершить впоследствии, я во многом обязан беседам с Рафаэлем. Мне очень повезло провести столько времени с кем-то настолько компетентным и готовым щедро делиться своим знанием.

Объяснения Рафаэля никогда не следовали строгим правилам. Иногда они были неверны. Зато всегда были просты и человечны. Они придавали смысл. Порождали желание узнавать. Рафаэль объяснял мне, что на самом деле означает та или иная теорема. Он рассказывал, как когда-то была придумана та или иная идея и как ее следовало понимать «по сути».

Понимать что-то по сути – значит быть способным интуитивно объяснить это самому себе и назвать причину, по которой это истинно, уловить суть всей истории. Если бы математика была только вопросом логики, такой задачи бы не существовало. Из логического рассуждения нельзя извлечь никакой отдельной сути.

Объяснения по сути, с размахиванием руками, подразумевают, что у слушающего останется неопределенность. С их помощью рассказывают, зачем нужны тостеры и как в них кладут бутерброды, но никогда не дается список деталей тостера. Если вам это действительно интересно, можете обратиться к Определению 7.4 на странице 138.

Важность непосредственного общения объясняет организацию и образ жизни математического сообщества. У астрономов есть телескопы, у физиков есть ускорители элементарных частиц, а у математиков есть свой великий научный инструмент – путешествие.

Путешествия математиков позволяют новым идеям распространяться с эффективностью, которой невозможно добиться другим способом. Часто они бывают долгими. Нужно время, чтобы поболтать, выпить не одну чашку кофе, порисовать на доске и вернуться назавтра к дискуссии с вопросом, который посетил нас при пробуждении. Один японский математик, Кёдзи Сайто, хотел понять мысли между строк в моих статьях – и поэтому он часто приглашал меня в Киото. А мне это позволило лучше понять мысли между строк уже в его статьях. Такие путешествия – часть жизни математиков.

Ясное и наводящее страх

В том же самом классе, где безмолвно страдает двоечник, вполне вероятно, есть отличник, который мог бы все объяснить ему простыми словами. Так почему такого разговора почти никогда не происходит?

Определенную роль играет уверенность двоечника, что он по природе хуже. Он слишком подавлен, чтобы задать правильные вопросы – по-настоящему простые, те самые, которые выглядят слишком глупыми, а на самом деле в них вся суть.

Часть ответственности лежит и на преподавателях. Порой они поддерживают иллюзию, что математика может ограничиться формальными рецептами. Всем нам знакомо зеркальное отражение невероятной пропасти, отделяющей способных к математике от неспособных, – эта же пропасть отделяет хороших учителей математики от плохих.

Попробуем объяснить. В математическом мире тостеры поставляются разобранными на детали. Каждый должен собрать свой экземпляр у себя в голове. Плохой учитель математики – тот, который пересказывает 198 этапов сборки тостера и делает вид, что на этом вся история заканчивается. Хороший – тот, кто прилагает все усилия, чтобы объяснить, что такое вообще тостер. Он постоянно смотрит в глаза ученикам, потому что именно по их взгляду он увидит, поняли ли они. Первый читает курс для роботов, второй – для людей.

Вываливать 198 этапов сборки тостера на человека, который не понимает его назначения, – акт неслыханного насилия. Все равно что воспитывать ребенка, не рассказывая ему сказок.

Не думаю, что плохие учителя математики намеренно ведут себя как садисты. Возможно, они не считают человеческое понимание центром математической задачи, потому что сами получили неправильное образование. Возможно, они и сами не видят тостер у себя в голове. А может, наоборот – когда слишком хорошо представляешь в голове тостер, есть склонность забывать, что не все так могут.

«То, что для чьего-то ума выглядит ясным, для другого может выглядеть пугающе», – пишет Тёрстон.

Сложность в передаче мысленных образов, их мимолетность и глубокая субъективность, неспособность нашего языка точно передать их и склонность нашей интуиции ошибаться – это и есть те причины, которые привели к изобретению логического формализма.

Математика для Тёрстона, как и для всех математиков, – чувственный и плотский опыт, идущий впереди языкового выражения. В сердце системы, делающей этот опыт возможным, лежит логический формализм. Книги по математике нечитабельны, но всё же они нам нужны. Это инструмент, который позволяет в письменной форме поделиться настоящей математикой, единственной, которая действительно имеет значение, – тайной математикой, математикой, что находится у нас в голове.

Остается одна большая загадка.

Как людям удается находить в себе смелость и желание писать нечитаемые книги, безразличные к читателям и такие же сухие, как инструкции к тостерам? Что вообще может их мотивировать? В каком состоянии ума происходит математическое творчество?

Это тема следующей главы.

Глава 7
Позиция маленького ребенка

«Дорогой Серр, спасибо за все статьи, которые ты мне любезно прислал, и за твое письмо. У меня никаких новостей. Закончил треклятое сочинение по гомологической алгебре».

Так начинается письмо Александра Гротендика Жан-Пьеру Серру от 13 ноября 1956 года. Удивителен его небрежный тон – особенно если знаешь, кто такой Серр, кто такой Гротендик и о чем это письмо.

Жан-Пьер Серр – один из величайших математиков XX века. Научная карьера не измеряется полученными наградами, но когда человек получает их все – это определенно что-то значит. Серр получил Филдсовскую премию в 1954 году в 27 лет – рекордно юный возраст, и этот рекорд не побит до сих пор. Премия вручается математикам моложе 40 лет, и долгое время не было другой награды за выдающуюся математическую карьеру в целом. В тот год перед вручающим ее комитетом стояла ответственная задача: из всех живущих математиков надо было выбрать того, кто заслуживал получить ее первым. И премия была присуждена Серру.

Что до Гротендика – он даже больше, чем великий математик. Еще задолго до своей смерти в 2014 году он стал легендой.

Он один из тех редких математиков (их всего несколько человек за всю историю), чей вклад не ограничивается глубокими результатами или эффектными теориями. Гротендик придумал свой способ подходить к математическим задачам, настолько новый и плодотворный, что он как будто изменил саму природу математики.

Именно поэтому его часто считают величайшим математиком ХХ века, если это понятие вообще имеет какой-то смысл.

Математик Александр Гротендик⁵

Что же касается «треклятого сочинения по гомологической алгебре», речь идет о статье «О некоторых вопросах гомологической алгебры», вышедшей в 1957 году в японском научном журнале Tohoku Mathematical Journal.

Эта статья стала первым опытом Гротендика в тематике исследований, которая принесет ему известность. Под влиянием Серра он приобщился к алгебраической геометрии. Между молодыми людьми завязалась математическая дружба, которой суждено было войти в историю как одной из самых плодотворных. Позже Гротендик скажет о своей встрече с алгебраической геометрией, что это было все равно что «вдруг обрести вновь "землю обетованную" с ее сказочными богатствами».

Описанию этой земли обетованной Гротендик посвятит 15 лет своей жизни. Письмо он называл сердцем своей методики. Вплоть до того, что заявлял: «Занимаясь математикой, человек прежде всего пишет».

Эта страсть к писанию делает его письмо к Серру глубоко загадочным. Ведь «треклятое сочинение» – это всего лишь первый рассказ о путешествии Гротендика в эту землю обетованную. Но редактура кажется ему настолько нудным занятием, что завершение этой работы, занимавшей его больше года, он вовсе не считает событием: «У меня никаких новостей».

Именно этими словами Гротендик сообщает о завершении исторической статьи.

Может быть, он шутил? Вряд ли. В интервью 2018 года Серр рассказывает, что одной из особенностей Гротендика было как раз полное отсутствие чувства юмора: «Не припомню, чтобы он когда-либо отпускал остроты. Например, про математику с ним шутить было нельзя».

За этим кажущимся парадоксом скрывается глубокая тайна о природе математической работы. Отстраненность и небрежность Гротендика могут казаться непонятными, но когда вы узнаете больше о его интеллектуальных действиях, вы поймете, что все это прекрасно согласуется.

Шутка вышла чересчур неуклюжей

Среди широкой общественности все знают, кто такой Эйнштейн, но мало кто знает Гротендика.

Сравнивать их не так уж нелепо. Эйнштейн совершил революцию в представлении физиков о пространстве и времени. Гротендик совершил революцию в представлении математиков о понятии пространства. Более того, он даже изобрел заново само понятие точки и предложил геометрический взгляд на понятие истины.

Некоторые математики даже считают, что сравнение с Эйнштейном несправедливо. Труды Эйнштейна они находят прекрасными, изысканными, блестящими, восхитительными. Они говорят, что это произведения очень сильного автора. Что же до трудов Гротендика, они находят их необыкновенными, головокружительными, великолепными и ужасающими. Они говорят, что подобные вещи не могут быть созданы человеком. Идеи Гротендика не всегда просто понять, но, когда понимаешь хоть немного, кажется невероятным, что кому-то могло такое прийти в голову.

Жан-Пьер Серр не стесняется говорить о творчестве Гротендика, что лично он не смог бы создать такого, поскольку «это требует огромной силы». Когда речь заходит о Гротендике, Серр упоминает «мощь, исходившую из его головы» и говорит о сверхъестественной силе его ума: «И в физическом, и в интеллектуальном плане – одинаково необыкновенно. Не знаю никого, в ком было бы столько силы. Я знаю людей с очень сильным интеллектом, но Гротендик – это просто животная мощь».

Гротендик это мнение не разделяет. Он не считает себя одареннее других. Его необыкновенный творческий потенциал происходит не отсюда:

«Эта власть – отнюдь не особый "дар", как, скажем, исключительная способность рассудка […] Подобные дары без сомнения драгоценны и уж, конечно, достойны зависти тех, кто (как я) не был от рождения наделен ими так щедро».

Гротендик дает совершенно другое объяснение: «Годны ли в дело изобретательность и фантазия искателя, определяется степенью напряженности его внимания, с каким он прислушивается к голосам вещей».

Мы словно в точности возвращаемся к словам Эйнштейна – нашей точке отсчета в начале главы 1: «У меня нет особого таланта. Я просто страсть как любопытен».

Но Гротендик идет еще дальше. И все же он знает, что никто не станет ему верить, потому что такие заявления никто никогда не принимает всерьез:

«Стоит лишь упомянуть о чем-нибудь подобном, как со всех сторон – на лице ли самого безнадежного тупицы, на устах ли ученейшего из ученых, о чьих заслугах простому смертному и мечтать грешно, – встречаешь одну и ту же, стесненную, понимающую улыбку. Дескать, шутка вышла чересчур неуклюжей».

У Эйнштейна была репутация шутника. Насчет Гротендика можно не беспокоиться – он не шутит никогда.

Жаль, что у нас так и не состоялся этот пресловутый разговор с Эйнштейном, где он раскрыл бы нам секреты своего творческого потенциала, согласился бы ответить на наши вопросы и рассказал бы правду в подробностях, как он это делает.

А вот Гротендик написал на эту тему текст размером больше тысячи страниц. Там он в точности описывает, что происходит у него в голове, когда он занимается математикой. Он признается в полной неспособности прочесть какой бы то ни было математический текст, даже простой, пока не создаст в мыслях нужные образы. Признается и в том, что не способен следить за конференциями, потому что для него все происходит слишком быстро. Объясняет, как справляется с ощущением полного непонимания. А главное – точно указывает, где для него во всем этом таится удовольствие.

Этот необыкновенный рассказ называется «Урожаи и посевы». Рукопись долго оставалась неизданной. Она передавалась из-под полы более 35 лет, и нужно было дождаться 2021 года, чтобы нашелся издатель, решившийся опубликовать ее⁶.

Уникальное свидетельство

«То, что ведет и преобладает в моей работе, является ее душой и смыслом существования, – мысленные образы, возникающие в ходе работы, дающие возможность приблизиться к реальности математических объектов»⁷.

«Всю жизнь я был неспособен прочесть математический текст, каким бы безобидным или упрощенным он ни был, если мне не удавалось придать этому тексту "смысл" в понимании моего опыта математических объектов, то есть когда текст не вызывал во мне мысленных образов и интуиции, которые вдохнули бы в него жизнь»⁸.

Эти абзацы, как и все процитированные здесь, взяты из «Урожаев и посевов».

Рассказ Гротендика – долгий монолог, увлекательный, но обескураживающий, с пророческими нотками. Не могу сказать, что рекомендую вам его прочесть. Во всяком случае, только с серьезным предупреждением: это монструозный текст, длинный и трудный, местами блестящий, местами невнятный. Он множит метафоры и аллегории, усеян примечаниями и сносками, у которых есть собственные примечания и сноски. На протяжении сотен страниц автор блуждает в личных обидах и необоснованных упреках, отчего рассказ становится откровенно нечитаемым.

Это текст только для посвященных, но даже им крайне трудно добраться до конца.

Однако же все согласны, что «Урожаи и посевы» – самое потрясающее свидетельство о математическом опыте, когда-либо написанное. Как и многие мои друзья и подруги из мира математики, я нашел там моменты ослепительной ясности и правильности.

Не раз я останавливался при чтении и говорил себе: «Он прав. Так и есть. В этом и тайна. Вот так все в голове и происходит. На самом деле именно через эти мысленные действия, очень простые, вот эти действия, которые выглядят совершенно невинно, но которые никто и не думает выполнять, становишься очень сильным в математике. Никогда не читал ничего настолько же важного. То, что рассказывает Гротендик, надо бы суметь объяснить всем».

И все же я знаю, что мысль Гротендика в необработанном виде слишком загадочна, чтобы ее могли услышать за пределами ограниченного круга специалистов.

В итоге у нас в некотором роде та же проблема, что и с Эйнштейном. Нам не хватает возможности устроить честный разговор, задать простые вопросы. Гротендик пошел дальше, чем Эйнштейн. Он раскрыл нам невероятные подробности. Но, чтобы расшифровать его свидетельство, нужно связать его с нашим конкретным опытом. «Урожаи и посевы» – визионерский, но эзотерический текст, написанный слишком рано – в эпоху, еще не готовую получить это послание, – да еще и слишком одиноким человеком.

Прежде чем поделиться с вами тем, что лично мне запало в память при чтении, что созвучно моему собственному опыту, я хочу рассказать чуть побольше о жизни Гротендика и его выдающейся личности.

Ребенок-дикарь

Александр Гротендик родился в Берлине в 1928 году. Его родители были анархистами, вынужденными бежать от нацистского режима. В 1933 году, когда ему было пять лет, мать передала его на воспитание семье Вильгельма Гейдорна, лютеранского пастора из Гамбурга.

Похоже, что до этого момента Гротендик получал очень своеобразное воспитание, вдохновленное анархистскими принципами его родителей. Его приемная мать Дагмар Гейдорн сразу после знакомства с ним описывала его как ребенка-дикаря, грязного и без тени робости. Доверяя ей сына, Ханка Гротендик попросила, чтобы его никогда не посылали в школу и никогда не стригли ему волосы.

Александр Гротендик в детстве⁹

Гейдорны остригли ему волосы и отправили в школу. Пожалуй, это единственный мирный и «нормальный» период его существования. Он на всю жизнь сохранил привязанность к своей приемной семье.

В апреле 1939 года, опасаясь за безопасность Гротендика (его отец был евреем), Гейдорны посадили его в поезд, идущий в Париж, и там он воссоединился с родителями, бежавшими во Францию. Вскоре после этого его отец был арестован и отправлен в Освенцим, где умер в 1942 году. С 1940 года Гротендик с матерью жили на юге Франции в лагерях для интернированных.

Тогда и стало вырисовываться пристрастие Гротендика к математике. Дальнейшее похоже на штампы голливудского кино. В послевоенной Франции мать и сын не имели гражданства. Они жили бедно, зарабатывая уборкой домов и сбором винограда. Юного студента заметил один из преподавателей и написал ему рекомендательное письмо. В 1948 году, в возрасте 20 лет, Гротендик отправился в Париж и встретился там с несколькими величайшими математиками того времени.

Один из них дал Гротендику прочесть свою последнюю статью, которая заканчивалась списком из 14 важных нерешенных задач. Список из разряда тех, где целеустремленный студент может откопать хорошую тему диссертации: он выбирает проблему, три года над ней размышляет, призывает на помощь научного руководителя, решает проблему наполовину, и все довольны. Гротендик удалился к себе работать и вернулся через несколько месяцев. Он решил все 14 проблем.

Вплоть до 1970 года Гротендик неуклонно поднимался по ступеням, отделявшим безымянного беженца от вершины мировой науки. Он стал величайшим и сильнейшим. Мощь его работы феноменальна. Вокруг него возник исследовательский институт. В 1966 году ему была присуждена Филдсовская премия, на вручение которой он не явился, но это просто смехотворно в сравнении со всем остальным. Гротендик и его студенты взялись за титанический визионерский проект по реконструкции алгебраической геометрии, наследие которого в значительной степени дало пищу современным математическим исследованиям.

Но в 1970 году, в возрасте 42 лет, Гротендик резко оборвал научную карьеру. Он ушел из созданного вокруг него института и начал новый жизненный период, посвященный общественной деятельности и участию в движении глубинной экологии.

В середине 1980-х годов, через 15 лет после ухода, он пишет «Урожаи и посевы». Он намерен создать текст для широкой публики, поскольку считает себя носителем важного послания. В письме от 2010 года он признаёт, что это удалось ему не полностью: «Это размышление, это свидетельство о моей жизни математика, каким бы нечитаемым – могу это допустить – оно ни было, очень много значит для меня».

В 1990 году Гротендик удалился от мира. Он поселился в маленькой деревушке Ласер в департаменте Арьеж, у подножия Пиренеев, где предавался медитации и жил в полном одиночестве и аскетизме до самой своей смерти в 2014 году. Он дошел до того, что пытался кормиться исключительно супом из одуванчиков.

Гротендик никогда не переставал писать. После него осталось огромное количество математических, философских и мистических заметок, в том числе, кажется, размышление на 30 000 страниц, посвященное «проблеме зла».

Близость математического опыта к опыту безумия – это тема, которую мы не можем проигнорировать. Мы вернемся к ней в главе 17.