Kitabı oxu: «Как не ошибаться. Сила математического мышления»

Глава вторая. Локально прямая, глобально кривая

Наверное, вы не думаете, что вам нужен профессиональный математик, который объяснит, что не все линии прямые. Однако линейные рассуждения присутствуют повсюду. Вы прибегаете к ним каждый раз, когда утверждаете, что если хорошо иметь нечто, то лучше иметь этого еще больше. Именно так рассуждают политические крикуны: «Вы поддерживаете военные действия против Ирана? Тогда, полагаю, вы предпочли бы осуществить сухопутную операцию против любой страны, которая лишь косо посмотрит в нашу сторону!» В то же время звучит и такое: «Хотите поддерживать взаимодействие с Ираном? Наверное, вы также считаете, что и Адольфа Гитлера просто неправильно поняли».

Почему такие рассуждения столь распространенны? Ведь даже малейшее умственное усилие с нашей стороны позволит осознать их ошибочность. Почему вообще у кого бы то ни было может хотя бы на мгновение возникнуть мысль, что все линии прямые, когда совершенно очевидно обратное?

Одна из причин заключается в следующем: в каком-то смысле они действительно прямые. История эта начинается с Архимеда.

Метод исчерпывания

Чему равна площадь данного круга?

В современном мире это настолько стандартная задача, что ее можно включать в SAT⁵⁴. Площадь круга равна πr², а в нашем случае радиус равен 1, значит, площадь этого круга равна π. Однако две тысячи лет назад вопрос был открытым и настолько важным, что привлек внимание Архимеда.

Почему вопрос площади окружности оказался настолько сложным? Во-первых, на самом деле древние греки не считали π числом, как считаем мы. В их понимании все числа были целыми, то есть такими, с помощью которых можно что-то подсчитать: 1, 2, 3, 4… Однако теорема Пифагора⁵⁵ – первый большой прорыв в древнегреческой геометрии – превратила всю их систему счисления в руины.

Перейдем к следующему рисунку.

Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы (сторона прямоугольного треугольника, которая нарисована здесь по диагонали и не проходит через прямой угол) равен сумме квадратов двух других сторон, или катетов. В данном примере квадрат гипотенузы равен 1² + 1² = 1 + 1 = 2. Это означает, что гипотенуза длиннее 1, но короче 2. Проверяется без всяких теорем – просто на глаз. Сам факт, что длина гипотенузы не представляет собой целое число, не был проблемой для древних греков. Может быть, мы просто измеряли все не в тех единицах. Если мы выберем такую единицу длины, чтобы длина катетов была равна 5 единицам, тогда вы с помощью линейки легко проверите, что в таком случае длина гипотенузы составит почти 7 единиц. Почти – но все-таки немного больше, поскольку квадрат гипотенузы равен:

5² + 5² = 25 + 25 = 50,

но если длина гипотенузы составляла бы 7 единиц, квадрат гипотенузы был бы равен 49.

А если мы взяли бы катеты длиной 12 единиц, длина гипотенузы была бы равна почти 17 единиц, но все же немного короче, поскольку 12² плюс 12² равно 288, что незначительно меньше чем 17², равное 289.

Примерно в V столетии до нашей эры один из представителей пифагорейской школы сделал потрясающее открытие: не существует способа измерить равнобедренный прямоугольный треугольник таким образом, чтобы длина каждой его стороны представляла собой целое число. Современный человек сказал бы, что «квадратный корень из 2 – это иррациональное число», то есть число, которое нельзя представить в виде соотношения двух целых чисел. Но пифагорейцы так не говорили. Разве могли они сказать нечто подобное? В основе их представлений о количестве лежала идея о соотношении целых чисел. Следовательно, в их понимании длина гипотенузы, как оказалось, вообще не есть число.

Это повлекло за собой неразбериху. Вы наверняка помните, что пифагорейцы были крайне своеобразными людьми. Их философия представляла собой рагу из суждений, часть которых мы назвали бы математикой, часть – религией и оставшуюся часть – психическим расстройством. Пифагорейцы были убеждены, что нечетные числа символизируют добро, тогда как четные – зло, что по ту сторону Солнца находится планета Антихтон (Антиземля, Противоземля), а также что нельзя есть бобы, как писали некоторые, потому, что в них находятся души умерших. Ходили слухи, будто Пифагор разговаривал с домашним скотом (он велел животным не есть бобы), а также что он был одним из немногих древних греков, носивших штаны⁵⁶⁵⁷.

Математика пифагорейцев была неразрывно связана с их идеологией. Легенда (которая, возможно, не совсем соответствует действительности, но дает правильное представление о пифагорейском стиле) гласит, что первым пифагорейцем, открывшим иррациональность квадратного корня из 2, был человек по имени Гиппас; в награду за доказательство этой отвратительной теоремы соратники бросили его в море, где он и утонул.

Но теорему не утопишь. Преемники пифагорейцев, такие как Евклид и Архимед, понимали, что нужно просто закатать рукава и начать все измерять, даже если придется ради этого выйти за пределы высокой стены, окружавшей цветущий сад целых чисел, столь милый их сердцу. Никто не знал, можно ли выразить площадь круга с помощью одних только целых чисел⁵⁸. Однако колеса необходимо строить, а силосные башни заполнять⁵⁹, а значит, такие измерения должны быть выполнены.

Первоначальную идею предложил Евдокс Книдский, а Евклид включил ее в 12-ю книгу «Начал». Однако именно Архимед довел их дело до конца. В наши дни мы называем этот подход методом исчерпывания. А начинается он вот с чего.

Изображенный на этом рисунке квадрат называется «вписанный квадрат»: каждый его угол только касается окружности, но не выходит за ее границы. Зачем это делать? Потому что круг – нечто загадочное и пугающее, тогда как с квадратом все просто и ясно. Если у вас есть квадрат, длина стороны которого равна Х, его площадь равна Х умножить на Х – именно поэтому мы и называем умножение числа на самого себя возведением в квадрат! Основное правило математической жизни гласит: если мироздание ставит перед вами сложную задачу, попытайтесь решить вместо нее более простую – с расчетом на то, что упрощенный вариант окажется настолько близким к первоначальной версии, что мироздание не станет возражать против такого решения.

Вписанный квадрат можно разбить на четыре треугольника, каждый из которых представляет собой не что иное, как равнобедренный прямоугольный треугольник, который мы только что нарисовали⁶⁰. Следовательно, площадь такого квадрата в четыре раза больше площади треугольника. Треугольник в свою очередь – это то, что получится, если взять квадрат 1 × 1 и разрезать его пополам, как бутерброд с тунцом.

Площадь такого бутерброда равна 1 × 1 = 1, значит, площадь каждого треугольника равна 1/2, а площадь вписанного квадрата составляет четыре раза по 1/2, то есть 2.

Кстати, предположим вы не знакомы с теоремой Пифагора. Так вот, на всякий случай сообщаю: вы ее все-таки знаете! Или как минимум знаете, что она должна гласить применительно к данному прямоугольному треугольнику. Ведь прямоугольный треугольник, представляющий собой нижнюю часть нашего бутерброда, точно такой же, как и верхний левый фрагмент вписанного квадрата. А его гипотенуза – сторона вписанного квадрата. Следовательно, если вы возведете длину гипотенузы в квадрат, то получите площадь вписанного квадрата, которая равна 2. Другими словами, длина гипотенузы есть число, квадрат которого равен 2, или, если использовать привычную и более лаконичную формулировку, квадратный корень из 2.

Вписанный квадрат полностью находится в пределах окружности. Если его площадь равна 2, площадь круга должна составлять минимум 2 единицы.

Теперь давайте нарисуем другой квадрат.

Этот квадрат, который обозначается термином «описанный квадрат», также касается окружности всего в четырех точках, но теперь окружность находится внутри него. Длина сторон такого квадрата равна 2 единицам, значит, его площадь составляет 4 единицы. Следовательно, теперь мы знаем, что площадь круга равна максимум 4 единицам.

Возможно, иллюстрация того, что число π должно находиться в пределах от 2 до 4, производит не такое уж большое впечатление. Но Архимед только начинает. Возьмите четыре вершины вписанного квадрата и обозначьте на окружности новые точки, равноудаленные от каждой пары смежных вершин. Теперь у вас на окружности восемь точек, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Соединив их, вы получите вписанный восьмиугольник, или, если говорить на техническом языке, «стоп-сигнал».

Вычислить площадь вписанного восьмиугольника немного труднее, но я не собираюсь утруждать вас тригонометрией. Важно, что мы по-прежнему имеем дело с прямыми и вершинами, а не с кривыми, поэтому данную задачу можно было решить с помощью методов, которые были в распоряжении Архимеда. Так вот, площадь восьмиугольника в два раза больше квадратного корня из 2, то есть примерно 2,83.

Вы можете сыграть в ту же игру с описанным восьмиугольником, площадь которого равна 8(√2–1), немногим более 3,31.

Таким образом, площадь круга находится в пределах от 2,83 до 3,31.

Но зачем останавливаться на этом? Вы можете обозначить на окружности точки, равноудаленные от вершин восьмиугольника (вписанного или описанного), – и получите шестнадцатиугольник; дополнительные тригонометрические расчеты покажут, что площадь круга находится в пределах от 3,06 до 3,18. Проведите процедуру еще раз, чтобы получить 32-угольник, а затем повторите снова и снова – и вскоре получите нечто похожее на такую фигуру.

Но разве это не окружность? Разумеется, нет! Это правильный многоугольник с 65 536 сторонами! Неужели вы не видите?

Великое озарение Евдокса и Архимеда состоит в том, что на самом деле не имеет значения, что это за фигура – окружность или многоугольник с очень большим количеством очень коротких сторон. Площади этих двух фигур достаточно близки для любых возможных целей. Площадь небольшой области между окружностью и многоугольником была «исчерпана» в процессе нашего неутомимого последовательного приближения. Да, окружность – это кривая, это действительно так. Но каждый крохотный фрагмент этой кривой можно приблизить к идеально прямой линии, подобно тому как крохотный кусочек поверхности Земли, на котором мы стоим, приближен к идеально ровной плоскости⁶¹.

Следует запомнить девиз: локально прямая, глобально кривая.

Или лучше представьте: вы мчитесь по направлению к окружности с большой высоты; сначала вы видите всю окружность;

затем только один сегмент дуги окружности;

а затем еще более мелкий сегмент.

Продолжайте это до тех пор, пока, приближаясь все больше и больше, вы не увидите нечто напоминающее прямую линию. Ползущему по кругу муравью, видящему лишь пространство, непосредственно его окружающее, представляется, будто он ползет по прямой. Точно так же человеку, стоящему на поверхности Земли, кажется, что он стоит на плоскости (если только он не окажется настолько проницательным, что обратит внимание, как на горизонте поднимаются приближающиеся издалека объекты).

Суть математического анализа, изложенного на одной странице

Теперь я хочу объяснить вам суть математического анализа. Готовы? Вот идея, за которую мы должны благодарить Исаака Ньютона: в идеальном круге нет ничего особенного. Каждая гладкая кривая при достаточном увеличении масштаба напоминает прямую линию⁶². Не имеет значения, насколько изогнута или закручена эта кривая, – главное, что у нее нет острых углов.

Когда вы запускаете ракету, траектория ее перемещения выглядит так.

Ракета сначала движется вверх, а затем вниз, образуя параболическую дугу. Сила тяжести изгибает любую траекторию движения по направлению к поверхности Земли; это один из самых фундаментальных законов нашей физической жизни. Но, если мы увеличим масштаб и рассмотрим очень короткий отрезок этой кривой, она будет выглядеть так.

Затем так.

Как и в случае окружности, траектория движения ракеты кажется прямой линией, направленной вверх под определенным углом. Безусловно, эта линия отклоняется под действием силы тяжести, но подобное отклонение слишком незначительно, чтобы увидеть его невооруженным глазом. Приближение к еще более мелкому участку кривой делает линию еще больше похожей на прямую. Чем больше приближение, тем ровнее участок кривой.

А теперь сделаем концептуальный скачок. Ньютон сказал: послушайте, давайте пойдем до конца. Уменьшайте поле зрения до тех пор, пока оно не станет бесконечно малой величиной – настолько малой, что она будет меньше любого размера, который вы можете назвать, но все же не равной нулю. Вы изучаете траекторию движения ракеты не на протяжении очень короткого периода, а в один момент времени. В таком случае то, что было почти прямой линией, становится в точности прямой. Наклон этой кривой Ньютон называл флюксией, а мы называем производной.

Именно этот скачок не был готов совершить Архимед. Он понимал, что многоугольники с более короткими сторонами все более и более приближаются к окружности, но он никогда не говорил о том, что в действительности окружность представляет собой многоугольник с бесконечно большим количеством бесконечно малых сторон.

Некоторые современники Ньютона также не разделяли его точку зрения. Наиболее активно возражал Ньютону Джордж Беркли, который критиковал концепцию бесконечно малых величин Ньютона в крайне издевательском тоне⁶³, как, к сожалению, сейчас уже не пишут в математической литературе:

А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками (ghosts) исчезнувших величин?⁶⁴

Тем не менее исчисление бесконечно малых все-таки работает. Если вы раскрутите привязанный к веревке камень над головой, а затем резко отпустите его, он улетит по прямолинейной траектории с постоянной скоростью⁶⁵ в направлении, в котором, согласно расчетам, он движется в тот момент, когда вы его отпускаете. Это еще одна идея Ньютона: движущиеся объекты склонны перемещаться по прямолинейной траектории, если какая-то другая сила не заставляет объект отклоняться в ту или иную сторону. Это и есть одна из причин, почему линейное мышление настолько естественно для нас: интуитивное восприятие времени и движения формируется у нас под воздействием явлений, которые мы наблюдаем в окружающем мире. Еще до того, как Ньютон сформулировал свои законы, мы, люди, в глубине души знали, что все вокруг нас стремится двигаться по прямой, если только нет причин двигаться иначе.

Бесконечно малые приращения и ненужные затруднения

Критики Ньютона в чем-то были правы: его толкование производной далеко от того, что в наши дни принято называть строгой математикой. Проблема заключается в концепции бесконечно малой величины, которая на протяжении тысяч лет была для математиков камнем преткновения. Трудности начались с древнегреческого философа V столетия до нашей эры Зенона, представителя Элейской школы, который часто задавал по поводу физического мира на первый взгляд невинные вопросы, неизменно перераставшие в серьезные философские дискуссии.

Представляю вам самый знаменитый парадокс Зенона в вольном переложении. Я решаю сходить в магазин за мороженым. Конечно, я не смогу преодолеть весь путь до магазина, пока не пройду половину этого пути. А как только я пройду половину пути, я все равно не смогу добраться до магазина, пока не преодолею половину оставшегося пути. Когда я сделаю это, мне все равно предстоит преодолеть половину оставшегося расстояния – и так далее. Я могу подходить к магазину все ближе и ближе, но, сколько бы этапов этого процесса я ни прошел, на самом деле мне так и не удастся добраться до магазина. У меня всегда будет оставаться пусть крохотное, но все же ненулевое расстояние до моих двух шариков мороженого. Эта аргументация применима к любому другому пункту назначения: в равной мере невозможно перейти улицу, или сделать один-единственный шаг, или взмахнуть рукой. Любое движение исключено.

Говорят, что киник Диоген опроверг доводы Зенона довольно простым методом: он встал и прошел из одного конца комнаты в другой. Это весьма хороший довод в пользу того, что движение все же возможно, а значит, что-то не так с доводами Зенона⁶⁶. Но где же была ошибка?

Разбейте путь в магазин на фрагменты, представленные в числовой форме. Сначала вы проходите половину пути. Затем преодолеваете половину оставшегося пути, то есть 1/4 общего расстояния, и у вас остается еще 1/4 пути. Далее половина оставшегося расстояния составляет 1/8, затем 1/16, затем 1/32. Таким образом, ваше перемещение к магазину можно представить в следующем виде:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …

Сложив десять первых членов этой последовательности, вы получите 0,999. Сумма первых двадцати членов последовательности составит 0,999999. Другими словами, вы действительно приближаетесь – очень-очень приближаетесь – к магазину. Тем не менее, сколько бы членов этой последовательности вы ни сложили, вы никогда не получите 1.

Парадокс Зенона во многом напоминает другую головоломку: равна ли периодическая десятичная дробь 0,99999… единице?

Я видел, как люди едва не вступали в драку из-за этого вопроса⁶⁷. По этому поводу ведутся жаркие споры на самых разных веб-сайтах, от страниц фанатов игры World of Warcraft («Вселенная Варкрафта») до форумов, посвященных творчеству Айн Рэнд. Наша естественная реакция на аргументы Зенона такова: «В конечном счете вы непременно получите свое мороженое». Но в данном случае интуиция подсказывает совсем иной ответ. Большинство людей⁶⁸ (если потребовать от них однозначного ответа) скажут, что 0,9999… не равно 1. Это число даже не похоже на единицу, это уж точно. Оно меньше единицы. Однако ненамного меньше! Подобно любителю мороженого в парадоксе Зенона, оно все ближе и ближе подходит к своей цели, но похоже на то, что так и не доберется до нее.

И все-таки преподаватели математики, в том числе и я сам, скажут им: «Нет, это число равно 1».

Как мне привлечь хоть кого-нибудь на свою сторону? Один хороший способ – привести следующие доводы. Все знают, что:

0,33333… = 1/3.

Умножьте обе стороны на 3 – и получите такой результат:

0,99999… = 3/3 = 1.

Если это вас не убедило, попытайтесь умножить 0,99999… на 10, для чего нужно просто перенести десятичную запятую на одну позицию вправо.

10 × (0,99999…) = 9,99999…

Теперь надо вычесть раздражающее десятичное число из обеих сторон равенства:

10 × (0,99999…) − 1 × (0,99999…) = 9,99999… − 0,99999…

Левая сторона равенства представляет собой просто 9 × (0,99999…), поскольку 10 умножить на что-то минус что-то равно 9 умножить на вышеупомянутую величину. А в правой части равенства нам удалось удалить ужасное бесконечное десятичное число, после чего у нас осталось просто 9. В итоге мы получим:

9 × (0,99999…) = 9.

Если 9 умножить на что бы то ни было равно 9, тогда это что-то должно быть равно 1, не так ли?

Как правило, чтобы убедить людей, подобных доводов вполне довольно. Но будем честны: в этой аргументации кое-чего не хватает. В действительности приведенные выше доводы не устраняют тревожную неопределенность, вызванную заявлением, что 0,99999… = 1; напротив, они представляют собой своего рода алгебраическое устрашение: «Вы верите в то, что 1/3 равно 0,3 в периоде, не так ли? Ведь вы действительно верите в это?»

Или еще хуже: скорее всего, вас убедили мои доводы, в основе которых лежало умножение на 10. Но как насчет следующего довода? Чему равно:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …?

Здесь многоточие означает, что мы продолжаем вычислять сумму бесконечно, каждый раз прибавляя величину, которая в два раза больше предыдущей. Очевидно, что эта сумма должна быть бесконечной! Однако довод, во многом напоминающий на первый взгляд корректный аргумент в отношении 0,99999…, как будто говорит об обратном. Умножьте представленную выше сумму на 2 – и получите:

2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = 2 + 4 + 8 + 16 + …

Этот результат очень похож на исходную сумму; на самом деле это и есть исходная сумма (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …), но без 1 в начале, а это значит, что 2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) меньше (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …). Другими словами:

2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) – 1 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = −1.

Однако, выполнив упрощающие преобразования, левую сторону этого равенства можно привести к той самой сумме, с которой мы начали, получив при этом такой результат:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = −1.

Именно в это вы готовы поверить?⁶⁹ В то, что прибавление все больших и больших чисел до бесконечности приведет вас в область отрицательных чисел?

А вот еще более бредовая идея. Чему равно значение бесконечной суммы:

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …?

Кто-то может сразу же сделать вывод, что эта сумма составляет:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + …,

и заявит при этом, что сумма множества нолей, пусть и бесконечно большого, должна быть равной 0. С другой стороны, 1 − 1 + 1 – это то же самое, что 1 − (1 − 1), поскольку отрицательное значение отрицательного числа – число положительное. Многократное применение этой операции позволяет нам переписать нашу сумму в таком виде:

1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) − … = 1 − 0 − 0 − 0 − …

Данный результат точно так же требует вывода, что данная сумма равна 1!

Так чему же равна эта сумма, 0 или 1? Или она в половине случаев равна 0 и еще в половине случаев – 1? Создается впечатление, что это зависит от того, где вы остановитесь, но ведь бесконечные суммы никогда не останавливаются!

Не делайте пока никаких выводов, потому что на самом деле все еще сложнее. Предположим, наша загадочная сумма имеет значение T:

T = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

Умножение на −1 обеих сторон этого уравнения дает следующий результат:

−T = −1 + 1 − 1 + 1 − …

Однако сумма с правой стороны уравнения – это именно то, что вы получите, если возьмете исходную сумму, равную Т, и удалите из нее первую 1, то есть вычтете 1 из этой суммы. Другими словами:

−T = −1 + 1 − 1 + 1 − … = T − 1.

Таким образом, −T = T – 1 – уравнение с участием Т, которое выполняется только в случае, если Т равно 1/2. Может ли сумма бесконечно большого количества целых чисел каким-то волшебным образом превратиться в дробное число? Тот, кто говорит «нет» в ответ на этот вопрос, действительно имеет право как минимум с некоторым недоверием относиться к сомнительным аргументам подобного рода. Но обратите внимание на то, что некоторые люди дают утвердительный ответ на этот вопрос, в том числе итальянский математик и священник Гвидо Гранди, именем которого обычно называют ряд 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …. В работе, опубликованной в 1703 году, Гранди привел доводы в пользу того, что сумма данного ряда равна 1/2, а также заявил, что этот удивительный вывод символизирует сотворение Вселенной из ничего. (Не беспокойтесь, я тоже не понимаю последний пункт.) Другие выдающиеся математики того времени, такие как Лейбниц и Эйлер, были согласны со странными расчетами Гранди и даже с его интерпретацией⁷⁰.

Но на самом деле решение загадки с числом 0,999… (а также парадокса Зенона и ряда Гранди) кроется несколько глубже. Вы совсем не должны поддаваться давлению моих алгебраических доводов. Например, вы можете настаивать на том, что 0,999… равно не 1, а скорее 1 минус некое крохотное бесконечно малое число. Если уж на то пошло, вы можете настаивать и на том, что число 0,333… не равно в точности 1/3, а также отличается от этого числа на некую бесконечно малую величину. Для того чтобы довести данную мысль до конца, потребуется определенное упорство, но это можно сделать. Когда-то у меня был студент по имени Брайан, который изучал математический анализ. Не удовлетворившись теми определениями, которые давались на занятиях, Брайан сам разработал довольно большой фрагмент этой теории, назвав бесконечно малые величины числами Брайана.

На самом деле Брайан не был первым, кто решил заняться этим. Существует целая область математики под названием «нестандартный анализ», которая специализируется на изучении чисел такого рода. Теория, сформулированная Абрахамом Робинсоном в середине ХХ столетия, наконец позволила понять смысл «бесконечно малых приращений», которые Беркли считал такими нелепыми. Цена, которую придется за это заплатить (или, если посмотреть на это с другой стороны, награда, которую вы за это получите), – обилие новых типов чисел, причем не только бесконечно малых, но и бесконечно больших – огромное множество чисел всех форм и размеров⁷¹.

Так случилось, что Брайану повезло – у меня в Принстонском университете был коллега Эдвард Нельсон, крупный специалист в области нестандартного анализа. Я устроил им встречу, с тем чтобы Брайан мог больше узнать об этой области. Впоследствии Эд рассказывал мне, что та встреча прошла не очень хорошо. Как только Эд дал понять, что на самом деле бесконечно малые величины никто не будет называть числами Брайана, Брайан полностью потерял интерес к этой области математики.

(Мораль: люди, начинающие заниматься математикой ради славы и признания, задерживаются в науке ненадолго.)

Но мы так и не приблизились к разрешению нашего спора. Что представляет собой число 0,999… на самом деле? Это 1? Или это некое число, на бесконечно малую величину меньшее 1, – число, принадлежащее к совершенно необычному классу чисел, который даже не был открыт сотню лет назад?

Правильный ответ состоит в том, чтобы вообще не задавать такого вопроса. Что представляет собой число 0,999… на самом деле? По всей вероятности, некую сумму такого рода:

0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + …

Но что она значит? Настоящая проблема заключается в злополучном многоточии. Не может быть никаких споров по поводу того, что значит сумма двух, трех или сотни чисел. Перед нами всего лишь математическое обозначение физического процесса, который мы прекрасно понимаем: возьмите сотню куч чего угодно, смешайте их вместе и определите, сколько и чего у вас получилось. Но бесконечно большое количество? – это совсем другая история. В реальном мире вы не можете получить бесконечно большое количество множеств. Чему равно числовое значение бесконечной суммы? Его не существует – пока мы не зададим это значение. В чем и состояла новаторская идея Огюстена Луи Коши, который в 1820-х годах ввел в математический анализ понятие предела⁷².

Лучше всего это объясняет Годфри Гарольд Харди в книге Divergent Series («Расходящиеся ряды»), опубликованной в 1949 году:

Это замечание сейчас тривиально: современному математику и не придет в голову, что какое-либо соединение математических символов может иметь «смысл» до того, как ему придан смысл с помощью определения. Но это не было тривиальностью даже для наиболее выдающихся математиков восемнадцатого века. Определения не были в их обычае; для них не было естественно говорить: «под X мы понимаем Y». С некоторыми оговорками… верно будет сказать, что математики до Коши спрашивали не «как определить 1 − 1 + 1 − 1 + …?», а «что есть 1 − 1 + 1 − 1 + …?»; и этот склад мышления приводил их к ненужным затруднениям и спорам, зачастую носившим, по существу, чисто словесный характер⁷³.

И это не просто непринужденный математический релятивизм. Тот факт, что мы можем придать какой угодно смысл той или иной последовательности математических символов, совсем не означает, что нам следует это делать. В математике, как и в жизни, есть как хороший, так и плохой выбор. В математическом контексте правильным считается выбор, позволяющий устранить ненужные затруднения, не создавая новых.

Чем больше членов ряда вы суммируете, тем ближе сумма 0,9 + 0,09 + 0,009 + … приближается к 1. И эта сумма никогда не превысит данное значение. Какое бы плотное оцепление мы ни устроили вокруг числа 1, в конце концов эта сумма после определенного конечного количества шагов пройдет сквозь него, но так и не выйдет наружу с другой стороны. По утверждению Коши, при таких обстоятельствах нам следует просто установить значение бесконечной суммы равным 1. Затем он приложил немало усилий, чтобы доказать, что установление такого значения не приводит к появлению глубоких противоречий где бы то ни было. К моменту окончания своей работы Коши создал понятийный аппарат, сделавшим исчисление Ньютона абсолютно строгим. Когда мы говорим, что в локальном масштабе под определенным углом кривая напоминает прямую линию, то под этим подразумевается примерно следующее: по мере увеличения масштаба эта кривая все больше напоминает прямую линию. В формулировке Коши нет необходимости ссылаться на бесконечно малые числа или любое другое понятие, которое заставило бы скептика побледнеть.

Разумеется, этому есть своя цена. Трудность задачи с числом 0,999… объясняется тем, что она вступает в конфликт с нашим внутренним чутьем. С одной стороны, нам хотелось бы, чтобы сумму бесконечного ряда можно было получить посредством арифметических манипуляций, подобных тем, которые представлены на предыдущих страницах, а в этом случае такая сумма должна быть равной 1. С другой стороны, мы желали бы, чтобы каждое число было представлено в виде уникальной цепочки десятичных цифр, что противоречит утверждению: одно и то же число можно назвать либо 1, либо 0,999… – как нам больше нравится. Мы не можем удовлетворить оба этих желания одновременно – от какого-то из двух придется отказаться. Согласно подходу Коши, который в полной мере доказал свою состоятельность за два столетия, прошедшие с тех пор, как он сформулировал этот подход, отбросить следует именно уникальность разложения на десятичные дроби. Нас не смущает тот факт, что в английском языке две разные цепочки букв (то есть два слова) порой используются для синонимичного обозначения одной и той же вещи; точно так же нет ничего плохого и в том, что разные последовательности цифр могут обозначать одно и то же число.

Что касается ряда Гранди 1 − 1 + 1 − 1 + …, он принадлежит к числу рядов, находящихся за пределами теории Коши; другими словами, это один из расходящихся рядов, о которых идет речь в книге Харди. Норвежский математик Нильс Хенрик Абель, один из первых сторонников подхода Коши, написал в 1828 году следующее: «Расходящиеся ряды – это изобретение дьявола, и постыдно основывать на них какое бы то ни было доказательство»⁷⁴. В наше время мы придерживаемся именно точки зрения Харди. Она более терпима: существуют расходящиеся ряды, которым мы должны приписать какое-то значение, а также ряды, в случае которых нам не следует этого делать, – все зависит от контекста, в котором возникает тот или иной ряд. Современные математики сказали бы, что если нам необходимо присвоить какое-то значение ряду Гранди, то это должно быть 1/2, поскольку, как оказалось, все интересные теории, описывающие бесконечные суммы, либо присваивают этому ряду значение 1/2, либо (подобно теории Коши) вообще отказываются приписывать какое бы то ни было значение сумме этого ряда⁷⁵.

Чтобы записать точные определения Коши, потребуется приложить немного больше усилий. В частности, это касалось и самого Коши, который не составил достаточно четкого описания своих идей в том виде, в котором они известны в настоящее время⁷⁶. (В математике редко бывает так, что автор идеи дает самое четкое ее описание.)⁷⁷ Коши был убежденным консерватором и монархистом, но в области математики он оказался знающим себе цену мятежником и настоящим бедствием для академических властей. Как только Коши понял, как можно обойтись без опасных бесконечно малых величин, он по собственной инициативе переписал свой учебный план в Политехнической школе (École Polytechnique) таким образом, чтобы тот отображал его новые идеи. Все окружение Коши пришло от этого в ярость: обманутые студенты, записавшиеся на курс изучения основ математического анализа, а не на семинар по новейшим достижениям в области чистой математики; коллеги, считавшие, что студентам, изучающим в Политехнической школе инженерное дело, не нужен предложенный Коши уровень математической строгости; администраторы, распоряжения которых по поводу необходимости придерживаться официальной программы курса обучения Коши полностью игнорировал. Администрация Политехнической школы ввела новый учебный план по математическому анализу и посадила на занятиях Коши стенографистов, чтобы удостовериться, что он будет придерживаться этого плана. Но Коши не стал этого делать. Его мало волновали потребности инженеров. Его интересовала истина⁷⁸.

С педагогической точки зрения, трудно защищать поведение Коши. Тем не менее я с пониманием отношусь к его позиции. Одна из величайших радостей математики – неоспоримое ощущение, что ты поймал правильную мысль и докопался до самого ее основания. Такого чувства я не испытывал ни на одном другом уровне своей психической деятельности. А когда вы знаете, как делать что-то правильно, трудно (а для некоторых упрямцев просто невозможно) заставить себя объяснить это неверным способом.

Глава третья. Поголовное ожирение

Комический актер Евгений Мирман часто рассказывает историю, имеющую прямое отношение к статистике. По его словам, он любит повторять на своих выступлениях одну фразу: «Я читал, что сто процентов американцев – азиаты». Какой-нибудь озадаченный зритель обязательно возразит: «Но Юджин, вы же не азиат». В ответе артиста и содержится вся соль шутки: «Но я читал, что я азиат!»

Я вспомнил эту реплику Мирмана, когда натолкнулся в журнале Obesity на статью, в заголовке которой был поставлен весьма неприятный вопрос: «Будут ли все американцы страдать избыточным весом и ожирением?»⁷⁹ Как будто одной постановки вопроса было недостаточно, в статье дается ответ: «Да – к 2048 году».

Ровно в 2048 году мне стукнет семьдесят семь, и хотелось бы верить, что в столь почтенном возрасте я все-таки останусь при своем весе и не буду страдать ожирением. Но я читал, что буду!

Статья в журнале Obesity вызвала широкие дискуссии в прессе. В новостях предупреждали о наступлении «ожирения как катастрофы современности»⁸⁰. В Long Beach Press-Telegram была опубликована статья с простым заголовком: We’re Getting Fatter («Мы становимся все более толстыми»)⁸¹. Результаты исследования, проведенного автором этой статьи, перекликались с последним проявлением лихорадочной, постоянно меняющейся озабоченности американцев по поводу морального статуса нашей страны. Еще до моего рождения парни отращивали длинные волосы, а значит, мы были обречены на то, что коммунисты одержат над нами верх. Когда я был ребенком, мы слишком много играли в аркадные игры⁸², что обрекало нас на проигрыш в конкурентной борьбе с трудолюбивыми японцами. Сейчас мы едим слишком много фастфуда, поэтому умрем слабыми и неспособными к самостоятельному передвижению, в окружении пустых пакетов от курятины, запихнутых под диваны, с которых мы уже давно не в состоянии подняться. В статье эта озабоченность была представлена в качестве научно доказанного факта.

Спешу вас обрадовать. Не все из нас в 2048 году будут страдать ожирением⁸³. Почему? Потому что не все линии прямые.

Тем не менее, как мы узнали от Ньютона, каждая линия достаточно близка к прямой. Эта идея лежит в основе линейной регрессии – статистического метода, имеющего для социологии то же значение, что и отвертка при ремонте дома. Это инструмент, которым вы почти наверняка воспользуетесь, какая бы задача перед вами ни стояла. Каждый раз, когда вы читаете в газете, что: люди, у которых много двоюродных братьев и сестер, чувствуют себя более счастливыми; граждане стран, где шире представлена сеть экспресс-кафе «Бургер Кинг», больше придерживаются свободной морали; сокращение приема ниацина повышает риск дерматофитоза в два раза; каждые 10 тысяч долларов дохода на 3 % повышают вероятность, что вы проголосуете за республиканцев, – во всех этих случаях вы имеете дело с результатом, полученным методом линейной регрессии⁸⁴.

Вот как это работает. Вы хотите установить взаимозависимость между двумя параметрами, скажем между стоимостью обучения в университете и средним баллом по отборочному тесту SAT принятых на учебу студентов. Возможно, вы считаете: чем выше средний балл SAT, тем дороже учебное заведение, – но посмотрите на данные, которые говорят, что это далеко не универсальный закон. В Университете Элона, расположенном на окраинах Берлингтона (штат Северная Каролина), средний совокупный результат по математике и английскому языку составляет 1217 баллов; при этом университет взимает плату за обучение в размере 20 441 доллара в год. Обучение в Колледже Гилфорда, расположенном рядом, в городе Гринсборо, обходится немного дороже – 23 420 долларов, но средний результат первокурсников по SAT составляет там всего 1131 балл.

Вместе с тем, если вы посмотрите на весь список учебных заведений Северной Каролины – тридцать один частный университет, данные об оплате за обучение и о среднем балле которых были представлены в 2007 году в «Сети ресурсов для построения карьеры штата Северная Каролина», – вы увидите четкую тенденцию⁸⁵.

На представленном ниже рисунке каждая точка графика соответствует одному из колледжей. Вы видите те две точки, которые находятся в правом верхнем углу, с высоким средним баллом SAT и столь же высокой платой за обучение? Это Университет Уэйк Форест и Университет Дэвидсона. Одинокая точка в нижней части рисунка соответствует единственному частному учебному заведению в этом списке, плата за обучение в котором меньше 10 тысяч долларов, – Колледжу медицинских наук Кабаррус.

Данный рисунок четко показывает, что в учебных заведениях с более высоким средним баллом SAT цена за обучение, как правило, выше. Но насколько выше? Именно здесь на сцену выходит линейная регрессия. Очевидно, что точки на рисунке не образуют прямую линию, но видно, что они находятся не так уж далеко от прямой. Пожалуй, можно было бы вручную нарисовать прямую линию, проходящую посередине этого облака точек. Линейная регрессия исключает угадывание и позволяет найти прямую линию, максимально приближенную ко всем точкам⁸⁶. В случае университетов штата Северная Каролина эта прямая выглядит так, как на следующем рисунке.

Коэффициент наклона изображенной на рисунке прямой равен 28. Это означает следующее: если плата за обучение зависела бы только от баллов SAT, которые задает прямая на графике, тогда на каждый балл SAT приходилось бы дополнительных 28 долларов платы за обучение. Если вам удалось бы поднять средний балл первокурсников на 50 пунктов, тогда вы могли бы назначить более высокую плату за обучение – на 1400 долларов. (Или, с точки зрения родителей, если ваш ребенок на 100 баллов улучшит свой результат отборочного теста, это обойдется вам в дополнительных 2800 долларов в год. Курс по подготовке к тесту оказался более дорогим, чем вы думали!)

Линейная регрессия представляет собой замечательный инструмент: гибкий, масштабируемый и легкий в применении (вы просто нажимаете соответствующую кнопку электронной таблицы). Этот инструмент можно применять к двум наборам данных с участием двух переменных, как в приведенном выше примере, но он работает не менее эффективно и в случае трех или даже тысячи переменных. Каждый раз, когда вам нужно понять, как одни переменные меняют другие переменные и в каком направлении, линейная регрессия – это первое, что следует использовать. Этот инструмент применим буквально к любому набору данных.

Однако в этом заключается не только сильная, но и слабая сторона линейной регрессии. Вы можете применить этот метод, не задумываясь, действительно ли феномен, который вы пытаетесь моделировать, близок к линейному. Но вы не должны так делать. Я сказал, что линейная регрессия подобна отвертке – что действительно так; однако в другом смысле она скорее напоминает циркулярную пилу. Если вы примените этот инструмент без тщательного анализа того, что вы делаете, результаты могут оказаться плачевными.

Возьмем в качестве примера ракету, которую мы с вами запустили в предыдущей главе. Возможно, вы не имеете никакого отношения к ее запуску. А может быть, напротив, представляете собой ту цель, на которую эта ракета направлена. В последнем случае вы особенно заинтересованы в как можно более точном анализе траектории движения ракеты.

Вы могли бы нанести на график положение ракеты по вертикали в пяти точках по времени. Такой график выглядит следующим образом.

Теперь вы в состоянии быстро выполнить линейную регрессию, получив замечательный результат: линию, которая проходит почти через все точки на графике.

(В этот момент ваша рука начинает приближаться к острому полотнищу циркулярной пилы.)

Построенная вами линия представляет собой весьма точную модель движения ракеты: за каждую минуту ракета поднимается на определенное фиксированное расстояние, скажем на 400 метров. Через час ракета окажется в 24 километрах над поверхностью земли. Когда же она опустится на поверхность? Никогда! Направленная вверх наклонная прямая линия по-прежнему стремится вверх. Именно так ведут себя прямые.

(Кровь, травмы, вопли.)

Однако не каждая линия является прямой. А траектория полета ракеты несомненно представляет собой не прямую, а параболу. Подобно окружности Архимеда, вблизи она действительно похожа на прямую, поэтому линейная регрессия сослужит вам большую службу, позволив определить местоположение ракеты через пять секунд после запуска. Но через час? Даже не думайте об этом. Ваша модель говорит о том, что через час ракета находится в нижних слоях стратосферы, хотя на самом деле она, возможно, уже приближается к вашему дому.

Возможно, самое образное предостережение в отношении бездумной линейной экстраполяции сформулировал не статистик, а Марк Твен в романе Life on the Mississippi («Жизнь на Миссисипи»):

…Длина Миссисипи между Каиром и Новым Орлеаном сто семьдесят шесть лет тому назад была тысяча двести пятнадцать миль. После прорыва русла в 1722 году длина стала тысяча сто восемьдесят миль. Когда образовался рукав у Американской излучины, длина стала тысяча сорок миль. С тех пор этот участок реки укоротился еще на шестьдесят семь миль. Следовательно, сейчас ее длина между Каиром и Новым Орлеаном всего девятьсот семьдесят три мили.

…За сто семьдесят шесть лет Нижняя Миссисипи укоротилась на двести сорок две мили, то есть в среднем примерно на милю и одну треть в год. Отсюда всякий спокойно рассуждающий человек, если только он не слепой и не совсем идиот, сможет усмотреть, что в древнюю силурийскую эпоху, – а ей в ноябре будущего года минет ровно миллион лет – Нижняя Миссисипи имела свыше миллиона трехсот тысяч миль в длину и висела над Мексиканским заливом наподобие удочки. Исходя из тех же данных, каждый легко поймет, что через семьсот сорок два года Нижняя Миссисипи будет иметь только одну и три четверти мили в длину, а улицы Каира и Нового Орлеана сольются, и будут эти два города жить да поживать, управляемые одним мэром и выбирая общий городской совет. Все-таки в науке есть что-то захватывающее. Вложишь какое-то пустяковое количество фактов, а берешь колоссальный дивиденд в виде умозаключений. Да еще с процентами⁸⁷.

Ремарка в сторону: как получить зачетные баллы на моем экзамене по математическому анализу

Методы математического анализа во многом похожи на линейную регрессию: они носят сугубо механический характер, с ними вполне может справиться ваш калькулятор, а невнимательное применение этих методов сопряжено с большими опасностями. На экзамене по матану вам могут предложить рассчитать вес воды, оставшейся в кувшине после того, как вы проделаете в нем отверстие и позволите воде вытекать определенным потоком на протяжении определенного промежутка времени, и тому подобное. Решая задачу такого рода в условиях нехватки времени, вполне можно сделать арифметические ошибки. Порой это приводит к тому, что тот или иной студент получает нелепый результат, например что вес воды в кувшине составляет −4 грамма.

Если студент получает результат «−4 грамма» и в отчаянии торопливо пишет «Я где-то напортачил, но не могу найти ошибку», я даю такому студенту половину зачетных баллов за экзамен.

Если же студент просто пишет «−4 грамма» в конце страницы и обводит этот результат кружком, он получает ноль зачетных баллов – даже если вся процедура вывода этого результата была правильной, за исключением того, что где-то посередине страницы единственная цифра оказалась не на своем месте.

Вычисление интеграла или выполнение линейной регрессии – это задачи, которые достаточно эффективно может решать компьютер. Понимание того, имеет ли полученный результат смысл (или принятие решения, стоит ли вообще применять соответствующий метод в данном случае), требует направляющей человеческой руки. Когда мы преподаем математику, предполагается, что нужно объяснить учащимся, как стать таким проводником. Курс математики, который не делает этого, по существу учит студента выполнять функции дефектной версии Microsoft Excel.

Будем откровенны: именно это и происходит на большинстве наших математических курсов. Сокращенная история споров (сама представляющая собой предмет споров) состоит в том, что преподавание математики детям вот уже несколько десятилетий является ареной так называемых математических войн. По одну сторону этого противостояния находятся учителя, которые предпочитают делать акцент на запоминании, беглости, традиционных алгоритмах и точных ответах, а по другую сторону – учителя, считающие, что в основе преподавания математики должно лежать выяснение смысла, развитие способов мышления, обучение методом направляемых открытий и аппроксимация. Первый подход называют порой традиционным, а второй – реформистским, хотя предположительно нетрадиционный подход к обучению посредством открытий используется в той или иной форме вот уже десятки лет, а действительно ли так называемые реформы можно считать реформами – это и есть предмет споров. Споров весьма ожесточенных. Во время званого математического ужина вполне прилично обсуждать политические или религиозные вопросы, но начните спорить о математической педагогике – и это грозит закончиться тем, что кто-то из сторонников либо традиционного, либо реформистского подхода обидится и хлопнет дверью.

Я не причисляю себя ни к одному из этих лагерей. Мне не по пути с теми реформистами, которые хотят отказаться от заучивания таблицы умножения наизусть. В процессе серьезных математических размышлений вам неизбежно понадобится умножить 6 на 8, но, если каждый раз для этого доставать калькулятор, вам не удастся достичь того состояния интеллектуальной спонтанности, которая требуется для процесса размышлений. Нельзя написать сонет, выискивая в словаре значение каждого слова.

Некоторые сторонники реформистского подхода заявляют, что классические алгоритмы (например, «сложить два двузначных числа, расположив одно над другим столбиком и в случае необходимости выполнив перенос») следует исключить из учебного курса, чтобы они не мешали ученикам самостоятельно обнаруживать свойства математических объектов⁸⁸.

С одной стороны, я считаю эту мысль ужасной: такие алгоритмы представляют собой полезные инструменты, над разработкой которых кто-то упорно работал, и нет никаких оснований начинать все с нуля.

С другой стороны, мне кажется, что в современном мире вполне можно отказаться от некоторых алгоритмов. Например, нам нет необходимости учить студентов извлекать квадратные корни вручную или в уме (хотя второй из этих двух навыков, говорю вам по собственному опыту, можно использовать в качестве замечательного фокуса на вечеринке в кругу яйцеголовых). Калькулятор – не менее полезный инструмент, над созданием которого кто-то упорно трудился; мы также должны использовать этот инструмент, когда того требует ситуация! Меня даже не интересует, могут ли мои студенты разделить 430 на 12 посредством деления столбиком. Меня на самом деле волнует лишь одно: они должны мысленно определить, что ответ немногим больше 35 – тогда я буду спокоен, что у них прекрасно развиты арифметическое мышление и представление о числах.

Опасность чрезмерного акцента на алгоритмах и точных вычислениях состоит в том, что к ним слишком легко получить доступ. Если мы остановимся на видении математики как дисциплины, которая сводится к «получению правильного ответа» и не более того, мы начнем тестировать абитуриентов на наличие только этой способности и рискуем тем, что будем воспитывать студентов, которые получают по тестам отличные результаты, но совсем не знают математики. Может быть, это устраивает тех, кого интересуют одни лишь результаты тестов, но это не устраивает меня.

Безусловно, совсем не лучше – на самом деле даже гораздо хуже – создавать популяцию студентов, у которых сформировалось некое понимание математического смысла, но не умеющих быстро и правильно решать примеры. Преподаватели математики больше всего не любят слышать от студентов заявления такого рода: «Я понимаю концепцию, но не умею решать задачи». Возможно, такие студенты даже не догадываются, что их фраза подразумевает следующее: «Я не понимаю концепции». Математические идеи могут казаться абстрактными, но они имеют смысл только в контексте конкретных вычислений. Уильям Карлос Уильямс⁸⁹ сформулировал эту мысль так: «Нет идей вне вещей».

Эта борьба нигде не проявляется более отчетливо, чем в планиметрии⁹⁰. Здесь находится последний бастион обучения построению доказательств, которые лежат в основе преподавания математики. Многие профессиональные математики считают доказательство последним оплотом «истинной математики». Однако не совсем понятно, в какой степени мы на самом деле учим красоте, силе и неожиданности доказательства в процессе преподавания геометрии. Учебный курс легко может превратиться в рутинную отработку таких бесполезных и неинтересных задач, как вычисление тридцати определенных интегралов. Это настолько серьезная ситуация, что лауреат Филдсовской премии Дэвид Мамфорд предположил: мы можем полностью отказаться от планиметрии, заменив ее начальным курсом программирования. Компьютерная программа имеет много общего с геометрическим доказательством: и то и другое требует, чтобы студент собрал один за другим воедино ряд простых элементов, выбранных из небольшой совокупности вариантов, так, чтобы в целом сформированная последовательность выполняла ту или иную значимую задачу.

Я не настолько радикален. Я вообще не отношусь к числу радикалов. Хотя это и может вызвать недовольство сторонников обоих подходов, я считаю, что мы должны преподавать математику, в которой высоко ценятся как точные ответы, так и интеллектуальная аппроксимация; математику, требующую как способности свободно применять существующие алгоритмы, так и простого здравого смысла, помогающего находить спонтанные решения; математику, в которой научная строгость сочетается с ощущением игры. Откровенно говоря, если всего этого нет, мы вообще преподаем не математику.

Трудная задача, но именно этим занимаются лучшие преподаватели математики, пока наверху среди администраторов бушуют математические войны.

И снова об ожирении – этой катастрофе современности

Так сколько американцев будут страдать ожирением к 2048 году? Вы уже догадываетесь, как Юфа Ванг и другие авторы статьи, опубликованной в журнале Obesity, построили свою проекцию. Национальная программа проверки здоровья и питания населения (National Health and Nutrition Examination Study, далее везде – NHANES) отслеживает данные о состоянии здоровья большой репрезентативной выборки граждан, охватывающие самые разные аспекты: от потери слуха до передачи инфекций половым путем. В частности, NHANES предоставляет весьма достоверные данные о доле американцев, имеющих избыточный вес; его в данном случае можно определить как вес, при котором индекс массы тела (далее везде – ИМТ)⁹¹ равен 25 и более⁹². Нет никаких сомнений в том, что за последние десятилетия распространенность избыточного веса увеличилась. В начале 1970-х годов чуть менее половины американцев имели столь высокий ИМТ. В начале 1990-х этот показатель возрос до 60 %, а в 2008 году избыточный вес был почти у трех четвертей населения США.

Вы можете самостоятельно построить график роста распространенности ожирения во времени, как мы сделали это с вертикальным перемещением ракеты.

Далее вы можете сформировать линейную регрессию, которая будет выглядеть примерно так.

Прямая линия пересечет уровень 100 % в 2048 году. Именно поэтому Ванг пишет, что к 2048 году все американцы будут страдать избыточным весом, если текущая тенденция сохранится.

Но текущая тенденция не сохранится. Это просто невозможно! Если было бы так, то к 2060 году уже 109 % американцев имели бы избыточный вес⁹³.

В действительности график, отображающий рост доли людей с избыточным весом, изгибается к 100 % следующим образом.

Этот закон отнюдь не незыблем, как и в случае, когда сила тяжести изгибает траекторию движения ракеты в виде параболы, однако он близок к реальности с медицинской точки зрения. Чем больше доля людей с избыточным весом, тем меньше остается худощавых людей, которые могли бы стать толстыми, и тем медленнее доля людей с избыточным весом приближается к 100 %. На самом деле в какой-то точке ниже 100 % эта кривая перейдет в горизонтальную линию. Худые всегда будут с нами! В действительности четыре года спустя по результатам опроса NHANES было установлено, что распространенность избыточного веса начала замедляться⁹⁴.

Однако статья в журнале Obesity скрывает еще худшее преступление против математики и здравого смысла. Сделать линейную регрессию довольно легко – и как только вы выполнили ее один раз, возникает соблазн делать это и дальше. Поэтому Ванг и его коллеги разбили свои данные на категории по этнической и половой принадлежности. Например, оказалось, что чернокожие мужчины с меньшей вероятностью имеют избыточный вес, чем американцы в целом. Еще важнее, что среди чернокожих мужчин количество людей с избыточным весом увеличивалось в два раза медленнее. Если мы отобразим на одном рисунке графики увеличения доли людей с избыточным весом среди чернокожих мужчин и среди всех американцев, а также линейную регрессию, построенную Вангом и его коллегами, получится следующая картина.

Молодцы, чернокожие! Вы не будете жирными вплоть до 2095 года, а в 2048 году ожирение распространится лишь у 80 %.

Видите, в чем проблема? Если предполагается, что в 2048 году все американцы будут иметь избыточный вес, где же будут те чернокожие мужчины, у которых не возникнет в будущем никаких проблем с весом? За пределами страны?

В статье это противоречие осталось без внимания. А ведь это эпидемиологический эквивалент утверждения о −4 граммах воды в кувшине. Ноль зачетных баллов.

Глава четвертая. Сколько это в мертвых американцах?

Насколько серьезен конфликт на Ближнем Востоке? Эксперт по вопросам борьбы с терроризмом Дэниел Баймен из Джорджтаунского университета приводит в Foreign Affairs холодные, безжалостные цифры: «Израильские военные сообщают о том, что с начала второй интифады [2000 год. – Д. Э.] до конца октября 2005 года палестинцы убили 1074 и ранили 7520 израильтян – для такой маленькой страны поразительные данные, пропорциональный эквивалент которых составляет 50 тысяч убитых и 300 тысяч раненых американцев»⁹⁵. Такие подсчеты часто используются во время обсуждения ситуации в ближневосточном регионе. В декабре 2001 года Палата представителей Конгресса США заявила о том, что гибель 26 человек во время серии атак в Израиле «пропорционально смерти 1200 американцев»⁹⁶. Ньют Гингрич писал в 2006 году⁹⁷: «Помните о том, что, когда Израиль теряет восемь человек, с учетом разницы в численности населения это эквивалентно потере почти 500 американцев»⁹⁸. Не желая уступать авторам этих высказываний, Ахмед Мур написал в Los Angeles Times следующее: «Когда во время операции “Литой свинец” в секторе Газа Израиль убил 1400 палестинцев – что пропорционально 300 тысячам американцев, – будущий президент Обама хранил молчание»⁹⁹.

Риторика с использованием пропорций не является исключительным правом, закрепленным лишь за Святой землей. Джеральд Каплан писал в 1988 году: «За последние восемь лет погибли, ранены или похищены с обеих сторон противостояния около 45 тысяч никарагуанцев – это эквивалентно 300 тысячам канадцев или 3 миллионам американцев»¹⁰⁰. Министр обороны США в период Вьетнамской войны Роберт Макнамара сказал в 1997 году, что почти 4 миллиона погибших во время войны вьетнамцев «эквивалентны 27 миллионам американцев»¹⁰¹. Каждый раз, когда в какой-либо небольшой стране погибает много людей, авторы редакционных статей достают свои логарифмические линейки и начинают подсчитывать: сколько этих погибших «укладывается» в мертвых американцах?

Вот как можно получить эти цифры. Погибшие от рук террористов 1074 израильтян составляют 0,015 % от общей численности населения Израиля (которая в период с 2000 по 2005 год составляла от 6 до 7 миллионов). Далее все эти эксперты приходят к выводу, что смерть 0,015 % американского населения (что составляет около 50 тысяч человек) имела бы в данном случае такой же эффект.

Это линеоцентризм в чистейшей форме. Согласно аргументации с использованием пропорций, эквивалент 1074 израильтян в любой точке земного шара можно найти с помощью такого графика.

Количество израильских жертв – 1074 человек – эквивалентно 7700 испанцев или 223 тысяч китайцев, но всего 300 словенцев и одному или двум тувалуанцам.

Со временем (а может быть, и с самого начала?) такая аргументация начинает рушиться. Когда в момент закрытия в баре остается два человека и один из них сбивает с ног другого, это совсем не эквивалентно тому, что в это же время удар получают 150 миллионов американцев.

Еще один пример. Все согласны с тем, что одно из самых страшных преступлений столетия – когда в 1994 году было уничтожено 11 % населения Руанды. Но мы не рассуждаем об этом кровопролитии так: «С точки зрения Европы сороковых это было в девять раз хуже холокоста». Малейшая попытка сделать это вызвала бы настоящее отвращение.

Вот одно из важнейших правил математической гигиены: когда вы проверяете на практике тот или иной математический метод, попробуйте выполнить одни и те же расчеты несколькими разными способами. Если получите в результате разные ответы, значит, с вашим методом что-то не так.

Возьмем такой пример. На железнодорожном вокзале Аточа в результате взрыва бомбы в 2004 году погибло 200 человек¹⁰². Каким был бы эквивалентный итог взрыва бомбы на Центральном железнодорожном вокзале в Нью-Йорке?

Численность населения Соединенных Штатов Америки в семь раз превышает численность населения Испании. Следовательно, если представить 200 человек как 0,0004 % от населения Испании, эквивалентный террористический акт в США привел бы к гибели 1300 человек. С другой стороны, 200 человек составляют 0,006 % от населения Мадрида; пропорциональное увеличение этого количества с учетом численности населения Нью-Йорка, которая в два с половиной раза больше населения Мадрида, дает 463 жертвы. Или нам следует сопоставить провинцию Мадрид со штатом Нью-Йорк? В таком случае мы получили бы цифру около 600 жертв. Такую неоднозначность результатов необходимо расценивать как тревожный сигнал: метод пропорций не внушает доверия.

Безусловно, нельзя полностью отбросить пропорции. Пропорции действительно важны! Если вы хотите выяснить, в каком регионе Америки наиболее остро стоит проблема заболеваемости раком мозга, нет смысла смотреть на штаты с самым большим количеством смертных случаев от рака мозга. В таких штатах, как Калифорния, Техас, Нью-Йорк и Флорида, самый высокий уровень заболеваемости раком мозга, поскольку в них самая большая численность населения¹⁰³. Стивен Пинкер подчеркивает эту мысль в книге 2011 года, сразу ставшей бестселлером, – The Better Angels of Our Nature: Why Violence Has Declined («Лучшие стороны нашей натуры: почему насилия становится меньше»), – где он утверждает, что на протяжении всей истории человечества происходит устойчивое снижение уровня насилия. Двадцатое столетие получило дурную репутацию из-за огромного количества людей, попавших под жернова политических распрей между великими державами. Однако в действительности нацисты, Советы, коммунистическая партия Китая и колониальное господство, по мнению Пинкера, были с пропорциональной точки зрения не самыми эффективными виновниками массовых убийств: в наши дни погибает столько же людей! Сейчас мы не выражаем особой горечи по поводу давних кровопролитий во времена Тридцатилетней войны. Однако эта война проходила в менее населенном мире, и, по оценкам Пинкера, в ней погиб каждый сотый человек на Земле. В современном мире это означало бы уничтожение 70 миллионов человек, что больше количества погибших в обеих мировых войнах.

Следовательно, лучше анализировать относительные показатели: количество смертельных случаев как долю от общей численности населения. Например, вместо подсчета общего количества смертельных случаев от рака мозга по штатам мы можем рассчитать долю людей, ежегодно умирающих от рака мозга, в общей численности населения штата. Южная Дакота занимает весьма неприятное первое место: в этом штате за год происходит 5,7 смертельного случая от рака мозга на каждые 100 тысяч человек, что существенно превышает средний показатель по стране, составляющий 3,4 смертельного случая. После Южной Дакоты в этом списке следуют такие штаты, как Небраска, Аляска, Делавэр и Мэн. Создается впечатление, что существуют такие места, в которых лучше не жить, если не хочешь заболеть раком мозга. Тогда куда лучше переехать? В конце списка вы найдете штаты Вайоминг, Вермонт, Северная Дакота, Гавайи и округ Колумбия.

А вот это уже странно. Почему в Южной Дакоте самый высокий уровень заболеваемости раком мозга, а в Северной Дакоте почти нет онкологических заболеваний? Почему в Вермонте вы были бы в безопасности, а в штате Мэн оказались бы под угрозой?

Даю ответ: дело не в том, что в Южной Дакоте что-то способствует возникновению рака мозга, а в Северной Дакоте делают все, чтобы его предотвратить. У штатов, занявших первые пять мест и последние пять мест, есть нечто общее. В обоих случаях это одно и то же, а именно: там почти никто не живет. Из девяти штатов (и одного округа), оказавшихся в первых и последних строках списка, самый большой – штат Небраска, в настоящее время он борется со штатом Западная Виргиния за 37-е место по численности населения. Создается впечатление, что проживание в маленьком штате или повышает, или существенно снижает риск заболеть раком мозга¹⁰⁴.

Поскольку это лишено смысла, нам лучше поискать другое объяснение.

В надежде понять, что происходит, предлагаю провести воображаемую игру, которую мы назовем «Кто лучше всех подбросит монету». Игра очень простая. Вы подбрасываете какое-то количество монет, а побеждает тот, у кого больше всего монет упадет вверх лицевой стороной (аверс). Чтобы несколько разнообразить игру, представим, будто не у всех ее участников одинаковое количество монет. У Малой команды всего по десять монет на каждого человека, тогда как у Большой команды на каждого приходится по сто монет.

Если подсчитывать только абсолютное количество монет, упавших лицевой стороной вверх, одно можно утверждать почти наверняка: победителем в этой игре станет кто-то из Большой команды. Этот кто-то получит около 50 аверсов – показатель, который ни один участник Малой команды просто не сможет потянуть. Даже если в Малой команде было бы сто игроков, самый результативный из них получит восемь-девять монет, выпавших лицевой стороной вверх¹⁰⁵.

Кажется, это крайне несправедливо! У Большой команды с самого начала имеется большее преимущество. Давайте вместо подсчета абсолютного количества монет, выпавших той или иной стороной, будем определять победителя по относительной доле выпавших монет, что должно создать для двух команд более равные условия.

Но этого не происходит. Как я уже сказал, если в Малой команде было бы сто игроков, минимум один из них мог бы выбить хотя бы восьми-девяти аверсов. Следовательно, в результате он получит минимум 80 % монет, выпавших лицевой стороной вверх. А как насчет Большой команды? Ни один из ее игроков не получит 80 % орлов. Безусловно, физически такое возможно. Тем не менее этого не случится. На самом деле вам понадобилось бы около двух миллиардов игроков в составе Большой команды, чтобы появилась довольно высокая вероятность получения результата, свидетельствующего о серьезном перевесе. Разве не об этом говорит ваше интуитивное представление о правдоподобии? Чем больше монет вы подбрасываете, тем больше вероятность того, что вы приблизитесь к результату 50 на 50.

Вы можете попытаться сами! Я так и сделал, и вот что произошло. Многократно подбрасывая десять монет подряд, как это сделали бы игроки Малой команды, я получил такую последовательность количества монет, выпавших лицевой стороной вверх:

4, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 3, 5, 7, 4, 5, 7, 7, 9…

С сотней монет, как в случае Большой команды, я получил такую последовательность:

46, 54, 48, 45, 45, 52, 49, 47, 58, 40, 57, 46, 46, 51, 52, 51, 50, 60, 43, 45…

А в случае тысячи монет последовательность оказалась такой:

486, 501, 489, 472, 537, 474, 508, 510, 478, 508, 493, 511, 489, 510, 530, 490, 503, 462, 500, 494…

Честно говоря, я не подбрасывал тысячу монет. Вместо этого я поставил перед своим компьютером задачу смоделировать подбрасывание монет. Разве у кого-то найдется столько времени на тысячекратное подбрасывание монеты?

У одного человека нашлось – математик из Южной Африки Джон Эдмунд Керрич, которому дали опрометчивый совет посетить Европу ни больше ни меньше как в 1939 году. Его европейский семестр быстро превратился в незапланированное заключение в концлагере в Дании. Там, где обычный узник, не столь увлеченный статистикой, проводил бы дни заточения, царапая на стене камеры прошедшие дни, Керрич подбрасывал монету (всего 10 тысяч раз) и подсчитывал количество выпаданий лицевой стороной вверх¹⁰⁶. Его результаты выглядели следующим образом:

Как видите, доля монет, выпавших лицевой стороной вверх, непреклонно стремится к 50 % по мере подбрасывания все большего количества монет, как будто под действием невидимых тисков. Тот же эффект можно увидеть и во время моделирования этого процесса. Доля монет, выпавших лицевой стороной в первой группе попыток, составляет от 30 до 90 %. В случае сотни подбрасываний подряд этот диапазон начинает сужаться и составляет от 40 до 60 %. А когда количество подбрасываний достигает тысячи, диапазон количества выпаданий лицевой стороной вверх составляет всего от 46,2 до 53,7 %. Что-то толкает наши числа все ближе и ближе к 50 %. Это равнодушная и сильная рука закона больших чисел. Я не стану приводить здесь точную формулировку соответствующей теоремы (хотя она удивительно красива!), но ее можно представить следующим образом: чем больше монет вы подбрасываете, тем более маловероятно, что вы получите 80 % монет, выпавших лицевой стороной вверх. В действительности, если вы подбросите достаточное количество монет, шанс, что у вас будет 51 % аверсов, становится ничтожным! Нет ничего примечательного, если в случае десяти подбрасываний наблюдается неравновесный результат, однако в случае сотни подбрасываний получение соразмерного неравновесного результата было бы настолько удивительным событием, что оно, скорее всего, заставит задуматься, не поработал ли кто с вашими монетами.

Понимание, что результаты эксперимента стремятся к фиксированной средней величине, когда этот эксперимент повторяется многократно, – факт далеко не новый. В действительности данное явление известно почти столь же давно, сколько существует математическое изучение самой вероятности. Этот принцип сформулировал в XVI столетии Джироламо Кардано – правда, без всяких формальностей; и только в начале XIX столетия Симеон Дени Пуассон придумал для него выразительное название – «закон больших чисел» (Loi des grands nombres).

Шлем жандарма

В начале XVIII столетия Якоб Бернулли предложил точную формулировку и математическое доказательство закона больших чисел. Теперь этот закон стал уже не наблюдением, а теоремой.

И данная теорема говорит нам, что игру Большой и Малой команды нельзя считать справедливой. Закон больших чисел всегда будет подталкивать результаты игроков Большой команды к 50 %, тогда как у игроков Малой команды будет гораздо более широкий диапазон результатов. Однако было бы глупо приходить к заключению, что Малая команда «лучше» справляется с подбрасыванием монет лицевой стороной вверх, даже когда она побеждает в каждой игре. Если найти средний показатель доли аверсов, выпавших у всех игроков Малой команды, вместо того чтобы рассматривать относительную долю результативного игрока, этот показатель также окажется близким к 50 %, как и у Большой команды. А если определить игрока с минимальным, а не максимальным количеством выпавших аверсов, Малая команда начинает выглядеть далеко не лучшим образом в плане подбрасывания монет лицевой стороной вверх: есть заметная вероятность, что один из игроков этой команды выбьет всего 20 % аверсов, тогда как ни один член Большой команды никогда не получит столь плохого результата. Определение результатов по абсолютному количеству аверсов дает Большой команде неоспоримое преимущество; с другой стороны, использование относительных показателей так же сильно склоняет игру в пользу Малой команды. Чем меньше количество монет – в статистике это количество обозначается термином «размер выборки», – тем больше разброс значений относительной доли монет, выпавших лицевой стороной вверх.

Именно этот эффект делает результаты политических опросов менее надежными, когда в них принимает участие меньшее количество избирателей. То же самое касается и рака мозга. В небольших штатах выборки имеют малый размер – они напоминают тонкий тростник, сгибающийся под ветром перемен, тогда как большие штаты можно сравнить с величественными старыми дубами, которым любой ветер нипочем. Определение абсолютного количества случаев заболеваемости раком мозга характеризуется смещением в сторону больших штатов, тогда как измерение самой высокой (или самой низкой) относительной доли ставит малые штаты во главе списка. Именно поэтому в Южной Дакоте может быть самый высокий уровень смертности от рака мозга, тогда как Северная Дакота претендует на одно из последних мест по этому показателю. Причина состоит не в том, что гора Рашмор или торговый центр Wall Drug¹⁰⁷ каким-то образом оказывают пагубное воздействие на мозг. Все проще: населению штатов меньшего размера по существу свойственна более высокая вариабельность.

Таков математический факт, который вам уже известен, даже если вы сами не догадываетесь об этом. Кто самый меткий снайпер в НБА¹⁰⁸? Через месяц после начала сезона 2011/2012 года пять игроков получили равное значение самого высокого процента попаданий в лиге: Армон Джонсон, ДеАндре Лиггинс, Райан Рейд, Хашим Табит и Ронни Тюриаф.

Кто-кто?

Дело в том, что эти пять игроков не были лучшими бомбардирами НБА. Они вообще почти не играли. Армон Джонсон, например, играл в одном матче за Portland Trail Blazers. Он сделал один бросок, оказавшийся точным. В целом пять игроков из этого списка сделали тринадцать бросков, каждый из которых попал в корзину. Маленькие выборки более вариабельны, поэтому ведущим игроком НБА неизменно становится тот, кто совершил небольшое количество бросков и кому каждый раз сопутствовала удача. Вы ни за что не стали бы утверждать, что Армон Джонсон был более метким снайпером, чем Тайсон Чендлер, самый результативный постоянный игрок Knicks¹⁰⁹, который попал в цель в случае 141 из 202 бросков за тот же период¹¹⁰¹¹¹. (Любые сомнения по этому поводу можно отбросить, взглянув на данные о результативности Джонсона на протяжении сезона 2010/2011 года, когда в ходе игры он сделал 45,5 % попаданий – причем попаданий довольно заурядных.) Именно поэтому в стандартном списке лидеров не отображаются данные о результативности таких игроков, как Армон Джонсон. Вместо этого НБА включает в рейтинги только тех, кто превысил определенный порог игрового времени; в противном случае первые места в списке занимали бы никому не известные временные игроки с их выборками малого размера.

Однако не всякая рейтинговая система разработана настолько грамотно, чтобы принимать во внимание закон больших чисел. В штате Северная Каролина, как и во многих других штатах в эпоху образовательной отчетности, были введены программы мотивации, рассчитанные на школы, добивающиеся высоких результатов по стандартизованным тестам. Рейтинг каждой школы определяется по среднему увеличению количества баллов, полученных учениками по тестам за период с весны текущего до весны следующего года. Школы, занявшие в рейтинге по данному показателю первые 25 мест, вывешивают свой плакат в спортивном зале и получают право с гордостью говорить о своих достижениях в близлежащих городах.

Кто побеждает в таком соревновании? Например, в 1999 году первое место в рейтинге (с «суммарным показателем результативности», равным 91,5) заняла начальная школа C. C. Wright Elementary в Северном Уилксборо. Это небольшая школа (всего 418 учеников), расположенная в штате, в котором средняя численность учеников начальных школ составляет 500 детей. Второе место заняла школа Kingswood Elementary (90,9 балла), за ней следует школа Riverside Elementary (90,4 балла). В школе Kingswood насчитывалось лишь 315 учеников, а в начальной школе Riverside из аппалачского городка Ньюленд учился только 161 ребенок¹¹².

Получается, что по данному показателю небольшие школы обошли все остальные школы штата Северная Каролина. Томас Кейн и Дуглас Стейджер провели исследование, в ходе которого было установлено, что в тот или иной момент семилетнего периода, охваченного исследованием, 28 % самых маленьких школ штата попадали в первые 25 мест рейтинга; при этом из всех школ только 7 % школ получали право вывесить плакат в спортзале¹¹³.

Создается впечатление, что в маленьких школах уделяется больше времени для индивидуального обучения, поскольку учителя хорошо знают своих учеников и их семьи, и поэтому они лучше справляются с повышением результатов тестов.

Может быть, мне следует упомянуть, что статья Кейна и Стейджера называется так: The Promise and Pitfalls of Using Imprecise School Accountability Measures («Перспективы и подводные камни использования неточных показателей школьной отчетности»). Кроме того, нелишне отметить, что небольшие школы в среднем не демонстрируют тенденции к получению существенно более высоких результатов по тестам. И еще не мешало бы добавить, что школы, куда были направлены «группы по оказанию поддержки» (речь идет о школах, получивших от властей штата взбучку за низкие результаты по тестам), в большинстве своем также относились к числу небольших школ.

Короче говоря, насколько нам известно, школа Riverside не может считаться одной из лучших начальных школ штата Северная Каролина, так же как и Армон Джонсон не может быть самым метким снайпером в лиге. Небольшие школы занимают большинство из первых 25 мест в рейтинге не потому, что они лучшие, а потому что в маленьких школах более высокий уровень вариабельности результатов тестов. С одной стороны, несколько одаренных детей и несколько двоечников из третьего класса в состоянии существенно изменить средний показатель школы. С другой стороны, в крупной школе воздействие нескольких очень высоких или очень низких результатов просто растворится в большом среднем значении, практически не изменив общего показателя.

Не совсем ясно, по каким критериям определять, почему одна школа самая лучшая и почему граждане одного штата больше всего подвержены онкологическим заболеваниям, когда вычисление простых средних показателей не позволяет сделать этого? Если вы руководите работой многих групп, как вычислить эффективность каждой из них, если более мелкие группы с большой вероятностью займут как верхние, так и нижние позиции вашего рейтинга?

К сожалению, легкого ответа на этот вопрос не существует. Если в таком крохотном штате, как Южная Дакота, имеет место резкое увеличение уровня заболеваемости раком мозга, вы можете предположить, будто этот всплеск в значительной мере произошел по воле случая, и сделать вывод, что в будущем уровень заболеваемости раком мозга приблизится к общему показателю по стране. Это можно сделать, вычислив взвешенное среднее от уровня заболеваемости в Южной Дакоте и в целом по стране. Но как взвесить два данных показателя? В какой-то мере это искусство, требующее больших затрат труда на выполнение формальных операций, от описания которых я вас здесь избавлю¹¹⁴.

Один важный факт впервые обнаружил Абрахам де Муавр, который внес большой вклад в теорию вероятностей. Его книга The Doctrine of Chances («Теория случайностей») стала одним из ключевых трудов по этому предмету.

(Даже в те времена популяризация математических достижений представляла собой активную область. Эдмонд Хойл, чтобы помочь любителям азартных игр освоить новую теорию, написал учебный трактат An Essay Towards Making the Doctrine of Chances Easy to those who Understand Vulgar Arithmetic only, to which is added some useful tables on annuities («Исследование, предназначенное, чтобы сделать “теорию случайностей” более понятной для людей, понимающих только простую арифметику, а также несколько полезных таблиц аннуитетов»). Авторитет Хойла в вопросах карточных игр был настолько велик, что многие до сих пор ссылаются на его мнение; в определенной среде нередко можно услышать расхожие фразы: «По утверждению Хойла», «По правилам Хойла».)

Де Муавра не удовлетворял закон больших чисел, гласивший, что в долгосрочной перспективе доля аверсов в последовательности подбрасываний монет все больше приближается к 50 %. Он хотел знать, насколько ближе. Чтобы понять сделанное Муавром открытие, предлагаю вернуться к подбрасыванию монет и еще раз проанализировать этот феномен. Но теперь вместо перечисления общего количества монет, выпавших лицевой стороной вверх, мы будем записывать разность между количеством фактически выпавших аверсов и количеством аверсов, выпадания которых можно ожидать в случае 50 % подбрасываний.

Если подбрасывать десяток монет, вы получите такую последовательность:

1, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 4, 2, 0, 2, 1, 0, 2, 2, 4…

Если подбрасывать сотню монет, последовательность выглядит так:

4, 4, 2, 5, 2, 1, 3, 8, 10, 7, 4, 4, 1, 2, 1, 0, 10, 7, 5…

А в случае тысячи монет будет получена такая последовательность:

14, 1, 11, 28, 37, 26, 8, 10, 22, 8, 7, 11, 11, 10, 30, 10, 3, 38, 0, 6…

Как видите, отклонения от 50 на 50 в абсолютном выражении становятся больше по мере увеличения количества подбрасываний монет, хотя (как того требует закон больших чисел) эти отклонения становятся меньше в случае относительной доли монет, выпавших той или иной стороной. Де Муавр пришел к выводу, что типичное отклонение¹¹⁵ зависит от квадратного корня из количества монет, которые вы подбрасываете. Подбросьте в сто раз больше монет, чем раньше, и типичное отклонение возрастет в 10 раз – во всяком случае, в абсолютном выражении. В случае доли от общего количества подбрасываний отклонение сокращается по мере увеличения количества монет, поскольку квадратный корень из количества монет увеличивается гораздо медленнее, чем само количество монет. Тот, кто подбрасывает тысячу монет, порой отклоняется от уровня равномерного распределения на целых 38 аверсов, однако – с точки зрения доли от общего количества бросков – это составляет всего 3,8 % от распределения 50 на 50.

Наблюдение де Муавра совпадает с концепцией, лежащей в основе расчетов стандартной погрешности в результатах политического опроса. Если вы хотите сократить уровень погрешности в два раза, вам необходимо опросить в четыре раза больше людей. Но если вы хотите знать, как правильно оценить довольно большое количество выпавших аверсов, можно определить, на сколько квадратных корней из числа попыток данное значение отклоняется от 50 %. Квадратный корень из 100 равен 10. Следовательно, если я получил 60 аверсов за 100 попыток, это и есть отклонение на один квадратный корень от распределения 50 на 50. Квадратный корень из 1000 равен почти 31; следовательно, если я получил 538 аверсов за 1000 попыток, значит, мне удалось совершить нечто еще более удивительное, хотя во втором случае я получил всего 53,8 % аверсов, тогда как в первом случае – 60 %.

Однако де Муавр еще не поставил точку в своих изысканиях. Он обнаружил, что в долгосрочной перспективе отклонения от 50 на 50 всегда стремятся сформировать идеальную колоколообразную кривую, которую мы называем нормальным распределением. Основоположник статистики Фрэнсис Исидор Эджуорт предложил называть эту кривую шлемом жандарма¹¹⁶. (Должен признаться, мне жаль, что этот термин не прижился.)

Колоколообразная кривая («шлем жандарма») высокая посередине и плоская по краям; другими словами, чем дальше отклонение от нуля, тем меньше вероятность такого отклонения. Это можно точно представить в количественной форме. Если вы подбрасываете N монет, вероятность того, что в итоге вы отклонитесь от 50 % не более чем на квадратный корень из N, составляет 95,45 %. Квадратный корень из 1000 равен 31; в действительности восемнадцать из представленных выше двадцати попыток в случае подбрасывания тысячи монет (или 90 %) были в пределах 31 аверсов больше или меньше 500. Если я продолжил бы игру, относительная доля количества раз, когда я попадал бы в диапазон от 469 до 531, все больше приближалась бы к показателю 95,45 %¹¹⁷.

Возникает ощущение, будто нечто воздействует на то, как это происходит. Вполне допускаю, что подобное ощущение было и у самого де Муавра. Согласно многим свидетельствам, он рассматривал закономерности в поведении монет при многократном подбрасывании (или в любом другом эксперименте при наличии фактора случайности) как проявление воли Бога, превращавшего любые кратковременные особенности монет, игральных костей и человеческих жизней в предсказуемое долгосрочное поведение, которым управляют непреложные законы и поддающиеся расшифровке формулы¹¹⁸.

Однако такое ощущение опасно, поскольку как только вы примете за истину, будто чья-то трансцендентальная воля (Божья ли, Госпожи ли Удачи или Лакшми¹¹⁹ – чья конкретно, не имеет значения) подталкивает монеты к тому, чтобы они выпадали лицевой стороной вверх в половине случаев, вы сразу начинаете верить в так называемый закон средних: если пять монет подряд выпадают аверсом, тогда следующая почти наверняка выпадет реверсом. Если у кого-то есть три сына, следующей наверняка будет дочь. В конце концов, разве де Муавр не говорил нам, что крайние результаты (такие как четыре сына подряд) в высшей степени маловероятны? Говорил, и так оно и есть на самом деле. Тем не менее, если у вас уже есть три сына, возможность того, что четвертым тоже будет сын, далеко не маловероятна. В действительности вероятность, что у вас снова будет сын, такая же, как если это был бы ваш первый ребенок¹²⁰.

На первый взгляд может показаться, что это противоречит закону больших чисел, который должен был бы разделить ваше потомство в равных частях на девочек и мальчиков¹²¹. Однако это только кажущееся противоречие. Легче понять, что происходит, на примере монет. Я мог бы начать подбрасывать монеты и получить 10 аверсов подряд. Что произойдет далее? Прежде всего вы заподозрите, будто что-то не так с вашей монетой. Во второй части книги мы вернемся к этому вопросу, но пока будем исходить из предположения, что монета у нас правильная. Итак, закон гласит: по мере того как я подбрасываю монету все больше и больше раз, относительная доля выпавших аверсов должна приближаться к 50 %.

Здравый смысл говорит, что теперь – дабы скорректировать существующий дисбаланс – вероятность выпадания реверсов должна быть немного выше.

Но тот же здравый смысл еще более настойчиво утверждает: монета никак не в состоянии помнить, что с ней происходило, когда я подбрасывал ее первые десять раз!

Не хочу держать вас в неведении. Здравый смысл прав во втором случае. Закон средних получил не очень подходящее название, поскольку законы должны быть истинными, а этот закон ложный. У монет нет памяти, а значит, у следующей монеты, которую вы подбросите, такой же шанс 50 на 50 выпасть лицевой стороной вверх, что и у любой другой. Общая относительная доля монет стремится к 50 % вовсе не по причине благоволения судьбы к реверсам – дабы компенсировать уже выпавшие аверсы. Причина в том, что чем больше вы подбрасываете монету, тем больше уменьшается влияние первых десяти подбрасываний. Если я подброшу монету еще тысячу раз и получу при этом примерно половину аверсов, то их доля в серии первых 1010 подбрасываний также приблизится к 50 %. Именно так работает закон больших чисел: не уравновешивая то, что уже произошло, а разбавляя произошедшее новыми данными до тех пор, пока прошлое станет настолько пропорционально незначительным, что его вполне можно будет забыть.

Пережившие катастрофу

Что применимо к монетам и результатам тестов, также относится к массовым убийствам и геноциду. Если оценивать количество погибших в доле от численности населения страны, худшие преступления будут сосредоточены в самых маленьких странах. Мэтью Уайт, автор довольно мрачной книги Great Big Book of Horrible Things («Большая книга ужасов»), расположив кровопролития ХХ столетия именно в таком порядке, пришел к выводу, что первые три места занимают следующие преступления: уничтожение племени гереро в Намибии германскими колонистами; массовое убийство камбоджийцев Пол Потом; война короля Леопольда в Конго¹²². В этот список не входят ни Гитлер, ни Сталин, ни Мао и ни огромные массы людей, которых истребили эти деятели.

Подобное смещение оценки в сторону стран с меньшей численностью населения создает проблему: где наше подкрепленное математическими выкладками правило, позволявшее бы точно определять, насколько тяжело нам воспринимать новости о гибели людей в Израиле, Палестине, Никарагуа или Испании?

Вот эмпирическое правило, которое я считаю приемлемым: если масштаб катастрофы настолько велик, что уместно говорить об «переживших катастрофу», тогда целесообразно оценивать количество погибших в виде относительной доли от общей численности населения. Когда речь идет о выживших после геноцида в Руанде, то это может быть любой тутси, живущий в стране¹²³. Следовательно, уместно было бы сказать, что геноцид уничтожил 75 % племени тутси. При этом у вас были бы все основания утверждать, что катастрофа, унесшая жизни 75 % населения Швейцарии, является «швейцарским эквивалентом» того, что произошло с тутси.

С другой стороны, было бы абсурдно называть кого-либо из обитателей Сиэтла «пережившими катастрофу» после террористической атаки на Всемирный торговый центр¹²⁴. Следовательно, нецелесообразно оценивать количество погибших во Всемирном торговом центре в виде доли от всех американцев. В тот день в башнях-близнецах погиб один из сотни тысяч американцев, или 0,001 %. Эта цифра слишком приближается к нулю, чтобы мы могли воспринять ее и удержать в своем сознании. Кроме того, было бы рискованно заявлять, что швейцарским эквивалентом терактов во Всемирном торговом центре является массовое убийство, унесшее жизни 0,001 % швейцарцев, или 80 человек.

И все-таки каким образом нам составлять рейтинг злодеяний, если не по абсолютному количеству и не по относительной доле? Некоторые сравнения очевидны. Геноцид в Руанде был хуже терактов 11 сентября, теракты 11 сентября были хуже стрельбы в школе Columbine, а случившееся в этой школе хуже гибели одного человека в автокатастрофе, произошедшей из-за нетрезвого состояния водителя. Другие события, разделенные пространством и временем на огромные расстояния, сравнивать труднее. Действительно ли Тридцатилетняя война была более кровопролитной, чем Первая мировая? Как ужасающий геноцид в Руанде, длившийся не слишком долго, можно сравнить с затяжной и жестокой войной между Ираном и Ираком?

Большинство математиков сказали бы, что вошедшие в историю катастрофы и злодеяния в конечном счете образуют так называемое частично упорядоченное множество. Под такой замысловатой формулировкой замаскирована простая мысль: какие-то пары катастроф можно сравнивать по существу, тогда как другие не поддаются сравнению. Дело не в том, что у нас нет точных данных о количестве погибших или что мы не выработали вполне твердой позиции по отношению к проблеме уничтожения людей – от взрыва ли бомбы или от голодной смерти, вызванной войной. Причина заключается в другом: мы не знаем, на каких весах сравнивать эти катастрофы. Обсуждение вопроса, насколько одна война хуже другой, в корне отличается от обсуждения вопроса, является ли одно число больше другого. На второй вопрос всегда есть ответ. На первый – ответа нет. Если вы хотите осознать, что такое гибель двадцати шести человек от бомбы террориста, представьте себе смерть двадцати шести человек от бомбы террориста, но не где-то на другом конце света, а в своем родном городе. Такой подход будет абсолютно безупречен как с математической, так и с моральной точки зрения – и никакой калькулятор вам не понадобится.

Глава пятая. Когда пирог больше тарелки

Относительные показатели могут вводить в заблуждение даже в более простых и на первый взгляд менее неоднозначных ситуациях.

В рабочем докладе, который не так давно составили экономисты Майкл Спенс и Сендиле Хлатшвайо, представлена поразительная картина роста занятости в Соединенных Штатах Америки¹²⁵. Америку принято считать (и это очень радует) промышленным гигантом, заводы которого день и ночь неустанно производят необходимые миру товары. Однако современная реальность существенно отличается от такого представления. В период с 1990 по 2008 год численность рабочей силы в США увеличилась в целом на 27,3 миллиона рабочих мест. Из этого количества 26,7 миллиона рабочих мест (или 98 %) были созданы в так называемом неэкспортном секторе, другими словами, в том секторе экономики, в котором нельзя привлекать сторонние ресурсы и который не выпускает продукцию для экспорта (органы государственного управления, здравоохранение, розничная торговля, общественное питание).

Эта цифра может рассказать о многом в новейшей истории американской промышленности, и прежде всего – как именно она развивалась за последний период. Более того, этот показатель широко эксплуатируется в самых разных источниках: от журнала The Economist¹²⁶ до последней книги Билла Клинтона¹²⁷. Однако необходимо тщательно проанализировать, что означает данная цифра; ведь 98 % – совсем недалеко от 100 %. Утверждают ли результаты исследования, что рост занятости максимально сосредоточен в неэкспортном секторе экономики? Именно так оно и выглядит – однако здесь не все верно. За период с 1990 по 2008 год уровень занятости в экспортном секторе повысился всего на 620 тысяч рабочих мест – что соответствует действительности. Но ситуация грозила быть еще хуже, поскольку количество рабочих мест в этом секторе могло сократиться! Именно это произошло в период с 2000 по 2008 год: экспортный сектор потерял около 3 миллионов рабочих мест, тогда как в неэкспортном секторе этот показатель возрос на 7 миллионов рабочих мест. Таким образом, на неэкспортный сектор пришлось 7 миллионов рабочих мест из общего прироста в размере 4 миллионов, или 175 %!

Лозунг, который следует взять на вооружение, выглядит так: не говорите о процентах от величин, если эти величины могут быть отрицательными.

Такой подход кому-то покажется чрезмерно осторожным. Отрицательные величины – это числа, а значит, их можно умножать и делить, как и всякие другие числа. Но даже здесь не все так просто, как кажется. Для наших математических предшественников было далеко не очевидно, что отрицательные величины – это тоже числа, ведь по большому счету они не передают количество так, как это делают положительные числа. У меня в руках может быть семь яблок, но не минус семь¹²⁸. Великие алгебраисты XVI столетия, такие как Джироламо Кардано и Франсуа Виет, ожесточенно спорили по поводу того, является ли произведение двух отрицательных чисел положительным числом. Точнее говоря, они понимали, что принцип непротиворечивости требует, чтобы это было так, но расходились во мнениях, является ли это доказанным фактом или только удобным элементом системы обозначения. Когда среди решений уравнений, которые изучал Кардано, появлялись отрицательные решения, он имел обыкновение называть их ficta¹²⁹, или пустышками¹³⁰.

Споры итальянских математиков эпохи Возрождения порой могут показаться такими же непонятными и не имеющими отношения к нам, как и их теологические воззрения. Но они не ошибались в одном: в сочетании отрицательных величин и в таких арифметических операциях, как вычисление процента, есть нечто такое, что противоречит интуиции. В случае несоблюдения предложенного выше принципа начнут всплывать самые разные абсурдные ситуации.

Предположим, я управляю работой кафе. К сожалению, люди ко мне не заходят, и торговля кофе идет плохо; в прошлом месяце на этом бизнесе я потерял 500 долларов. К счастью, я проявил себя как вполне дальновидный предприниматель и установил в своем кафе не только кондитерскую витрину, но и стойку для CD-дисков – эти два направления принесли мне по 750 долларов прибыли каждое.

Всего я заработал в этом месяце 1000 долларов, и 75 % от этой суммы были получены за счет кондитерской витрины. Создается впечатление, что кондитерская витрина продвигает почти весь мой бизнес, а моя прибыль зависит от круассанов. Однако было бы столь же корректно утверждать, что 75 % моей прибыли получено за счет CD-дисков. Но представьте, что я теряю на кофе еще 1000 долларов – тогда моя совокупная прибыль равнялась бы нулю, бесконечный процент от которой поступал бы от кондитерских изделий!¹³¹ На первый взгляд может показаться, что «семьдесят пять процентов» означает «почти все», но, когда вы имеете дело с числами, которые могут быть либо положительными, либо отрицательными (как данные о прибыли), это может означать нечто совсем иное.

Данная проблема никогда не возникает, когда вы изучаете числа, которые могут быть только положительными, как в случае расходов, доходов или численности населения. Если 75 % американцев считают, что Пол Маккартни был самым симпатичным битлом, тогда невозможно, чтобы еще 75 % отдали дань Ринго Старру; оставшиеся 25 % пришлось бы разделить между собой Ринго, Джорджу¹³² и Джону.

Такой же феномен можно увидеть и в данных об уровне занятости. Майкл Спенс и Сендиле Хлатшвайо имели возможность отметить в своем докладе, что в сфере финансов и страхования возникло 600 тысяч новых рабочих мест – почти 100 % общего количества рабочих мест, созданных в экспортном секторе в целом. Но они не упомянули об этом, поскольку не пытались обманным путем заставить нас поверить, что за тот период не было роста больше ни в одном секторе экономики страны. Возможно, вы помните, что в экономике США был как минимум еще один сектор, в котором за период с 1990 года до настоящего времени создали множество рабочих мест, – сектор, классифицирующийся как «проектирование компьютерных систем и сопутствующие услуги». В нем в три раза увеличилась численность рабочей силы и было создано более миллиона рабочих мест. Общее количество рабочих мест, созданных в области финансов и вычислительной техники, существенно превышало 620 тысяч рабочих мест, появившихся в экспортном секторе экономики, однако эффект такого прироста нейтрализовали огромные потери в производственной сфере. Сочетание положительных и отрицательных величин приводит (в случае невнимательного отношения) к созданию фиктивной картины происходящего, согласно которой вся работа по созданию рабочих мест в экспортном секторе была выполнена в финансовой отрасли.

* * *

Не все, о чем писали Спенс и Хлатшвайо, вызывает серьезные возражения. Действительно, общий уровень роста занятости в сотнях отраслей в целом может быть отрицательным, однако в обычном экономическом контексте за умеренно продолжительный период этот показатель с высокой вероятностью является положительным. Не стоит забывать, что численность населения постоянно растет, поэтому при отсутствии серьезных катастроф количество рабочих мест также увеличивается.

Однако другие любители процентов не столь внимательны. В июне 2011 года Республиканская партия штата Висконсин выпустила пресс-релиз, в котором превозносились рекордные достижения губернатора Скотта Уокера в сфере создания рабочих мест. Это был еще один плохой месяц для экономики США в целом, за который по всей стране было создано всего 18 тысяч рабочих мест. Однако данные об уровне занятости в штате Висконсин выглядели гораздо лучше: чистый прирост количества рабочих мест составил 9,5 тысячи. «Сегодня мы узнали, что более 50 % роста численности рабочих мест в США в июне обеспечено в нашем штате», – было сказано в заявлении¹³³. Этот тезис подхватили и начали распространять политики из Республиканской партии, например член Палаты представителей Джим Сенсенбреннер, выступивший перед жителями пригорода Милуоки со следующим заявлением: «По данным отчета о численности рабочей силы, опубликованном на прошлой неделе, в нашей стране создано ничтожных восемнадцать тысяч рабочих мест, но половина из них созданы у нас в Висконсине. Мы здесь делаем нечто такое, что наверняка дает результаты»¹³⁴.

Идеальный пример той мутной воды, куда вы погружаетесь, когда начинаете подсчитывать относительные показатели (такие как чистый прирост занятости), которые могут быть либо положительными, либо отрицательными. В Висконсине было создано 9,5 тысячи рабочих мест, и это хорошо, однако в соседнем штате Миннесота, где губернатором был член Демократической партии Марк Дейтон, за тот же период создали более 13 тысяч рабочих мест¹³⁵. В штатах Техас, Калифорния, Мичиган и Массачусетс рост занятости также был выше, чем в Висконсине. Да, в Висконсине действительно был хороший месяц, но этот штат не создал столько же дополнительных рабочих мест, сколько все остальные штаты страны, вместе взятые, как вытекало из заявления республиканцев. В действительности произошло вот что: сокращение рабочих мест в других штатах почти свело на нет рост занятости в таких штатах, как Висконсин, Массачусетс и Техас. Вот почему губернатор Висконсина смог заявить, что на его штат приходится половина роста численности рабочих мест во всей стране. При этом губернатор штата Миннесота при желании мог бы заявить, что его штат обеспечил 70 % роста занятости по стране. Согласно этому технически корректному, но по существу ложному подходу оба губернатора были бы правы.

Рассмотрим еще один пример: Стивен Рэттнер, чтобы обосновать идею о неравном распределении текущего оздоровления экономики среди американцев, в своей публицистической статье 2012 года использовал работу экономистов Тома Пикетти и Эммануэля Саеза.

Новые статистические данные иллюстрируют все более ужасающее¹³⁶ расхождение между уровнем благосостояния богачей и всех остальных, а также говорят об отчаянной необходимости решить эту наболевшую проблему. Даже в стране, в которой, как порой кажется, все привыкли к неравенству в распределении доходов, эти выводы кажутся поистине поразительными.

Когда страна в 2010 году продолжала восстанавливаться после экономического спада, целых 93 % дополнительного дохода, созданного в стране в том году по сравнению с показателем 2009 года (288 миллиардов долларов), перешли в руки 1 % самых богатых налогоплательщиков, доход которых составляет минимум 352 000 долларов. …Оставшиеся 99 % получили в 2010 году микроскопическое повышение оплаты труда в размере 80 долларов на человека с учетом инфляции. У верхнего 1 % налогоплательщиков, средний доход которых составил 1 019 089 долларов, доходы возросли на 11,6 %¹³⁷.

В статье содержится красивая инфографика, которая разбивает прирост дохода еще дальше: 37 % прироста дохода приходится на сверхбогатых людей, составляющих 0,01 % самых богатых людей, 56 % дохода получает оставшаяся часть 1 % богачей, и мизерных 7 % приходится на остальные 99 % населения. Можно сделать небольшую круговую диаграмму, отображающую это распределение дохода.

Стоит разрезать этот пирог еще раз и выяснить, что происходит не с одним процентом населения, а с верхними десятью. К этим 10 % относятся семейные врачи, не самые престижные адвокаты, инженеры и управляющие, принадлежащие к верхушке среднего класса. Насколько велика их доля в нашем пироге, можно вычислить по данным Пикетти и Саеза, которые они весьма любезно выложили в интернете¹³⁸. И здесь обнаруживается нечто интересное. Средний доход этой категории американцев в 2009 году равнялся 159 тысячам долларов, в 2010 году их доход увеличился незначительно и составил 161 тысячу долларов. Это довольно скромный прирост по сравнению с увеличением дохода у 1 % самых богатых людей, однако он составляет 17 % от общего прироста дохода за период с 2010 по 2011 год.

Попытайтесь поместить 17 %-ный кусок пирога с долей 93 %, которая приходится на 1 % налогоплательщиков, – и получится, что пирог у вас больше тарелки.

Если сложить 93 % и 17 %, то сумма получится более 100 % – как такое может быть? И все-таки может, поскольку у населения, составлявшего 90 %, действительно был более низкий средний доход в 2011 году по сравнению с 2010 годом, независимо от того, происходило ли оздоровление экономики или нет. Отрицательные числа в данной ситуации делают проценты ненадежным показателем.

Анализ данных Пикетти и Саеза за разные годы обнаруживает такую закономерность снова и снова. В 1992 году 131 % прироста дохода в стране пришелся на 1 % получателей дохода. Безусловно, эта цифра впечатляет, но она явно указывает на то, что процент не всегда означает то, к чему вы привыкли. Вы не можете отобразить 131 % на круговой диаграмме. В период еще одного памятного экономического спада, в 1982–1983 годы, 91 % прироста национального дохода пришелся на 10 % населения, а не на 1 %. Означает ли это, что результатами экономического подъема завладели умеренно богатые профессионалы, оставив средний класс и очень богатых людей позади? Ни в коем случае. У 1 % также случилось существенное увеличение дохода, составившее 63 % от прироста национального дохода. Тогда, как и сейчас, на самом деле происходило вот что: нижние 90 % населения по-прежнему теряли почву под ногами, тогда как положение всех остальных улучшалось.

Все это не опровергает того факта, что для самых богатых людей солнце в Америке светит немного ярче, чем для представителей среднего класса, но позволяет немного по-другому интерпретировать сложившуюся ситуацию. Дело не в том, что 1 % населения оказывается в выигрыше, тогда как остальные американцы прозябают. Люди, которые относятся к верхним 10 %, а не к 1 % (категория населения, к которой, скажем прямо, относятся многие из тех, кто читает страницу New York Times с редакционной статьей и письмами читателей), также преуспевают. На их долю приходится более чем в два раза больше прироста дохода, чем 7 %, доступные им согласно круговой диаграмме. Все дело в том, что остальным 90 % населения страны все еще ничего не светит в конце тоннеля.

Даже если все показатели случайно оказываются положительными, любители рассказывать интригующие истории все равно находят возможность создать обманчивую картину процентов. В апреле 2012 года в ходе президентской избирательной кампании команда Митта Ромни, получив плохие результаты опросов среди избирателей женского пола, обнародовала такое заявление: «Администрация Обамы привела к тому, что для американских женщин наступили трудные времена. В период правления президента Обамы большому количеству женщин было крайне трудно найти работу – намного труднее, чем когда-либо за всю историю американского государства. На женщин приходится 92,3 % от всех рабочих мест, потерянных при Обаме»¹³⁹.

В каком-то смысле это заявление можно считать правильным. По данным Бюро трудовой статистики, в январе 2009 года общая численность работающих составляла 133 561 000 человек, а в марте 2012 года – 132 821 000 человек: на 740 тысяч рабочих мест меньше. Среди женщин были такие показатели: 66 122 000 и 65 439 000, а значит, в марте 2012 года работающих женщин было на 683 тысячи меньше, чем в январе 2009 года, когда Обама занял пост президента США. Разделите второе число на первое – и получите 92 %. Создается впечатление, будто Обама ездил по стране и приказывал компаниям увольнять подряд всех женщин.

Но все не так. Эти числа представляют собой чистое сокращение рабочих мест. Мы не знаем, сколько рабочих мест было создано и сколько сокращено за эти три года; нам известно только то, что разность между двумя показателями составляет 740 тысяч. Показатель чистого сокращения занятости в одних случаях бывает положительным, в других отрицательным, поэтому брать от него процент – слишком опасное дело. Только представьте себе, если команда Ромни начала бы свои подсчеты на месяц позже, в феврале 2009 года¹⁴⁰. В тот период (еще один трудный месяц экономического спада) общая численность работающих составляла 132 837 000 человек. С февраля 2009-го до марта 2012 года экономика США потеряла еще 16 тысяч рабочих мест. Среди женщин потеря рабочих мест составила 484 тысячи (что, разумеется, уравновешивалось соответствующим увеличением количества рабочих мест среди мужчин). Какая упущенная возможность для кампании Ромни! Если члены его команды начали бы свои подсчеты с февраля, первого полного месяца президентства Обамы, они имели бы полное право заявить, что при этом президенте на женщин приходится 3000 % от общей численности потерянных рабочих мест!

Однако для большинства избирателей – исключение составили бы лишь самые толстокожие – это послужило бы сигналом задуматься: все ли правильно с таким показателем.

Разберемся, что на самом деле случилось с долей мужчин и женщин в общем составе рабочей силе начиная с инаугурации Обамы и заканчивая мартом 2012 года? Произошло два события. С января 2009-го до февраля 2010 года уровень занятости как среди мужчин, так и среди женщин резко упал под воздействием экономического спада и его последствий.

Январь 2009-го – февраль 2010 года:

– чистое сокращение рабочих мест среди мужчин – 2 971 000;

– чистое сокращение рабочих мест среди женщин – 1 546 000.

Затем, после окончания рецессии, картина занятости начала постепенно улучшаться.

Февраль 2010-го – март 2012 года:

– чистый прирост рабочих мест среди мужчин – 2 714 000;

– чистый прирост рабочих мест среди женщин – 863 000.

Во время резкого падения уровня занятости мужчинам пришлось особенно трудно, поскольку они потеряли почти в два раза больше рабочих мест, чем женщины. А в период оздоровления экономики на мужчин пришлось 75 % прироста численности рабочих мест. Если сложить показатели за оба периода, данные о занятости среди мужчин почти полностью уравновешивают друг друга; в итоге в конце периода у мужчин остается почти столько же рабочих мест, сколько и в начале. Таким образом, вывод, будто текущий экономический период оказался чрезвычайно трудным только для женщин, совершенно не обоснован.

Интересную оценку показателю в 92,3 %, приведенному командой Ромни, дали в Washington Post: «точный, но ложный»¹⁴¹. Такая формулировка вызвала насмешки сторонников Ромни, но я считаю, что в данной ситуации она вполне уместна и несет в себе глубокий смысл, отражающий реальное положение дел с использованием количественных показателей в политике. В точности данного показателя нет никаких сомнений. Разделите чистое количество рабочих мест, потерянных женщинами, на чистое сокращение рабочих мест в целом – и вы получите 92,3 %.

Однако наше арифметическое упражнение делает данное заявление «точным» лишь в весьма ограниченном смысле. Представим аналогичную ситуацию, будто команда Обамы обнародовала заявление: «Митт Ромни никогда не отрицал, что на протяжении ряда лет он поддерживал контрабанду наркотиков из Колумбии в Солт-Лейк-Сити».

Подобное заявление было бы верным на все сто процентов! Но оно предназначено лишь для того, чтобы создать ложное впечатление. Следовательно, формулировка «точный, но ложный» представляет собой весьма справедливую оценку. Правильный ответ на неправильный вопрос, что в каком-то смысле делает его еще хуже, чем ошибка в расчетах. Легко представить количественный анализ политики как нечто такое, что можно выполнить с помощью калькулятора. Однако калькулятор следует использовать только тогда, когда вы точно знаете, что именно хотите подсчитать.

Я не люблю текстовые задачи. Они создают ложное впечатление о взаимосвязи между математикой и реальностью. «У Бобби есть три сотни стеклянных шариков, тридцать процентов шариков он отдает Дженни. Джимми он отдает в два раза меньше, чем отдал Дженни. Сколько шариков осталось у Бобби?» Эта задача выглядит так, будто она описывает реальный мир, но на самом деле это просто арифметическая задача, которая не очень убедительно замаскирована под реальный мир. Такая текстовая задача не имеет никакого отношения к стеклянным шарикам. С таким же успехом можно было бы сформулировать ее так: «введите “300 − (0,30 × 300) − (0,30 × 300)/2 =” в свой калькулятор и перепишите ответ»!

Вопросы, возникающие в реальном мире, – отнюдь не текстовые задачи. В реальном мире задачу можно было бы сформулировать примерно так: «Сказался ли экономический спад и его последствия особенно тяжело на работающих женщинах, и если да, то в какой степени это является результатом политики администрации Обамы?» У вашего калькулятора нет кнопки для решения такой задачи, поскольку для получения разумного ответа вам необходимо знать нечто большее, чем только цифры. Какова форма кривой потери рабочих мест среди мужчин и женщин во время типичного экономического спада? Были ли у данного экономического спада заметные особенности в этом отношении? Какие именно места занимают преимущественно женщины? Какие решения Обамы негативно сказались на данном секторе экономики? Вы можете браться за калькулятор только после того, как сформулируете перечисленные вопросы. Но к данному моменту вся мысленная работа должна быть завершена. Деление одного числа на другое – просто расчеты; определение того, что на что следует делить, – это и есть математика.

Часть II. Умозаключение

Скрытые послания в Торе

Опасность пространства для маневра

Проверка достоверности нулевой гипотезы

Беррес Фредерик Скиннер против Уильяма Шекспира

Турбосексофонный восторг

Скопление простых чисел

Истязать данные, пока они не сознаются

Правильный способ преподавания учения о сотворении мира в государственных школах

Глава шестая. Библейский код и балтиморский фондовый брокер

Люди используют математику, чтобы найти ответы на самые разные вопросы: от повседневных («Сколько мне предстоит ждать следующего автобуса?») до космических («Как выглядела Вселенная через три триллионных секунды после Большого взрыва?»).

Однако существует область вопросов, выходящих далеко за рамки космической тематики, – вопросов о смысле и происхождении всего сущего, решение которых, как вам может показаться, лежит за пределами математики.

Никогда не недооценивайте территориальные притязания математики! Хотите узнать что-то о Боге? Математики помогут вам в этом.

По мнению еврейского ученого ХII столетия Маймонида, мысль о том, что обычные люди могут узнать что-то о божественном мире посредством рациональных наблюдений, возникла очень давно – примерно в то же время, что и сам монотеизм. Главный труд Маймонида Mishneh Torah («Мишне Тора», или «Кодекс Маймонида») содержит такое толкование откровений Авраама:

1.9 (3) Уже в самом раннем детстве этот титан духа начал размышлять и думать днем и ночью, поражаясь: как возможно, что эта [небесная. – Д. Э.] сфера постоянно находится в движении и у нее нет Движителя? Кто же ее двигает, ведь не может быть, чтобы она двигала сама себя? ‹…›

1.10 ‹…› Но в сердце своем продолжал искать истину, пока не попал на правильную дорогу, пользуясь верными посылками, – и понял, что есть Единый Б-г, Который вращает созвездия, Который создал все, и нет в мире другого Б-га, кроме Него.

1.13 ‹…› Он стал, останавливаясь где-либо, взывать громким голосом, обращаясь ко всему народу, и учить, что есть Единый Б-г для всего мира и [только] Ему стоит служить. ‹…›

1.14 Люди собирались вокруг него и задавали вопросы на его речи, и он учил каждого сообразно его пониманию, пока не возвращал его на путь истины, – и вскоре уже с ним шли тысячи людей¹⁴²¹⁴³.

Такое видение религиозной веры имеет много общего с математическим мышлением. Вы верите в Бога не потому, что к вам прикоснулся ангел, не потому, что однажды ваша душа открылась, чтобы впустить в себя солнечный свет, и определенно не из-за того, что говорили вам родители. Вы верите потому, что Бог – это нечто такое, что должно существовать, так же как произведение 8 на 6 должно быть равным произведению 6 на 8.

В наши дни аргументация Авраама (просто посмотрите вокруг – как все это могло бы стать таким восхитительным без создателя?) считается неполноценной, по крайней мере в большинстве научных кругов. Однако сегодня у нас есть микроскопы, телескопы и компьютеры. И мы больше не ограничиваемся изумленными взглядами на луну, находясь в своей земной колыбели. Мы владеем информацией, мы накопили огромную массу данных, и у нас есть инструменты для их анализа.

Любимое множество данных раввинского ученого – это Тора, которая по большому счету представляет собой последовательно упорядоченную строку символов, взятых из конечного алфавита, и которую мы пытаемся передавать от одной синагоги к другой без ошибок. Хотя Тора написана на пергаменте, по сути она представляет собой цифровой сигнал.

Когда в середине 1990-х годов ученые из Еврейского университета в Иерусалиме начали анализировать этот сигнал, то обнаружили нечто удивительное, или, в зависимости от ваших теологических воззрений, совсем не удивительное. Эти исследователи работали в разных областях: Элияху Рипс был старшим преподавателем математики и известным специалистом по теории групп; Йоав Розенберг изучал теорию вычислительных систем в магистратуре, а Дорон Витцум получил в свое время диплом магистра по физике. Однако всем им было свойственно пристрастие к тому направлению исследований Торы, которое ищет эзотерические тексты, скрытые в историях, родословных и наставлениях, образующих поверхностный слой традиционного иудейского религиозного закона. Для своих изысканий они выбрали инструмент под названием «эквидистантная последовательность букв» (equidistant letter sequence; далее по тексту – ELS) – фрагмент текста, полученный посредством выделения в тексте Торы букв, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Например, если во фразе

don your braces askew

прочитывать каждую пятую букву (начиная с первой), получится:

don your braces askew

Таким образом, в качестве ELS здесь выступает слово duck – в качестве ли предупреждения («пригнись!») или в качестве названия водоплавающей птицы («утка»).

Большинство эквидистантных последовательностей букв не образуют осмысленных слов; если я составлю ELS из каждой третьей буквы предложения, которое вы сейчас читаете, получится настоящая тарабарщина: бьнвкдт…¹⁴⁴, что вполне символично. Однако Тора – очень длинный документ, и если вы попытаетесь найти в ней закономерности, то наверняка найдете.

Поначалу такой метод религиозного исследования кажется странным. Разве Бог Ветхого Завета действительно является тем божеством, которому необходимо сообщать о своем присутствии в процессе словарного поиска? В Торе, когда Бог хочет, чтобы вы знали о его присутствии, вы просто узнаёте об этом: женщины девяноста девяти лет беременеют, кусты воспламеняются и начинают говорить, еда падает с неба.

Тем не менее Рипс, Вицтум и Розенберг не были первыми, кто пытался найти послания, спрятанные в виде ELS в Торе. Существуют единичные прецеденты среди классических раввинов, однако впервые этот метод использовал в ХХ столетии раввин из Словакии Михаэль Дов Вейсмандл, который на протяжении Второй мировой войны пытался (по большей части безуспешно) собрать на Западе деньги, чтобы выкупить у продажных германских чиновников отсрочку массовой депортации словацких евреев¹⁴⁵. Вейсмандл нашел в Торе несколько интересных ELS. В частности, он обратил внимание на то, что если начать с определенного mem (еврейской буквы, которая звучит как «м») в Торе и отсчитывать в прямом порядке по 50 букв, получится последовательность mem shin nun hay, которая произносится как древнееврейское слово Mishneh («Мишне») – первое слово названия комментариев Маймонида к Торе. А теперь пропустите 613 букв (почему 613? потому что это точное количество заповедей в Торе – прошу вас, попытайтесь не терять концентрации) и снова начните отсчитывать каждую 50-ю букву. Вы обнаружите, что из выделенных букв складывается слово Torah. Другими словами, название книги Маймонида зашифровано в виде ELS в Торе – документе, который был составлен более чем за тысячу лет до его рождения.

Как я уже говорил, Тора – весьма длинный документ: по некоторым данным, в ней содержится 304 805 символов. Не совсем понятно, что именно следует делать с такими закономерностями, как последовательность букв, которую обнаружил Вейсмандл. Существует множество способов анализировать Тору вдоль и поперек, и некоторые из обнаруженных последовательностей букв неизбежно образуют какие-то слова и смыслы.

Вицтум, Рипс и Розенберг, у которых была как математическая, так и религиозная подготовка, поставили перед собой более системную задачу. Они выбрали самых известных раввинов за весь период современной еврейской истории, от Авраама Ха-Малаха до Те Яавеца (всего тридцать два раввина). На иврите числа записываются буквами алфавита, поэтому даты рождения и смерти раввинов предоставляли в распоряжение исследователей еще больше последовательностей, которые можно было рассматривать. Вопрос был поставлен так: находятся ли имена раввинов в эквидистантных последовательностях букв в непосредственной близости от соответствующих дат рождения и смерти?

Этот вопрос можно сформулировать и в более провокативной форме: предсказывает ли Тора будущее?

Вицтум и его коллеги проверили эту гипотезу, применив для этого глубоко продуманный подход¹⁴⁶. Сначала они выполнили поиск ELS с именами и датами рождения и смерти раввинов в Книге Бытия и подсчитали, насколько близко находятся в тексте последовательности букв с именами раввинов от последовательностей с соответствующими датами¹⁴⁷. Затем исследователи перемешали тридцать две даты таким образом, чтобы каждая дата соответствовала случайно выбранному имени раввина, и провели тест снова. После этого они выполнили данную процедуру еще миллион раз¹⁴⁸. Если в тексте Торы не было бы никакой связи между именами раввинов и соответствующими датами, можно было бы ожидать, что истинное соответствие между именами раввинов и датами их рождения и смерти покажет примерно такой же результат, что и одна из случайных перестановок. Однако исследователи обнаружили нечто иное. Правильные сочетания попали в верхнюю часть рейтинга, заняв высокое 453-е место среди одного миллиона претендентов.

Авторы исследования применили этот же подход к другим текстам, таким как «Война и мир», Книга Пророка Исайи (часть Священного Писания, но не та часть, которую, как считается, написал Бог), а также версия Книги Бытия, в которой буквы были перемешаны в случайном порядке. Во всех этих случаях истинные даты рождения раввинов находились примерно посередине множества.

Вот вывод авторов исследования, написанный со свойственной математикам сдержанностью: «Мы пришли к выводу, что близость ELS к связанным с ними значениями в Книге Бытия не случайна».

Несмотря на сдержанную формулировку, этот вывод был воспринят как удивительное открытие, которое казалось еще более удивительным благодаря математической квалификации авторов, особенно Рипса. Эта работа прошла процедуру рецензирования и была опубликована в 1994 году в журнале Statistical Science вместе с необычным предисловием редактора журнала Роберта Касса, писавшего:

Наши рецензенты были озадачены: их исходные убеждения наводили на мысль о том, что Книга Бытия вряд ли может содержать значимые ссылки на людей современной эпохи, и все-таки, когда авторы выполнили дополнительный анализ и проверку, результат остался тем же. Поэтому данная работа предлагается вниманию читателей Statistical Science в качестве трудной, но интересной головоломки¹⁴⁹.

Несмотря на поразительные открытия, о которых шла речь в работе Вицтума, она не сразу привлекла к себе широкое внимание общественности. Ситуация изменилась после того, как об этой работе узнал журналист Майкл Дроснин. Он сам начал искать ELS, отбросив научную сдержанность и подсчитывая каждую группу последовательностей символов, которую он мог интерпретировать как предсказание будущих событий. Дроснин опубликовал в 1997 году книгу The Bible Code («Библейский код»)¹⁵⁰, на обложке которой изображен фрагмент выцветшего древнего свитка Торы с выделенными на нем буквами, последовательности которых означают на иврите «Ицхак Рабин» и «Убийца, который совершит убийство». Заявления Дроснина, будто он предупреждал Рабина об убийстве за год до рокового выстрела¹⁵¹, стали весьма убедительной рекламой его книги, в которой есть также упоминания об имеющихся в Торе предсказаниях по поводу войны в Персидском заливе и столкновения кометы Шумейкера – Леви 9 с Юпитером в 1994 году. Вицтум, Рипс и Розенберг осудили то, как Дроснин использовал их метод для достижения своих целей, однако смерть и пророчества обеспечивают высокие продажи: книга «Библейский код» стала бестселлером. Дроснин принял участие в «Шоу Опры Уинфри»¹⁵² и в передачах на канале CNN, а также провел личные встречи с Ясиром Арафатом, Шимоном Пересом и главой администрации Клинтона Джоном Подеста, во время которых поделился своими мыслями о приближающемся конце света¹⁵³. Миллионы людей увидели якобы математическое доказательство того, что Библия – слово Бога; перед современными людьми с научным мировоззрением был открыт неожиданный путь к принятию религиозной веры, и многие действительно приняли ее. У меня есть весьма достоверные данные, что один молодой отец из нерелигиозной еврейской семьи не делал обрезание своему сыну, пока опубликованная в журнале Statistical Science работа не была официально принята. (Ради блага ребенка надеюсь, что процесс рецензирования прошел быстро.)

В математическом мире наряду с широким признанием библейских кодов метод, лежавший в основе открытия израильских ученых, подвергался жесткой критике. Особенно жаркие споры разгорелись в крупном сообществе математиков из числа ортодоксальных евреев. Среди преподавателей факультета математики Гарвардского университета, в докторантуре которого я тогда учился, был Давид Каждан, выразивший умеренную открытость к восприятию этих кодов. И был Шломо Стернберг, их ярый противник, считавший, что из-за популяризации библейских кодов ортодоксальные евреи выглядят простаками и глупцами. Стернберг опубликовал в журнале Notices of the American Mathematical Society разгромную статью, в которой назвал работу Вицтума, Рипса и Розенберга «мистификацией» и заявил, что Каждан и другие ученые с подобными взглядами «не только опозорили себя, но и дискредитировали математику»¹⁵⁴.

Смею вас заверить, в день публикации статьи Стернберга во время послеобеденного чая на математическом факультете царила весьма натянутая атмосфера.

Религиозные ученые также не поддались притягательной силе идеи о библейском коде. Некоторые из них, такие как лидеры иешивы Аиш Ха Тора, использовали код для того, чтобы привлечь евреев, не следующих предписаниям своей религии, к более строгой версии веры. Другие настороженно отнеслись к методу обнаружения кодов, который представлял собой резкое отклонение от традиционных методов изучения Торы. Я слышал историю, как известный раввин в конце длинного традиционного ужина во время праздника Пурим поинтересовался у одного из своих гостей, который был сторонником библейского кода: «Так скажите мне, что вы сделаете, если в Торе найдут код, который гласит, что шабат должен быть в воскресенье?»

Его коллега ответил, что такого кода не нашлось бы, поскольку Бог предписывал, чтобы шабат был в субботу.

Но старый раввин не сдавался: «Хорошо, но что если такой код был бы?»

Молодой коллега помолчал, а затем произнес: «Тогда, полагаю, мне пришлось бы об этом поразмыслить».

В эту минуту раввин твердо решил отбросить идею о библейском коде. Хотя действительно существует еврейская традиция (особенно среди раввинов с мистической ориентацией) заниматься численным анализом букв из Торы, цель такого процесса состоит исключительно в том, чтобы помочь понять и по достоинству оценить Священное Писание¹⁵⁵. Но, если при использовании данного метода (пусть даже теоретически) можно заронить семена сомнений в основные законы веры, тогда библейский код следует считать истинно еврейским в той же степени, что и поджаренную булочку с ветчиной – кошерной пищей.

Почему математики отбросили то, что казалось наглядным доказательством боговдохновенности Торы? Чтобы найти ответ на этот вопрос, нам необходимо ввести в повествование нового персонажа: балтиморского фондового брокера.

Фондовый брокер из Балтимора

Позвольте рассказать вам притчу. Однажды вы получаете от фондового брокера в Балтиморе новостной бюллетень; в нем идет речь о том, что вскоре курс определенных акций резко повысится. Проходит неделя, на протяжении которой, как и предсказывал балтиморский брокер, те акции действительно повысились в цене. На следующей неделе вы получаете еще одно письмо, причем на этот раз в нем содержится намек на акции, курс которых, по мнению этого брокера, вскоре упадет. И эти акции действительно резко упали в цене. Проходит десять недель подряд, и каждую неделю вы получаете очередную загадочную информационную рассылку с новым предсказанием, причем каждый раз это предсказание сбывается.

На одиннадцатой неделе вы получаете предложение инвестировать деньги через балтиморского фондового брокера, разумеется за изрядные комиссионные в качестве компенсации за проницательное видение рынка, которое столь убедительно продемонстрировал правильный выбор акций на протяжении десяти недель подряд, о чем сообщалось в информационных рассылках.

На первый взгляд, как будто неплохая сделка, не так ли? Очевидно, что балтиморский фондовый брокер кое-что понимает – кажется совершенно невероятным, чтобы десять правильных прогнозов подряд о повышении и падении курсов акций сделал безнадежный дилетант без специальных знаний о рынке. На самом деле вы можете точно рассчитать шансы на успех: если дилетант дает правильный прогноз с вероятностью 50 %, тогда вероятность того, что он сделает первые два правильных прогноза, составляет половину половины (или четверть), вероятность трех правильных прогнозов – половину этой четверти (или одну восьмую) и так далее. Если продолжить эти вычисления, вероятность того, что дилетант попадет в цель десять раз подряд¹⁵⁶, составляет:

(1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = (1/1024).

Другими словами, вероятность того, что дилетант сможет обеспечить такой хороший результат, почти равна нулю.

Однако ситуация выглядит иначе, если описать ее с точки зрения балтиморского фондового брокера. Что вы не увидели в прошлый раз? В первую неделю вы были не единственным человеком, получившим информационное письмо брокера: он разослал 10 240 писем¹⁵⁷. Однако не все письма были одинаковыми. Половина писем были такими же, как и полученное вами письмо с прогнозом роста акций. В остальных письмах был прямо противоположный прогноз. Те 5120 человек, которые получили от брокера неправильный прогноз, больше не получали от него никаких писем. Однако вы и еще 5119 человек, которым пришло такое же письмо, что и вам, получили еще одну подсказку на следующей неделе. Из этих 5120 информационных писем в половине было сказано то же, что и в вашем письме, а в другой половине – прямо противоположное. После этой недели все равно оставалось 2560 человек, получивших два правильных прогноза подряд.

И так далее.

После десятой недели останется десять счастливчиков (?), получивших от балтиморского брокера точные рекомендации по поводу выигрышных акций – независимо от того, что происходит на фондовом рынке. Этот брокер может быть проницательным наблюдателем, который хорошо знает рынок, или, напротив, он может выбирать акции, швыряя куриными потрохами о стену и пытаясь прочитать оставшиеся на ней следы, – в любом случае существует десять получателей писем, в глазах которых он выглядит гением. Десять человек, с которых он рассчитывает собрать большие комиссионные. Десять человек, для которых прошлая результативность станет гарантией будущего успеха.

Я часто слышал, как притчу о балтиморском брокере подают в качестве настоящей истории, но мне не удалось обнаружить никаких доказательств, что нечто подобное когда-либо происходило на самом деле¹⁵⁸. Самым близким, что я нашел, было телевизионное реалити-шоу 2008 года (именно к реалити-ТВ мы обращаемся в наши дни в поисках аллегорий), в котором британский фокусник Деррен Браун проделал примерно такой же трюк, разослав различные прогнозы относительно результатов скачек тысячам британцев и в итоге убедил одного человека в том, что он изобрел надежную систему прогнозирования. (Браун, который любит разоблачать мистические мифы даже больше, чем продвигать их, раскрыл механизм этого трюка в конце шоу, совершив для математического образования в Соединенном Королевстве больше, чем десяток серьезных образовательных программ ВВС.)

Однако если немного изменить игру, сделав ее не столь очевидно жульнической, но при этом оставить неизменным возможность введения участников игры в заблуждение – это и есть ситуация, благодаря которой балтиморский брокер живет и здравствует в финансовой отрасли. Когда компания создает взаимный инвестиционный фонд, такой фонд во многих случаях работает вначале с внутренними инвестициями, и только потом его открывают для широкого круга инвесторов. Такая практика обозначается термином «инкубация»¹⁵⁹. Жизнь инкубационного фонда проходит не в тепле и безопасности, как можно было бы предположить по его названию. Как правило, компании выпестовывают в таком инкубаторе несколько фондов одновременно, экспериментируя с различными инвестиционными стратегиями и распределением инвестиций. В этой утробе происходит борьба и соперничество между фондами. В итоге одни фонды демонстрируют хорошую рентабельность инвестиций, и их быстро делают доступными для широкого круга инвесторов, публикуя всевозможные документы о полученной до настоящего времени прибыли. А самых слабых детенышей в этом помете из милосердия уничтожают, причем во многих случаях никто даже не подозревает о их бесславном существовании.

Случается, что взаимные фонды, вышедшие из инкубатора, преуспевают именно потому, что действительно делают более разумные инвестиции. Компании, продающие акции взаимных фондов, могут даже верить в это. Кто не поставит себе в заслугу собственные способности и знание дела, когда рискованное предприятие удалось? Однако факты говорят совсем о другом: как только внешние инвесторы получают доступ к инкубационным фондам, эти фонды больше не поддерживают той высокой эффективности, какую демонстрировали в период инкубации, а обеспечивают вместо этого примерно такой же уровень рентабельности инвестиций, что и обычные фонды¹⁶⁰.

Что это означает лично для вас, если вы относитесь к числу счастливчиков, у которых есть деньги для инвестиций? Думаю, лучше всего не поддаваться искушению инвестировать в популярный новый фонд, обеспечивший рентабельность 10 % за прошедшие двенадцать месяцев. Предпочтительнее последовать скучному, изрядно надоевшему совету «есть овощи и ходить по лестнице», который в области финансового планирования звучит приблизительно так: вместо того чтобы гоняться за волшебной системой или за советчиком, способным все превращать в золото, вложите деньги в унылый крупный индексный фонд¹⁶¹ с низкими комиссионными – и забудьте обо всем. Когда вы инвестируете свои сбережения в инкубационный фонд с невероятно высокой рентабельностью, вы как будто становитесь получателем информационной рассылки, вкладывающим сбережения с помощью балтиморского брокера: вы попали под влияние впечатляющих результатов, но ведь вам неизвестно, какие шансы на получение этих результатов были у этого брокера.

Эта ситуация похожа на ту, которая складывается за нашим столом, когда я играю в скребл¹⁶² со своим восьмилетним сыном. Если ему не подходят взятые из мешочка буквы, он возвращает их назад и вытягивает другие буквы, повторяя этот процесс до тех пор, пока не получит нужные. С точки зрения моего сына, это совершенно справедливо: ведь он же закрывает глаза, так что у него нет никакой возможности узнать, какую букву он вытягивает! Если давать себе неограниченные шансы, в конце концов вы непременно вытащите ту самую букву Z, которая вам нужна. Но так происходит не потому, что вам повезло, а потому, что вы жульничаете.

Афера балтиморского брокера работает по той причине, что, подобно всем хорошим фокусам, она не пытается обмануть вас напрямую. Другими словами, никто вас не обманывает; вам скорее говорят правду, из которой вы делаете ошибочные выводы¹⁶³. На самом деле маловероятно, чтобы курс десяти выбранных акций подряд соответствовал прогнозу брокера, чтобы в шести скачках фокусник каждый раз правильно определял победителей, чтобы взаимный инвестиционный фонд обеспечил рентабельность инвестиций на 10 % выше среднего рыночного показателя. Ошибкой было бы удивляться тому, что такие невероятные истории все-таки происходят. Вселенная огромна, и если вы в достаточной мере настроены на поразительно невероятные события, вам удастся найти их. Маловероятные события случаются довольно часто.

Вероятность попасть под удар молнии или выиграть в лотерею крайне мала; тем не менее это происходит постоянно, поскольку в мире живет много людей и многие из них покупают лотерейные билеты, или играют в гольф во время грозы, или делают и то и другое. Большинство совпадений теряют свою притягательность, если посмотреть на них с должного расстояния. В розыгрыше лотереи Cash 5 в штате Северная Каролина 9 июля 2007 года выпали числа 4, 21, 23, 34, 39. Два дня спустя те же числа выпали снова. Это кажется крайне маловероятным – и такое впечатление создается именно потому, что так оно и есть. Вероятность совпадения номеров в этих двух розыгрышах лотереи была крохотной, меньше чем два случая на миллион. Но это не тот вопрос, который следует задавать себе, если вы хотите понять, как реагировать на подобные совпадения. В конце концов, лотерея Cash 5 действовала к тому времени почти целый год, что создало много возможностей для совпадений. Оказывается, вероятность того, что за любой трехдневный период в двух розыгрышах лотереи Cash 5 будут получены идентичные результаты, была гораздо менее поразительной – один шанс на тысячу¹⁶⁴. А ведь Cash 5 – не единственная лотерея в городе. В стране действуют сотни лотерей на пять чисел; если сложить их все вместе, в совпадении результатов на протяжении трех дней не будет ничего удивительного. Это не делает каждое отдельное совпадение менее невероятным. Но здесь снова звучит та же мысль: маловероятные события случаются довольно часто.

И в этом вопросе, как водится, первым стал Аристотель. Несмотря на отсутствие формального понятия, такого как «вероятность», или «правдоподобность», он смог понять:

Пожалуй, можно назвать правдоподобным и то, что со смертными случается много неправдоподобных вещей, ибо случаются вещи противно правдоподобному, так что неправдоподобное делается правдоподобным¹⁶⁵¹⁶⁶.

Как только вы усвоите эту фундаментальную истину, балтиморский брокер больше не будет иметь над вами никакой власти. Крайне маловероятно, чтобы он дал вам десять правильных прогнозов по поводу курсов акций. Учитывая тысячу шансов, которые использовал этот брокер, тот факт, что он дал такие хорошие прогнозы кому-то, даже отдаленно нельзя назвать удивительным. Британский статистик Рональд Эйлмер Фишер сформулировал это так: «Один случай на миллион несомненно произойдет, не более и не менее чем с надлежащей частотой, как бы мы ни поражались тому, что он произошел с нами»¹⁶⁷.

Возможность для маневра и имена раввинов

Дешифровщики Библии не писали десять тысяч версий своей статьи и не отправляли их в десятки тысяч статистических журналов. Именно поэтому сначала трудно понять, что общего между их историей и аферой балтиморского брокера.

Однако, когда математики взялись за решение «трудной, но интересной» задачи, которую Касс поставил перед ними в своем предисловии, и попытались объяснить результаты расшифровки библейского кода иначе, чем «Так сделал Бог», они обнаружили, что этот вопрос не настолько прост, как его пытались подать Вицтум и его коллеги. Тон задали австралийский специалист по теории вычислительных систем Брендан Маккей и израильский математик, работавший тогда в Еврейском университете в Иерусалиме Дрор Бар-Натан. Они высказали важное замечание, что у средневековых раввинов не было паспортов или свидетельств о рождении, в которых были бы указаны их официальные имена. Раввинов часто называли несколькими именами, поэтому разные авторы могли именовать их по-разному. Например, если бы Дуэйн «Скала» Джонсон был знаменитым раввином, под каким именем вы искали бы предсказание о его рождении в Торе – Дуэйн Джонсон, Дуэйн «Скала» Джонсон, Д. С. Джонсон или по всем вместе?

Такая неопределенность создает некоторое пространство для маневра, которым могут воспользоваться искатели библейских кодов. Возьмем в качестве примера раввина Авраама бен Дов Бер Фридмана, хасидского мистика XVIII столетия, который жил и работал в местечке Фастов на Украине. Вицтум, Рипс и Розенберг используют в качестве его имени раввин Авраам и Ха-Малах («ангел»). Но почему, спрашивают Маккей и Бар-Натан, они используют имя Ха-Малах, а не раввин Авраам Ха-Малах – имя, под которым реббе тоже был известен?

Маккей и Бар-Натан пришли к выводу, что такая возможность для маневра в выборе имен привела к существенному изменению качества полученных результатов¹⁶⁸. Они выбрали другие имена раввинов, причем их выбор, по мнению исследователей Библии, был таким же обоснованным, как и выбор Вицтума (правда, один раввин назвал эти два списка «в равной мере ужасными»)¹⁶⁹. В итоге Маккей и Бар-Натан обнаружили, что с новым списком произошло нечто поразительное. Тора как будто больше не указывала ни на даты рождения, ни на даты смерти выдающихся раввинов. Зато в романе «Война и мир», изданном на иврите, они попали в точку, определив имена раввинов и соответствующие даты почти с такой же точностью, как это было сделано Вицтумом по Книге Бытия.

Что бы все это могло значить? Уверяю вас, совсем не то, что Лев Толстой написал свой роман, включив в него скрытые имена раввинов, которые предполагалось раскрыть, когда будет создана современная версия иврита и когда на него переведут классические произведения мировой литературы. Маккей и Бар-Натан скорее поднимают важный вопрос о силе возможности для маневра. Пространство для маневра – это то, что есть у балтиморского брокера, формирующего для себя множество шансов на выигрыш. Пространство для маневра – это то, что есть у инвестиционной компании, когда в ней принимают решение, какие взаимные фонды, втайне проходящие процесс инкубации, можно отнести к числу победителей, а какие непригодны для дальнейшей работы. Пространство для маневра – это то, что использовали Маккей и Бар-Натан, чтобы составить список имен раввинов, которые прекрасно совпали с последовательностями букв в романе «Война и мир». Когда вы пытаетесь сделать достоверные выводы из маловероятных событий, возможность для маневра – ваш враг.

Впоследствии была опубликована статья, в которой шла речь о том, что Маккей и Бар-Натан попросили Симшу Эмануэла, преподавателя Талмуда, работавшего тогда в Тель-Авивском университете, составить еще один список имен раввинов, на этот раз не предназначенный для поиска соответствий ни с Торой, ни с романом «Война и мир»¹⁷⁰. Совпадение имен из этого списка с Торой было совсем ненамного выше обычной случайности. (О том, что получилось с романом Толстого, в статье не сообщается.)

Маловероятно, чтобы любой заданный набор имен раввинов был связан с их датами рождения и смерти в Книге Бытия. Однако при таком разнообразии способов выбора имен нельзя отвергать вероятность того, что среди всех вариантов выбора найдется один вариант, который создаст впечатление, будто в Торе содержится множество настоящих предсказаний. При достаточном количестве шансов найти коды не составит труда. Сделать это еще легче, если использовать менее научный подход Майкла Дроснина к поиску кодов. О людях, которые скептически относятся к идее библейского кода, Дроснин сказал следующее: «Когда мои критики найдут послание об убийстве премьер-министра в романе “Моби Дик”, я им поверю». Маккей тут же отыскал в тексте романа «Моби Дик» эквидистантные последовательности букв, указывающих на убийство Джона Кеннеди, Индиры Ганди, Льва Троцкого и вдобавок самого Дроснина. Когда я пишу эти строки, Дроснин живет и здравствует, несмотря на пророчество. Он пишет в 2010 году третью книгу о библейском коде, при ее продвижении на рынок в одном из выпусков New York Times было размещено рекламное объявление, занявшее целую полосу¹⁷¹. В нем Дроснин предупреждает президента Обаму, что, согласно последовательностям букв в Священном Писании, у Усамы бен Ладена, возможно, уже есть ядерное оружие.

Вицтум, Рипс и Розенберг настаивают на том, что они не похожи на хозяев взаимных фондов, демонстрирующих инвесторам только те эксперименты, которые обеспечивают максимально возможные результаты, а также что их точный список имен был выбран заранее, еще до проведения тестов¹⁷². И это вполне может быть правдой. Даже если все действительно так, поразительный успех в поиске библейских кодов предстает совсем в другом свете. Тот факт, что в Торе, так же как и в романе «Война и мир», можно отыскать какую-то версию имен раввинов, не вызывает удивления. Чудо – если оно действительно произошло – состоит в том, что Вицтума и его коллег что-то подтолкнуло к тому, чтобы выбрать именно те версии имен, по которым в Торе найдены самые близкие соответствия.

Однако есть одна нерешенная проблема, которая должна вызывать у вас некоторое беспокойство. Маккей и Бар-Натан убедительно доказали, что в структуре эксперимента Вицтума было достаточно возможности для маневра, чтобы объяснить библейские коды. Однако статья Вицтума была проверена посредством стандартных статистических тестов – тех самых, которые ученые используют для оценки заявлений по поводу всего, от лекарственных препаратов до экономической политики. В противном случае его статья не была бы принята журналом Statistical Science. Но, если работа прошла проверку, разве не должны мы принять и сделанные в ней выводы, какими бы странными они нам ни казались? Или сформулируем иначе: если мы можем спокойно отбросить выводы исследования Вицтума, то отвечает ли это нашим представлениям о надежности стандартных статистических тестов?

В любом случае подобная постановка вопроса должна вызывать у нас некоторую тревогу. Оказывается, ученые и статистики давно уже этим обеспокоены – независимо от исследований Торы.

Глава седьмая. Есть ли у дохлой рыбы эмоциональная реакция

Дело вот в чем: шумиха по поводу библейского кода была поднята не просто так, поскольку это отнюдь не единственный случай, когда с помощью стандартных статистических инструментов получали результаты, более напоминающие магию. Одна из актуальных тем в медицинской науке – функциональная нейровизуализация. Появление все более и более точных сенсорных датчиков открывает перед современными учеными возможность наблюдать в реальном времени, как человеческие мысли и чувства вспыхивают среди синапсов. Во время ежегодной конференции Организации по нейровизуализации головного мозга человека (The Organization for Human Brain Mapping, OHBM), которая проводилась в Сан-Франциско в 2009 году, нейробиолог из Санта-Барбары Крейг Беннетт представил стендовый доклад под названием «Нейронные корреляты видения ситуации с межвидовой точки зрения, полученные после смерти атлантического лосося: аргумент в пользу коррекции множественных сравнений результатов»¹⁷³. Понадобится какое-то время, чтобы осознать, что подразумевали авторы под сугубо специальными терминами, но затем становится очевидным весьма необычный характер представленных в докладе выводов. Мертвую рыбу подвергли сканированию с помощью функциональной магнитно-резонансной томографии (фМРТ); исследователи показывали рыбе серию фотографий людей в разных ситуациях и, к своему удивлению, отметили определенную активность умершего мозга. Дохлая рыба практически правильно оценивала эмоции людей, изображенных на фотографиях. Полученный результат оказался бы впечатляющим даже для живого человека или живой рыбы, но в случае мертвой… этот эксперимент тянул на полную Нобелевскую премию!

Разумеется, данное исследование было не более чем шуткой, представленной в крайне серьезном тоне. (Причем прекрасно разыгранной. Особенно мне понравилось строгое описание эксперимента. «Предмет исследования: один зрелый атлантический лосось (Salmo salar), подвергнутый исследованию МРТ. Особь длиной примерно 18 дюймов и весом 3,8 фунта¹⁷⁴; мертвая на момент сканирования. Методы: для ограничения движения лосося во время сканирования в головную катушку была залита пена, что оказалось излишним, поскольку двигательная активность испытуемого была крайне низкой»¹⁷⁵.) Розыгрыш, устроенный группой Крейга Беннетта, подобно всем шуткам, содержит завуалированную критику, в данном случае адресованную специалистам по нейровизуализации, допускающим методологическую небрежность в своих исследованиях, что часто влечет за собой ошибочные умозаключения. Просто они забывают об одной фундаментальной истине – маловероятные события случаются довольно часто¹⁷⁶.

Нейробиологи делят сканограмму фМРТ на десятки тысяч маленьких фрагментов, которые называются «вокселы»¹⁷⁷. Каждый из них соответствует небольшому участку головного мозга. Когда сканируется мозг, пусть даже мозг холодной дохлой рыбы, через каждый воксел проходит определенное количество случайного шума. Маловероятно, что такой шум приведет к появлению пика на сканограмме именно в ту минуту, когда рыбе показывают фотографию человека с ярко выраженной эмоцией. Однако нервная система, состоящая из десятков тысяч вокселов, очень велика. И также велика вероятность, что один из вокселов предоставит данные, которые смогут прочитываться как реакция на фотографии. Именно этот момент выяснили Беннет и его коллеги: они обнаружили две группы вокселов, отреагировавших на человеческие эмоции, – одну в средней мозговой полости, а другую в верхнем сегменте позвоночника. Статья Беннетта предупреждает всех нас, что в современную эпоху, когда без труда получают огромные массивы данных, стандартные методы оценки результатов – то, как мы проводим грань между реальным явлением и случайной помехой, – оказались под большим вопросом. Если даже почивший навсегда лосось удачно проходит проверку на эмпатию, то необходимо срочно и очень серьезно задуматься: достаточно ли строгие критерии доказательства мы используем.

Чем больше вы оставляете себе шансов на то, чтобы испытать удивление, тем выше должен быть ваш порог удивления. Если кто-то, исключивший из своего рациона все злаки, выращенные в Северной Америке, пишет в интернете, что сбросил почти семь килограммов веса и избавился от экземы, вы не должны воспринимать сей факт как веское доказательство в пользу диеты, подразумевающей полный отказ от потребления кукурузы. Если кто-то выпустит книгу о такой диете, а тысячи людей, купив эту книгу, попробуют на себе эту диету, велика вероятность, что только по случайному стечению обстоятельств на следующей неделе один из читателей сбросит вес и его кожа станет чистой. Именно он, этот счастливчик, зарегистрируется на сайте под именем saygoodbye2corn452¹⁷⁸ и разместит там свой взволнованный отзыв. Но все остальные – все, кто опробовал волшебную диету и не достиг желаемых результатов, – они просто промолчат.

Поистине неожиданный результат работы Беннетта заключается не в том, что один или два воксела в мозгу мертвой рыбы прошли статистический тест. Важно другое: в очень большом количестве статей по нейровизуализации, которые он изучил, даже речи не шло об использовании статистической защиты (метод, известный как «коррекция множественных сравнений результатов», или «коррекция на множественное тестирование»), принимающей во внимание вездесущность маловероятного. Без такой коррекции ученые рискуют каждый раз воссоздавать своего рода аферу балтиморского фондового брокера, втягивая в нее не только себя, но и своих коллег. Испытывать возбуждение по поводу дохлой рыбы, чьи вокселы отреагировали на фотографии, и игнорировать все остальные параметры – так же опасно, как и приходить в волнение из-за потока информационных писем с якобы правильными прогнозами курса акций и при этом не учитывать наличие других рассылок, с ошибочными прогнозами.

Вычисления в обратном порядке, или почему алгебра столь трудна для понимания

В процессе обучения есть два опасных поворота, из-за которых у многих детей возникают трудности с изучением математики. Первый наступает в начальной школе, когда вводится понятие дроби. До этого момента любое число было натуральным, одним из ряда 0, 1, 2, 3… Такие числа представляют собой ответ на вопрос «сколько?»¹⁷⁹. То есть пока мы имели дело с весьма простым понятием, настолько примитивным, что, если довериться слухам, его постигают даже многие животные¹⁸⁰. Переход от этого понятия к гораздо более широкой концепции, где число может означать «какая часть», – слишком серьезный шаг, который можно приравнять к мировоззренческому сдвигу. («Бог создал натуральные числа. Все остальное – творение человека», – сказал Леопольд Кронекер, алгебраист XIX столетия.)

Второй опасный поворот – алгебра. Почему она так трудна для понимания? Потому что до появления алгебры все числовые вычисления выполняются сугубо алгоритмически. Вы вводите определенные числа в некое устройство для выполнения операции сложения, умножения или (в школах с традиционным подходом к обучению) даже деления столбиком – и, повернув рычаг, получаете на выходе результат.

Алгебра представляет собой нечто иное. Это вычисления в обратном порядке. Предположим, вам нужно решить такой пример:

x + 8 = 15

Вы знаете, что получено на выходе данного устройства для операции сложения (а именно 15); вам необходимо методом обратных вычислений определить, что было введено в это устройство вместе с числом 8.

В данном случае, как вам наверняка объяснил учитель математики в седьмом классе, можно выполнить перенос из одной части уравнения в другую, чтобы известные числа оказались с одной стороны:

x = 15 – 8

После этого можно просто ввести числа 15 и 8 в устройство для выполнения операции вычитания (позаботившись при этом, чтобы числа вводились в правильном порядке), определив таким способом, что x должен быть равен 7.

Однако не всегда все так просто. Возможно, вам понадобится решить квадратное уравнение такого типа:

x² – x = 1.

Я уже слышу ваши протесты! Да что вы говорите? Серьезно?

Действительно, с какой стати вам вообще делать это, если только вы не получили от учителя такого задания?

Помните ту ракету из второй главы? Ведь она и поныне все еще бешено мчится к вам.

Возможно, вы уже знаете: эта ракета запущена с высоты 100 метров над поверхностью земли и движется вверх со скоростью 200 метров в секунду. Если не было бы силы тяжести, она продолжала бы лететь вверх по прямой в соответствии с законами Ньютона, каждую секунду поднимаясь на очередных 200 метров. Через x секунд ракета была бы расположена на высоте, которую описывает следующая линейная функция:

высота = 100 + 200x.

Однако существует такая вещь, как сила тяжести, которая изгибает траекторию движения ракеты и заставляет ее двигаться по кривой назад, к поверхности земли. Оказывается, это воздействие силы тяжести можно описать уравнением, содержащим квадратичный член:

высота = 100 + 200x – 5x²,

где знак минуса стоит перед квадратичным членом только потому, что сила тяжести толкает ракету вниз, а не вверх.

Существует много вопросов, которые вы можете задать по поводу летящей к вам ракеты, однако самый важный из них звучит просто: когда же она наконец приземлится? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо определить, когда высота местоположения ракеты будет равна нулю, другими словами – найти значение x, при котором уравнение приобретет такой вид:

100 + 200x – 5x² = 0.

Совершенно непонятно, как именно в этом уравнении следовало бы выполнить перестановку, чтобы найти x. Может быть, вам и не понадобится этого делать. Метод последовательного приближения – это мощное оружие. Если в представленную выше формулу подставить x = 10, чтобы увидеть, на какой высоте будет ракета через 10 секунд, получится 1600 метров. Подставьте x = 20 – и получите 2100 метров – значит, ракета все еще летит вверх. При x = 30 вы снова получите 1600 метров, а это значит, что пик уже пройден. При x = 40 ракета снова окажется на высоте 100 метров над поверхностью земли. Можно было бы прибавить еще 10 секунд, но, когда мы настолько близки к столкновению, это наверняка слишком большой промежуток времени. Подставив в формулу x = 41, вы получите −105 метров. Это не означает, что, согласно вашим оценкам, ракета ушла под землю; скорее, это означает, что столкновение уже произошло, поэтому ваша красивая, чистая модель движения ракеты, как говорят в баллистике, больше не работает.

Итак, если 41 секунда – слишком много, как насчет 40,5 секунды? Это значение дает −1,25 метра, чуть меньше нуля. Переведите часы еще немного назад, на 40,4 секунды – и получите 19,2 метра, а значит, столкновение еще не произошло. Как насчет 40,49 секунды? Очень близко, всего 0,8 метра над поверхностью земли. Данный процесс можно продолжать и дальше.

Как видите, применяя метод подбора, осторожно перемещая стрелку часов то вперед, то назад, можно получить настолько близкое значение времени столкновения ракеты с землей, насколько захотите.

Но действительно ли мы «решили» уравнение? Скорее всего, вы не позволите себе ответить утвердительно; ведь даже если вы продолжите корректировать свои догадки по поводу времени столкновения ракеты с поверхностью земли, пока не получите

40,4939015319…

секунды после запуска ракеты, все равно у вас нет самого ответа, а есть только его приближенное значение. Однако на практике нет необходимости определять время столкновения до миллионной доли секунды, не так ли? Пожалуй, вполне довольно было бы сказать «около 40 секунд». Попытавшись получить любой более точный ответ, вы только потратите время зря. Кроме того, по всей вероятности, этот ответ все равно будет неправильным, поскольку наша простая модель движения ракеты не учитывает многие другие факторы, такие как сопротивление воздуха, изменение сопротивления воздуха в зависимости от погоды, вращение самой ракеты и так далее. Воздействие всех факторов может быть незначительным, но их достаточно для того, чтобы удержать вас от попыток определить время встречи ракеты с землей с точностью до микросекунды.

Если вам действительно необходимо точное решение, не беспокойтесь – вам поможет формула корней квадратного уравнения. Возможно, когда-то в прошлом вы уже проходили эту формулу, но вряд ли вы сейчас ее вспомните. Правда, может быть, у вас феноменальная память? Или вам только двенадцать лет? В таком случае вот она: если х – это решение уравнения

c + bx + ax² = 0

где a, b и c – это какие угодно числа, тогда

В случае с ракетой c = 100, b = 200, а a = −5. Следовательно, согласно данной формуле корней квадратного уравнения х равно:

Большинство символов, присутствующих в этой формуле, можно ввести в калькулятор, но есть один забавный символ, выпадающий из общего ряда: символ ±. Создается впечатление, будто знак плюс и знак минус очень любят друг друга, что не так уж далеко от истины. Этот символ говорит: хотя мы и начали свое математическое предложение с утверждения о том, что

х =

в итоге мы все равно окажемся в состоянии неопределенности. Символ ± (подобно пустой фишке в игре Scrabble) можно прочитать и как +, и как −, в зависимости от того, что мы выберем. Каждый сделанный нами выбор позволяет получить значение х, при котором выполняется уравнение 100 + 200x – 5x² = 0. Следовательно, у этого уравнения не одно, а два решения.

Тот факт, что этому уравнению удовлетворяют два значения х, можно определить на глаз, даже если вы давно забыли формулу корней квадратного уравнения. Для этого можно нарисовать график уравнения y = 100 + 200x – 5x², получив красивую перевернутую параболу:

Горизонтальная линия – ось х; на ней расположены те точки на плоскости, ордината которых равна 0. Когда кривая y = 100 + 200x – 5x² пересекается с осью х, должно быть верно как то, что y равно 100 + 200x – 5x², так и то, что y = 0; следовательно, 100 + 200x – 5x² = 0 – в точности то уравнение, которое мы пытаемся решить, только теперь оно представлено в геометрическом виде, а вопрос состоит в пересечении кривой с горизонтальной осью.

Геометрическая интуиция подсказывает: если такая парабола расположена над осью х, она должна пересекать эту ось в двух точках – ни больше, ни меньше. Другими словами, существует два значения х, при которых 100 + 200x – 5x² = 0.

Так какие это значения?

Если мы интерпретируем символ ± как «плюс», то получим

x = 20 + 2√105,

что равно 40,4939015319… – тот же ответ, который мы получили методом последовательного приближения. Но, выбрав знак «минус», мы получим

x = 20 – 2√105,

что равно –0,4939015319…

В качестве ответа на наш первоначальный вопрос это решение в каком-то смысле абсурдно. В ответ на вопрос: «Когда ракета ударит по мне?» – нельзя сказать: «Полсекунды назад».

Тем не менее это отрицательное значение х представляет собой решение данного уравнения, а когда математика говорит нам что-то, мы должны хотя бы попытаться прислушаться к ней. Что означает отрицательное число? Вот один из способов понять это. Мы сказали, что ракета была запущена с высоты 100 метров над поверхностью земли, со скоростью 200 метров в секунду. Однако на самом деле это означало только то, что в момент времени 0 ракета двигалась вверх с указанной скоростью с данного местоположения. Что если на самом деле ракета была запущена из другого места? Может быть, запуск ракеты произошел не в момент 0 с высоты 100 метров, а немного раньше, причем прямо с поверхности земли. В какое же время это произошло?

Расчеты говорят нам о следующем: существует в точности два момента времени, в которые ракета находится на уровне земли. Один момент – 0,4939… секунды назад. Именно в это время ракета была запущена. Другой момент – через 40,4939… секунды от настоящего момента. В это время ракета приземлится.

Вполне возможно, что получение двух ответов на один и тот же вопрос не кажется вам проблематичным, особенно если вы привыкли иметь дело с формулой корней квадратного уравнения. Однако, если вам исполнилось всего двенадцать лет, это порождает настоящий мировоззренческий сдвиг. Вы провели шесть долгих лет учебы в школе, пытаясь разобраться, в чем же ответ, а теперь выясняется, что такой вещи вообще нет.

И это только квадратные уравнения! А если вам придется решить такое уравнение:

x³ + 2x² – 11x = 12?

Это кубическое уравнение, другими словами, уравнение, в котором есть х, возведенный в третью степень. К счастью, существует формула корней кубического уравнения, позволяющая посредством прямых вычислений определить, какое значение х можно ввести в решающее устройство, повернуть рычаг и получить ответ 12. Но вы не учили в школе формулу корней кубического уравнения, поскольку это достаточно сложное уравнение, составленное только в конце эпохи Возрождения, когда странствующие алгебраисты скитались по всей Италии, втягивая друг друга в ожесточенные математические баталии, в которых ставкой выступало решение уравнений, а на кону стояли деньги и статус. Немногие математики, знавшие формулу корней кубического уравнения, держали ее в секрете и записывали только в виде зашифрованных стихов¹⁸¹.

Но это длинная история. Суть в том, что метод обратных вычислений довольно сложен.

Трудность задачи логического вывода (той самой задачи, над решением которой работали исследователи, искавшие в библейские скрытые коды) обусловлена тем, что это именно такая задача. Будь мы ученые, или исследователи Торы, или малыши, изумленно взирающие на тучи, – в любом случае мы имеем дело лишь с наблюдениями. На их основе мы строим гипотезы: из какого исходного материала создан мир, который мы видим? Логический вывод таков: мы столкнулись с трудной задачей, возможно, самой трудной из всех задач. Отталкиваясь от формы туч и их движения, мы проходим обратный путь, чтобы найти х – систему, которая их создала.