Kitabı oxu: «Modelización matemática en el aula»

Introducción

Este libro es el resultado de una búsqueda de condiciones posibles para un proyecto de enseñanza que ofrezca a los alumnos la experiencia de producir conocimiento matemático. La actividad de modelización provee una visión integrada de la matemática y, desde nuestro punto de vista, permite reconstruir en el aula una parte esencial del “quehacer” de la disciplina.

¿En qué consiste el “quehacer” matemático del que hablamos? Pensamos que “hacer matemática” es más que resolver problemas. También es encontrar buenas preguntas, buscar medios para responderlas, desarrollar nuevos métodos, conjeturar propiedades, validar soluciones, interactuar con otros miembros de la comunidad matemática de pertenencia, confrontar resultados, técnicas, validaciones. Teoremas y definiciones son a la vez productos y herramientas de todo este trabajo de construcción de conocimiento matemático.

Entendemos a la modelización matemática como un proceso que atraviesa distintos momentos1 –recortar una problemática frente a cierta realidad, identificar un conjunto de variables pertinentes a esa problemática, producir relaciones entre las variables tomadas en cuenta, elegir una teoría para operar sobre las relaciones y producir conocimiento nuevo sobre dicha problemática–, integrando conocimientos de diferente naturaleza y abarcando el quehacer matemático.

Como los conocimientos no se presentan fragmentados, sino relacionados naturalmente a través de una situación problemática, la actividad de modelización reúne condiciones para realizar en el aula un trabajo análogo a la actividad científica, centrado en la producción matemática de los alumnos y donde se re-crean los conocimientos matemáticos a partir de las propuestas del docente.

Al mismo tiempo, al requerir que los alumnos tomen decisiones sobre la pertinencia de los recursos que ponen en juego y se hagan responsables de sus resultados, validándolos y confrontándolos con sus pares, el trabajo de reflexión sobre los problemas le imprime a la clase de matemática un valor formativo que va más allá de la matemática.

Los problemas que presentamos conllevan procesos de modelización de complejidad diversa, y los conceptos matemáticos que requieren son básicamente los señalados en los programas usuales para la escuela media, aunque aquí los articulamos de forma transversal a las “unidades” programáticas. La complejidad reside fundamentalmente en la exigencia de seleccionar y usar distintas herramientas y conocimientos en forma coordinada y simultánea. Los enunciados y análisis que proponemos no pretenden ser productos terminados, sino materia prima para que el docente siga “amasando” y, de acuerdo con su criterio y las circunstancias, seleccione, modifique o agregue sus propias variantes.

La tarea de “inventar” problemas no nos resultó sencilla. Para que un problema genere actividad matemática debe presentar cierta complejidad, admitir distintos procedimientos y dar lugar a la toma de decisiones. No cualquier enunciado con una pregunta reúne estas condiciones. La matemática de los programas nos impuso restricciones adicionales sobre las situaciones a modelizar, para que la complejidad no excediera las posibilidades de los alumnos.

En nuestro proceso empezamos resolviendo en forma experta muchas situaciones tomadas de diversas fuentes, analizamos posibles procedimientos no expertos de resolución, qué conocimientos se ponían en juego, qué técnicas matemáticas eran necesarias. Elegimos algunas y descartamos otras. Hemos incluido problemas que pueden tratarse de manera “artesanal”, aun sabiendo que existen recursos más elaborados para abordarlos pero que no están al alcance de los alumnos de la escuela media. Este mismo criterio nos ha servido para descartar problemas que inicialmente nos habían parecido interesantes. En otros términos, quisimos hacer una propuesta que, aunque exigente porque rompe con las formas más usuales de ir tema por tema, resultara viable en las condiciones actuales de la enseñanza. Es así como, por ejemplo, excluimos un problema de optimización porque había que derivar y no encontramos procedimientos alternativos.

Nos valimos de una serie de herramientas didácticas que permiten comandar las estrategias de resolución de los alumnos, los conocimientos que se ponen en juego, las formas de validación, la complejidad mateática, el sentido de los conceptos involucrados. Entre otras:

• el juego de traducciones mutuas entre distintas representaciones (lenguaje natural, diagrama, dibujo, escritura algebraica, tablas, fórmulas, gráficos cartesianos);

• la modificación de los valores de los datos, que puede influir sobre la cantidad o el dominio numérico de las soluciones;

• la secuenciación de los problemas;

• la habilitación o no del uso de calculadora y computadora;

• cambios en el lugar de la incógnita.

Todo el libro puede leerse con el sentido práctico de problemas para el aula, y también como un despliegue in situ de toda una gama de posibilidades didácticas. Lo pensamos como una herramienta de estudio, y procuramos dar al lector la oportunidad de reflexionar o resolver ciertas cuestiones por su cuenta antes de encontrar respuestas en el libro.

Mapa del libro

Cada capítulo gira en torno a una situación distinta: graduar una escala, acomodar latas, solicitar un préstamo bancario, fabricar una boya flotante, encontrar un área máxima; y los conocimientos involucrados son muy variados: desde una ecuación cuadrática, pasando por propiedades de tangencia de circunferencias, por el crecimiento exponencial, o por métodos numéricos, entre muchos otros.

El primer capítulo trata la problemática de graduar un bebedero de campo. El punto de partida fue un problema adaptado de un artículo de investigación en didáctica de la matemática, que a su vez había sido tomado de un manual francés. Incluimos en su análisis distintas estrategias de resolución, posibles errores de los alumnos, intervenciones docentes, conocimientos que se ponen en juego, una parametrización y dos variantes del problema, y una posible secuencia para la puesta en aula.

Los problemas geométricos del segundo capítulo se gestaron a partir de una situación que proponía introducir los números irracionales en un contexto de acomodar latas. A partir de la modelización de las latas con circunferencias, generamos diversos problemas geométricos y numéricos que ponen en juego relaciones cualitativas y cuantitativas de las disposiciones de rectas y circunferencias tangentes.

El tercer capítulo parte de la situación real de calcular la cuota de un préstamo bancario. Además del interés práctico del contexto, la situación permite trabajar, a través de algoritmos recursivos, con técnicas numéricas no habituales en la escuela y, al mismo tiempo, integra a la computadora como recurso para hacer cálculos y producir gráficos. También nos apoyamos en la planilla de cálculo para hacer un trabajo intermedio entre lo aritmético y lo algebraico. La segunda parte del capítulo propone algunos problemas sobre progresiones geométricas y crecimiento exponencial, en respuesta a interrogantes que se abren con el problema del préstamo.

El cuarto capítulo empezó con la idea de trabajar algoritmos numéricos para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones. Después de un proceso que se había internado en el análisis de algoritmos iterativos infinitos y su convergencia, logramos darle forma tomando como eje el estudio de la existencia de soluciones.

El quinto capítulo reúne varios problemas más “internos” de la matemática donde jugamos con la interacción entre distintos registros, yendo de la geometría al álgebra, del álgebra a lo funcional. Los primeros consisten en maximizar el área de rectángulos inscriptos en triángulos rectángulos o en un cuarto de circunferencia. La reinterpretación de estos objetos geométricos en términos funcionales da lugar a una familia de problemas de optimización.

Capítulo I

El problema del bebedero

En este capítulo analizaremos un problema que implica la elaboración de un modelo matemático para una situación real. El trabajo con el modelo involucra la elección de las herramientas matemáticas que permiten operar sobre él y el estudio de la validez de las soluciones matemáticas obtenidas como soluciones del problema. El análisis que realizamos está atravesado por distintas cuestiones didácticas: los diferentes procedimientos que el problema admite y los conocimientos que éstos involucran, los posibles errores de los alumnos y las intervenciones docentes que, desde nuestro punto de vista, ayudan a sostener el trabajo de los estudiantes. El estudio de la familia de problemas que resulta de la parametrización de los datos complementa este análisis.

A continuación presentamos una secuencia de problemas para la puesta en aula y la comparamos con otra secuencia, tomada de un manual francés, que fue la que dio origen a la versión del problema que proponemos aquí. Aunque, a primera vista, las dos versiones podrían parecer similares, discutiremos que los aprendizajes resultan significativamente diferentes en una y en otra.

Con la intención de profundizar la mirada funcional sobre el problema, planteamos luego un trabajo de interacción entre diferentes representaciones, poniendo el foco en lo cualitativo por sobre lo numérico.

Finalmente mostramos dos variantes del problema: una que trabaja con una función definida por partes, y la otra que invita a reflexionar sobre los usos y las limitaciones de un modelo.

El problema2

En el campo, algunos bebederos para animales tienen una forma como la que se esquematiza en el dibujo:

Se trata de un prisma recto de 4 m de largo, y dos de sus caras son trapecios isósceles congruentes de base menor 6 dm, base mayor 8 dm y altura 4 dm.

Se necesita graduar una varilla colocada en forma vertical sobre uno de los trapecios para precisar el nivel de agua correspondiente a 100, 200, 300,… litros.

Para graduar la varilla habrá que decidir dónde deben ir las marcas. La tarea alrededor de la resolución de este problema colocará al alumno –también al docente y al lector– frente a problemas intermedios que deberá ir enfrentando paso a paso. Los conocimientos que se ponen en juego en la resolución de cada uno de estos problemas intermedios son muy variados. Las distintas estrategias que propongan los alumnos dependerán de las herramientas matemáticas de las que disponga cada uno.

Para entrar en calor: el volumen total del bebedero

Un primer paso para encarar el problema es calcular el volumen total. Invitamos al lector a hacerlo antes de seguir leyendo.

A lo largo de nuestro análisis expresaremos todas las longitudes en dm y escribiremos sólo los números, sin las unidades. Esta no es una decisión sin consecuencias: otra elección de las unidades proveería un modelo distinto para la misma situación, y el uso simultáneo de diferentes unidades llevaría a expresar los volúmenes en unidades no convencionales como dm2∙m.

Antes que nada es necesario reconocer el prisma recto, ya que la base no está apoyada, como ocurre habitualmente, sobre el plano horizontal. Para calcular el volumen de un prisma se necesita disponer de una fórmula (uno puede recordarla o recurrir a un libro en busca de ella): el volumen de un prisma recto es igual a la superficie de la base del prisma por la altura del mismo. Si se dispone de la fórmula usual para el cálculo de área de un trapecio, el volumen total V del bebedero resulta:

donde b = 6 es la base menor del trapecio y B = 8, la base mayor. Obtenemos un volumen total del bebedero igual a 1120 dm3 o litros.

¿Qué pasaría si no se recordara la fórmula del área del trapecio? Aunque habría que “remar” un poco más, también se podría calcular a partir de la fórmula del área del rectángulo. Veamos.

Como se trata de un trapecio isósceles, se puede calcular su área como la suma de las áreas de dos rectángulos, uno de área 6 · 4 y otro de área 1 · 4. Se puede, entonces, pensar el volumen del prisma original como:

También se puede pensar el área del trapecio como la diferencia entre las áreas de dos triángulos isósceles:

Por el teorema de Thales, o apoyándose en la semejanza de los dos triángulos:

de donde x = 12 y la altura del triángulo grande es 16 dm.

El área del trapecio será

y el volumen total del bebedero será: V = 28 • 40 = 1120.

No estamos pensando que el profesor deba mostrar las distintas opciones para calcular un volumen. Aquí sólo estamos anticipando algunas estrategias posibles, no necesariamente las únicas. Este trabajo de anticipación de estrategias le permite al docente entrar en más “recovecos” del problema e identificar los distintos conocimientos involucrados. Podrá así guiar la actividad de los alumnos con mayor soltura, indagando, observando o interpretando cuáles son los conocimientos de los que dispone cada alumno que intenta abordar el problema. Al mismo tiempo, estamos comunicando que los recursos en los que suele pensarse en una primera instancia no son los únicos que permiten resolver un problema. Aprender a bucear en las estrategias disponibles es parte de la formación matemática que nos parece interesante promover.

Posibles dificultades de los alumnos frente al cálculo de los volúmenes parciales

Hasta aquí hemos calculado el volumen total del bebedero. ¿Cuál es la relación entre el volumen y el nivel del agua?

Para entendernos, llamaremos “trapecio” –a secas– al trapecio que queda determinado sobre la base del prisma al llenar una parte del bebedero hasta una cierta altura h.

El problema pide hallar la altura h para ciertos volúmenes. Pero, para establecer una relación entre volúmenes y alturas, resulta más sencillo calcular el volumen para una altura h cualquiera.

La base menor del trapecio sombreado mide 6 dm, pero la medida de la base mayor dependerá de la altura. En un primer momento, un alumno confrontado con el problema puede no reconocer esta dependencia. Sin embargo, tratar las dos variables como si fueran independientes le impedirá continuar con los cálculos y se verá forzado –eso se espera– a buscar y establecer las relaciones correspondientes. Acá hay una pequeña idea que, en algún momento, será interesante discutir con los alumnos: buscar relaciones entre las variables del problema es una estrategia básica del trabajo de modelización. El contexto del problema apoya esta búsqueda: es claro que cuando se llena el bebedero hasta un cierto nivel, la base mayor del trapecio queda automáticamente determinada. Como se trata de un prisma recto, algunos alumnos pueden considerar erróneamente que existe una relación de proporcionalidad entre la altura y el volumen. Si la base mayor es proporcional a la altura, ¿por qué no concluir en una relación de proporcionalidad entre altura y volumen? Este razonamiento lo conducirá, seguramente, a la fórmula

calculando por regla de tres o armando proporciones. Para tomar conciencia de su error requerirá de otros, sus pares o el docente. Se lo puede invitar, por ejemplo, a analizar qué pasa con el volumen de agua cuando el bebedero está lleno hasta la mitad de la altura, ya que en este caso es fácil concluir que no puede ser la mitad del volumen total. Calcular el volumen para 2 dm de altura puede ser de utilidad antes de enfrentar una fórmula general para cualquier altura.

También se puede establecer una comparación entre el bebedero del problema y otro de base rectangular, donde el volumen sí crece en forma proporcional a la altura del agua, correspondiendo al modelo lineal producido por los alumnos (de este caso límite, donde la base mayor y la base menor son iguales, nos ocuparemos con más detalle más adelante).

Una vez reconocida la existencia de una relación entre la base mayor del trapecio y la altura (nivel del agua), se la puede encontrar de diferentes maneras: ya sea en un marco geométrico, utilizando el teorema de Thales, o a través de las propiedades de triángulos semejantes o apoyándose en la noción de tangente de un ángulo, o bien en un marco algebraico construyendo una función lineal. Nótese que se trata de distintas caras de un mismo conocimiento, y que algunas pueden estar disponibles para un alumno, y otras no. Es probable que distintos alumnos recurran a distintas herramientas, lo cual justifica que el docente promueva la circulación de las ideas en juego y el análisis de sus interrelaciones.

Como se ve, este problema involucra muchos conocimientos en simultáneo, sin fragmentarlos o limitarlos según los requerimientos de un título o punto de un programa, y la complejidad no reside tanto en los conocimientos en sí mismos, sino justamente en la necesidad de su uso simultáneo.

El alumno puede investigar, explorar, probar, buscar, decidir y elegir las herramientas que él conoce y que le parezcan pertinentes. Este recorrido incluirá diferentes problemas intermedios:

• establecer una relación entre la base mayor del trapecio y el nivel del agua;

• calcular el volumen de agua para un nivel determinado, ya sea para algunos valores numéricos de la altura, o expresando el volumen en función del nivel;

• calcular el nivel que corresponde a cada uno de los volúmenes de 100, 200, 300,… litros.

Diferentes estrategias

Una solución experta podría determinar, en primer lugar, la base mayor del trapecio en función de la altura, usando el teorema de Thales para los triángulos de la figura.

Se puede expresar el volumen V en función de la altura h:

Una forma de chequear la fórmula obtenida es calcular el volumen total V(4) y controlar que dé 1120. Esto no garantiza que la fórmula esté bien, pero permite detectar errores en el caso de que no dé 1120. No necesariamente los alumnos revisan sus resultados de manera espontánea. Promover en los estudiantes una actitud de control sobre su propia producción es, desde nuestro punto de vista, una función esencial del trabajo docente porque es un modo de colaborar con la construcción de una posición de autonomía intelectual.

La función inversa permite calcular la graduación de la varilla:

Es probable que los alumnos obtengan la fórmula del volumen de agua en función de la altura, y despejen h sin pensar necesariamente en la función inversa. Puede ocurrir que resuelvan numéricamente once ecuaciones de segundo grado: para V = 100, 200,… Después de resolver tres o cuatro ecuaciones, ya puede “decantar” que:

Para cada valor del volumen se obtienen dos valores de la altura, de los cuales hay que descartar uno porque es negativo. ¿Por qué encontramos soluciones matemáticas que no son soluciones del problema real? ¿Elegimos bien el modelo? ¿Se trata de un modelo de esta situación si produce soluciones que no sirven? Es hora de ajustar el modelo estudiando las condiciones para que toda solución matemática resulte también solución del problema original. En este caso, alcanza con restringir explícitamente el dominio de la función cuadrática V(h) al intervalo [0,4]. La restricción del dominio se hace necesaria en la modelización de la situación –no es una condición impuesta desde afuera de manera caprichosa– y garantiza la existencia de la función inversa h(V).

Que los alumnos utilicen la fórmula para despejar h, no significa que reconozcan a este cálculo como función inversa de V(h). El paso de la resolución de las distintas ecuaciones de segundo grado a la fórmula de la función inversa implica una generalización que el docente puede proponer como asunto a tratar.

También puede ocurrir que los alumnos usen la fórmula para armar una tabla de valores de h y V(h), con pasos regulares para h, corroborando que la variación del volumen no es constante y que el modelo no puede ser lineal.

Otra manera de usar la fórmula del volumen es hacer un gráfico de la función V(h) y determinar en forma aproximada los valores de h tales que V(h) = 100, 200, 300,…

Este procedimiento es el equivalente gráfico de la resolución de las once ecuaciones, ya que se están encontrando los puntos de intersección de la parábola y = 10x2 + 240x con las rectas y = 100, y = 200,…

La varilla graduada

Para responder la consigna del problema, los alumnos pueden dibujar la varilla utilizando los valores numéricos obtenidos.

A partir del dibujo se puede analizar que las distancias entre las marcas de graduación se juntan levemente a medida que aumenta el volumen, y que esto es consecuencia de la forma trapezoidal del bebedero.

Esta idea se puede completar preguntando cómo sería el bebedero si las marcas de la varilla fueran equidistantes. De esta forma, se retoma también el modelo lineal que corresponde a un bebedero de forma rectangular.

Parametrización. Una familia de problemas

Consideremos un bebedero como el original, con forma de prisma recto cuyas bases son trapecios isósceles, pero en lugar de datos numéricos consideremos medidas cualesquiera. Para cada elección de valores numéricos de los parámetros B, b, H y l obtenemos un problema distinto –el “mismo” problema con otros números– que se puede resolver, en principio, de la misma forma:

para luego calcular la función inversa h(V) correspondiente.

Sin embargo, queremos señalar que con un cambio en los valores numéricos, los conocimientos involucrados pueden cambiar esencialmente.

El trabajo con parámetros implica una complejidad mucho mayor y aunque trae como recompensa la posibilidad de tomar el problema como objeto de análisis y realizar un estudio más general, es costoso para los alumnos entrar en dicho análisis.

Como ya hemos mencionado antes, en el caso límite

b = B, es decir, cuando el trapecio es un rectángulo, la fórmula para el volumen del bebedero lleno hasta una altura h resulta ser lineal:

No es necesario apelar al teorema de Thales, las marcas de la graduación serán equidistantes y el problema se puede resolver simplemente por regla de tres, considerando la constante de proporcionalidad b∙l, y escribiendo la función inversa por simple “despeje” de h.

Eligiendo b = 0 obtenemos otro caso límite en el cual el trapecio isósceles se transforma en un triángulo isósceles y la fórmula del volumen será “puramente” cuadrática (no hay término lineal ni constante):

Las marcas de la graduación no serán equidistantes, el teorema de Thales –u otro conocimiento equivalente– sí será necesario para calcular la base del triángulo sombreado, pero se puede calcular la altura h despejando directamente de la fórmula.

Entre estos dos casos límite –el “puramente” lineal

(b = B) y el “puramente” cuadrático (b = 0)–, el cociente b/B puede tomar cualquier valor entre 0 y 1. Si b es mucho menor que B, predomina el coeficiente cuadrático sobre el lineal y, a la inversa, si b es cercano a B, predomina el coeficiente lineal sobre el cuadrático.