Kitabı oxu: «Elementos. Libros X-XIII»

LIBRO DÉCIMO

DEFINICIONES

1. Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, e inconmensurables aquellas de las que no es posible que haya una medida común.

2. Las líneas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden con la misma área, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un área como medida común ¹ .

3. Dados estos supuestos, se demuestra que hay un número infinito de rectas respectivamente conmensurables e inconmensurables, unas sólo en longitud y otras también en cuadrado con una recta determinada. Llámese entonces racionalmente expresable la recta determinada; y las conmensurables con ella, bien en longitud y en cuadrado, bien sólo en cuadrado, racionalmente expresables y las inconmensurables con ella llámense no racionalmente expresables ² .

4. Y el cuadrado de la recta determinada (llámese) racionalmente expresable, y los cuadrados conmensurables con éste racionalmente expresables; pero los inconmensurables con él llámense no racionalmente expresables; y las rectas que los producen (llámense) no racionalmente expresablas, a saber, si fueran cuadrados, los propios lados y si fueran otras figuras rectilíneas, aquellas (rectas) que construyan cuadrados iguales a ellos ³ .

PROPOSICIÓN 1

Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una (magnitud) mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada.

Sean AB , Γ dos magnitudes desiguales de las cuales AB es la mayor.

Digo que, si se quita de AB una (magnitud) mayor que su mitad y de la (magnitud) restante, una (magnitud) mayor que su mitad, y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud Γ .

Pues Γ multiplicada será alguna vez mayor que AB [V Def. 4]. Multiplíquese y sea ΔE un múltiplo de Γ mayor que AB ; divídase ΔE en ΔZ , ZH , HE iguales a Γ , y de AB quítese BΘ mayor que su mitad, y de AΘ (quítese) ΘK mayor que su mitad, y así sucesivamente hasta que las divisiones de AB lleguen a ser iguales en número a las divisiones de ΔE .

Sean, pues, AK , KΘ , ΘB divisiones que son iguales en número a las (divisiones) ΔZ , ZH , HE ; ahora bien, dado que ΔE es mayor que AB y que de ΔE se ha quitado la (magnitud) EH menor que su mitad y de AB la (magnitud) BΘ mayor que su mitad, entonces la magnitud restante HΔ es mayor que la (magnitud) restante ΘA . Y dado que HΔ es mayor que ΘA y se ha quitado de HΔ su mitad HZ y de ΘA una (magnitud) ΘK mayor que su mitad, entonces la (magnitud) restante ΔZ es mayor que la (magnitud) restante AK . Pero ΔZ es igual a Γ ; luego es mayor que AK . Por tanto, AK es menor que Γ .

Por consiguiente, de la magnitud AB queda la magnitud AK que es menor que la magnitud dada Γ . Q . E . D . De manera semejante demostraríamos que (esto ocurre) también si se quita la mitad ⁴ .

PROPOSICIÓN 2

Si al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor de dos magnitudes desiguales, la restante nunca mide a la anterior, las magnitudes serán inconmensurables.

Habiendo, pues, dos magnitudes desiguales AB , ΓΔ y (siendo) AB la menor, al restar sucesivamente la menor de la mayor, no mida nunca la (magnitud) restante a la anterior a ella.

Digo que las magnitudes AB , ΓΔ son inconmensurables.

Pues, si son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud), si es posible, y sea E ; y AB , al medir a ZΔ , deje la magnitud ΓZ menor que ella, y ΓZ , al medir a BH , deje AH menor que ella, y repítase así sucesivamente hasta que quede una magnitud que sea menor que E . Sea así y quede AH menor que E . Así pues, como E mide a AB y AB mide a ΔZ , entonces E también medirá a ZΔ . Pero mide también a la magnitud entera ΓΔ ; luego medirá también a la magnitud restante ΓZ . Ahora bien, ΓZ mide a BH ; entonces E también mide a BH . Pero mide también a la (magnitud) entera AB ; así que medirá también a la (magnitud) restante AH , la mayor a la menor; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud medirá a las magnitudes AB , ΓΔ ; por tanto, las magnitudes AB , ΓΔ son inconmensurables [X Def. 1].

Por consiguiente, si de dos magnitudes desiguales..., etc. ⁵ .

PROPOSICIÓN 3

Dadas dos magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.

Sean AB , ΓΔ dos magnitudes dadas conmensurables, de las cuales AB sea la menor.

Así pues, hay que hallar la medida común máxima de AB , ΓΔ .

Pues bien, AB o mide a ΓΔ o no la mide. Si, en efecto, la mide y se mide también a sí misma, entonces AB es una medida común de AB , ΓΔ ; y está claro que también es la mayor. Porque no medirá a AB ninguna magnitud mayor que AB .

Pero ahora no mida AB a ΓΔ y, al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor, la (magnitud) restante medirá alguna vez a la anterior a ella, porque AB , ΓΔ no son inconmensurables [X 2]; y AB , al medir a EΔ , deje la (magnitud) EΓ menor que ella, y EΓ , al medir a ZB , deje la (magnitud) AZ menor que ella y mida AZ a ΓE .

Como, en efecto, AZ mide a ΓE , mientras que ΓE mide a ZB , entonces AZ medirá también a ZB . Pero también se mide a sí misma; luego AZ medirá también a la (magnitud) entera AB . Ahora bien, AB mide a ΔE ; entonces AZ medirá también a EΔ . Pero mide también a ΓE ; luego mide también a la (magnitud) entera ΓΔ ; por tanto, AZ es una medida común de AB , ΓΔ .

Digo ahora que también es la mayor. Pues, si no, habrá una magnitud mayor que AZ que medirá a AB , ΓΔ . Sea H . Así pues, dado que H mide a AB , mientras que AB mide a EΔ , entonces H medirá a EΔ . Pero mide también a la (magnitud) entera ΓΔ ; luego H medirá también a la (magnitud) restante ΓE . Pero ΓE mide a ZB ; luego H medirá también a ZB . Pero también mide a la (magnitud) entera AB y medirá también a la (magnitud) restante AZ , la mayor a la menor; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud mayor que AZ medirá a AB , ΓΔ ; por tanto AZ es la medida común máxima de AB , ΓΔ .

Por consiguiente, se ha hallado la medida común máxima, AZ , de las dos magnitudes dadas AB , ΓΔ . Q . E . D .

Porisma:

A partir de esto queda claro que, si una magnitud mide a dos magnitudes, medirá también a su medida común máxima ⁶ .

PROPOSICIÓN 4

Dadas tres magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.

Sean A , B , Γ las tres magnitudes conmensurables dadas.

Así pues, hay que hallar la medida común máxima de A , B , Γ .

Tómese, pues, la medida común máxima de A , B y sea Δ [X 3]. Pues bien, o Δ mide a Γ o no la mide. En primer lugar, mídala. Así pues Δ mide a Γ , y mide también a A , B , entonces Δ mide a A , B , Γ ; por tanto Δ es una medida común de A , B , Γ . Y está claro que también la mayor, porque una magnitud mayor que la magnitud Δ no mide a A , B .

No mida ahora Δ a Γ .

Digo en primer lugar que Γ , Δ son conmensurables.

Porque como A , B , Γ son conmensurables, las medirá alguna magnitud que evidentemente medirá también a A , B ; de modo que la medida común máxima de A , B medirá también a Δ . Y mide también a Γ ; de modo que la antedicha magnitud medirá también a Δ , la medida común máxima de A , B [X 3 Por.], luego Γ , Δ son conmensurables.

Pues bien, tómese su medida común máxima y sea E [X 3]. Así pues, dado que E mide a Δ , mientras que Δ mide a A , B , entonces E medirá también a A , B . Pero mide también a Γ . Luego E mide a A , B , Γ ; por tanto E es una medida común de A , B , Γ .

Digo ahora que también la mayor.

Pues, si es posible, sea Z una magnitud mayor que E y mida a A , B , Γ . Ahora bien, puesto que Z mide a A , B , Γ , entonces medirá también a A , B y a la medida común máxima de A , B [X 3 Por.]. Pero la medida común máxima de A , B es Δ ; entonces Z mide a Δ . Pero mide también a Γ ; luego Z mide a Δ . Y mide también a Γ . Por tanto Z mide a Γ , Δ ; entonces Z medirá también a la medida común máxima de Γ , Δ [X 3 Por.]. Pero es E ; luego Z medirá a E , la mayor a la menor; lo cual es imposible. Por tanto, ninguna (magnitud) mayor que la magnitud E mide a A , B , Γ ; luego la medida común máxima de A , B , Γ es E , si Δ no mide a Γ , y si la mide, es la propia (magnitud) Δ .

Por consiguiente, se ha hallado la medida común máxima de las tres magnitudes conmensurables dadas.

Porisma:

A partir de esto queda claro que, si una magnitud mide a tres magnitudes, medirá también a su medida común máxima.

De manera semejante se hallará la medida común máxima de más magnitudes y se extenderá el porisma. Q . E . D . ⁷ .

PROPOSICIÓN 5

Las magnitudes conmensurables guardan entre sí la misma razón que un número guarda con un número.

Sean A , B magnitudes conmensurables.

Digo que A guarda con B la misma razón que un número con un número.

Pues, como A , B son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas una magnitud y sea Γ . Y cuantas veces Γ mida a A , tantas unidades haya en Δ , y cuantas veces Γ mida a B , tantas unidades haya en E .

Así pues, dado que Γ mide a A según las unidades de Δ y la unidad mide a Δ según sus unidades, entonces la unidad mide al número Δ el mismo número de veces que la magnitud Γ a la (magnitud) A ; luego, como Γ es a A , así la unidad es a Δ [VII Def. 20]; entonces, por inversión, como A es a Γ , así Δ a la unidad [V 7 Por.]. Como Γ mide a su vez a Δ según las unidades de E , mientras que la unidad mide también a E según sus unidades, entonces la unidad mide a E el mismo número de veces que Γ a B . Luego, como Γ es a B , así la unidad es al (número) E . Pero se ha demostrado que también como A es a Γ , Δ es a la unidad. Luego, por igualdad, como A es a B , así el número Δ es al (número) E [V 22].

Por consiguiente, las magnitudes conmensurables A , B guardan entre sí la misma razón que el número Δ con el número E . Q . E . D . ⁸ .

PROPOSICIÓN 6

Si dos magnitudes guardan entre sí la razón que un número (guarda) con un número, las magnitudes serán conmensurables.

Guarden, pues, las dos magnitudes A , B entre sí la razón que el número Δ (guarda) con el número E .

Digo que las magnitudes A , B son conmensurables.

Pues divídase A en tantas (magnitudes) iguales como unidades hay en Δ , y sea Γ igual a una de ellas; y compóngase Z de tantas unidades iguales a Γ como unidades hay en E .

Así pues, dado que, cuantas unidades hay en Δ , tantas magnitudes iguales a Γ hay en A , entonces, la parte que la unidad es de Δ , la misma parte es también Γ de A ; luego, como Γ es a A , así la unidad es a Δ [VII Def. 20]. Pero la unidad mide al número Δ ; entonces también Γ mide a A . Ahora bien, dado que, como Γ es a A , así la unidad es al (número) Δ , entonces, por inversión, como A es a Γ , así el número Δ es a la unidad [V 7 Por.]. Y puesto que, cuantas unidades hay en E , tantas hay a su vez en Z iguales a Γ , entonces como Γ es a Z , así la unidad es al (número) E [VII Def. 20]. Pero se ha demostrado que también como A es a Γ , así Δ a la unidad; entonces, por igualdad, como A es a Z , así Δ a E [V 22]; ahora bien, como Δ es a E , así A a B ; entonces, como A es a B , así también a Z [V 11]. Luego A guarda la misma razón con cada una de las (magnitudes) B , Z ; por tanto, B es igual a Z [V 9]. Pero Γ mide a Z ; luego mide también a B . Pero también a A ; luego Γ mide a A , B . Por tanto, A es conmensurable con B .

Por consiguiente, si dos magnitudes guardan entre sí..., etc.

Porisma:

A partir de esto queda claro que, si hay dos números, como Δ , E , y una recta, como A , es posible hacer una recta [Z ] que sea a la recta como el número Δ es al número E . Pero, si se toma una media proporcional de A , Z , como B , como A es a Z , así el cuadrado de A será al cuadrado de B , es decir que como la primera es a la tercera, así la (figura) construida sobre la primera es a la figura semejante y construida de manera semejante sobre la segunda [VI 19 Por.]. Pero como A es a Z , así el número Δ es al número E ; entonces como el número Δ es al número E , así también la figura construida sobre la recta A ⁹ a la figura construida sobre la recta B . Q . E . D .

PROPOSICIÓN 7

Las magnitudes inconmensurables no guardan entre sí la razón que un número guarda con un número.

Sean A , B , magnitudes inconmensurables.

Digo que A no guarda con B la razón que un número guarda con un número.

Pues, si A guarda con B la razón que un número guarda con un número, A será conmensurable con B [X 6]. Pero no lo es; por tanto, A no guarda con B la razón que un número guarda con un número.

Por consiguiente, las magnitudes inconmensurables no guardan entre sí la razón..., etc.

PROPOSICIÓN 8

Si dos magnitudes no guardan entre sí la razón que un número guarda con un número, las magnitudes serán inconmensurables.

No guarden, pues, entre sí las dos magnitudes A , B la razón que un número guarda con un número.

Digo que las magnitudes A , B son inconmensurables.

Pues, si son conmensurables, A guardará con B la razón que un número guarda con un número [X 5]. Pero no la guarda. por tanto, las magnitudes A , B son inconmensurables.

Por consiguiente, si dos magnitudes guardan entre sí..., etc.

PROPOSICIÓN 9

Los cuadrados de rectas conmensurables en longitud guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; y los cuadrados que guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tendrán también los lados conmensurables en longitud. Pero los cuadrados de las rectas inconmensurables en longitud no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, y los cuadrados que no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tampoco tendrán los lados conmensurables en longitud.

Sean, pues, A , B conmensurables en longitud.

Digo que el cuadrado de A guarda con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

Pues como A es conmensurable en longitud con B , entonces A guarda con B la razón que un número guarda con un número [X 5]. Guarde la razón de Γ a Δ . Pues bien, dado que, como A es a B , así Γ a Δ , mientras que el cuadrado de A guarda con el cuadrado de B una razón duplicada de la que A guarda con B , porque las figuras semejantes guardan una razón duplicada de la de sus lados correspondientes [VI 20 Por.]; y dado que el cuadrado de Γ guarda con el cuadrado de Δ una razón duplicada de la que Γ guarda con Δ , porque entre dos números cuadrados hay un número que es media proporcional, y el número cuadrado guarda con el número cuadrado una razón duplicada de la que el lado guarda con el lado [VIII 11]; luego como el cuadrado de A es al cuadrado de B , así el cuadrado de Γ es al cuadrado de Δ .

Pero ahora, como el cuadrado de A es al cuadrado de B , sea así el cuadrado de Γ al cuadrado de Δ .

Digo que A es conmensurable en longitud con B .

Pues, dado que, como el cuadrado de A es al cuadrado de B , así el cuadrado de Γ al de Δ, mientras que el cuadrado de A guarda con el cuadrado de B una razón duplicada de la que A guarda con B , y el cuadrado de Γ guarda con el cuadrado de Δ una razón duplicada de la que Γ guarda con Δ , entonces, como A es a B , así Γ a Δ . Luego A guarda con B la razón que el número Γ guarda con el número Δ . Por tanto A es conmensurable en longitud con B [X 6].

Sea ahora A inconmensurable en longitud con B .

Digo que el cuadrado de A no guarda con el de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

Pues si el cuadrado de A guarda con el de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, A será conmensurable con B . Pero no lo es; luego el cuadrado de A no guarda con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

No guarde ahora el cuadrado de A con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

Digo que A es inconmensurable en longitud con B .

Pues si A es conmensurable con B , el cuadrado de A guardará con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, pero no la guarda; luego A no es conmensurable en longitud con B .

Por consiguiente, los cuadrados de (rectas) conmensurables en longitud, etc. ¹⁰ .

Porisma:

Y a partir de lo demostrado quedará claro que las rectas conmensurables en longitud también lo son siempre en cuadrado, mientras que las conmensurables en cuadrado no lo son siempre en longitud ¹¹ .

LEMA

Se ha demostrado en los libros de aritmética que los números planos semejantes guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado [VIII 26], y que si dos números guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, son números planos semejantes [VIII 26 conversa]. Y es evidente a partir de esto que los números planos no semejantes, es decir los que no tienen los lados proporcionales, no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; pues, si la guardan, serán planos semejantes; lo cual precisamente se ha supuesto que no; luego los números planos no semejantes no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado ¹² .

PROPOSICIÓN 10

Hallar dos rectas inconmensurables, una sólo en longitud, otra también en cuadrado, con una recta determinada.

Sea A la recta determinada.

Así pues, hay que hallar dos rectas inconmensurables, una sólo en longitud, otra también en cuadrado, con la recta determinada A .

Tómense, pues, dos números B , Γ que no guarden entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, es decir que no sean números planos semejantes y hágase de forma que, como B es a Γ , así el cuadrado de A al cuadrado de Δ , pues hemos aprendido (a hacerlo) [X 6 Por.]; entonces, el cuadrado de A es conmensurable con el cuadrado de Δ [X 6]. Ahora bien, dado que B no guarda con Γ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de A tampoco guarda con el cuadrado de Δ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego A es inconmensurable en longitud con Δ [X 9].

Tómese la media proporcional E de A , Δ ; entonces, como A es a Δ , así el cuadrado de A es al cuadrado de E [V Def. 9]. Pero A es inconmensurable en longitud con Δ ; luego el cuadrado de A es también inconmensurable con el cuadrado de E [X 11]; por tanto A es inconmensurable en cuadrado con E .

Por consiguiente, se han hallado dos rectas inconmensurables, Δ , E , una, Δ , sólo en longitud y la otra, E , en cuadrado y también obviamente en longitud, con la recta determinada A ¹³ .

PROPOSICIÓN 11

Si cuatro magnitudes son proporcionales y la primera es conmensurable con la segunda, también la tercera será conmensurable con la cuarta, y si la primera es inconmensurable con la segunda, la tercera será también inconmensurable con la cuarta.

Sean A , B , Γ , Δ cuatro magnitudes proporcionales, es decir: como A es a B , así Γ a Δ , y sea A conmensurable con B .

Digo que Γ también será conmensurable con Δ .

Pues como A es conmensurable con B , entonces A guarda con B la razón que un número guarda con un número [X 5]. Y como A es a B , así Γ a Δ . Entonces Γ guarda también con Δ la razón que un número guarda con un número; luego Γ es conmensurable con Δ [X 6].

Pero ahora sea A inconmensurable con B .

Digo que Γ también será inconmensurable con Δ.

Pues como A es inconmensurable con B , entonces A no guarda con B la razón que un número guarda con un número [X 7]. Y A es a B como Γ es a Δ. Entonces Γ tampoco guarda con Δ la razón que un número guarda con un número; luego Γ es inconmensurable con Δ [X 8].

Por consiguiente, si cuatro magnitudes..., etc.

PROPOSICIÓN 12

Las magnitudes conmensurables con una misma magnitud son también conmensurables entre sí.

Sea, pues, conmensurable cada una de las magnitudes A , B con la magnitud Γ .

Digo que A es también conmensurable con B .

Pues como A es conmensurable con Γ , entonces A guarda con Γ la razón que un número guarda con un número [X 5]. Guarde la razón de Δ a E . Puesto que a su vez Γ es conmensurable con B , entonces Γ guarda con B la razón que un número guarda con un número [X 5]. Guarde la razón de Z a H . Y dadas cuantas razones se quiera, a saber, la de Δ a E y la de Z a H , tómense los números Θ , K , Λ sucesivamente en las razones dadas [VIII 4]; de modo que, como Δ es a E , así Θ a K , y como Z es a H , así K a Λ .

Así pues, dado que, como A es a Γ , así Δ a E , mientras que, como Δ es a E , así Θ a K , entonces como A es a Γ , así también Θ a K [V 11]. Y puesto que, como Γ es a B , así Z es a su vez a H , mientras que, como Z es a H , K es a Λ , entonces, como Γ es a B , así K a Λ [V 11]. Pero, como A es a Γ , así también Θ a K ; entonces, por igualdad, como A es a B , así Θ a Λ [V 22]. Luego A guarda con B la razón que el número Θ guarda con el número Λ ; por tanto A es conmensurable con B [X 6].

Por consiguiente, las (magnitudes) conmensurables con una misma magnitud son conmensurables entre sí. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 13

Si hay dos magnitudes conmensurables y una de ellas es inconmensurable con otra magnitud cualquiera, también la restante será inconmensurable con ella.

Sean A , B dos magnitudes conmensurables y una de ellas, A , sea inconmensurable con otra magnitud cualquiera, Γ .

Digo que la restante, B , es también inconmensurable con Γ .

Pues si B es conmensurable con Γ , y A es también conmensurable con B , entonces A es conmensurable con Γ [X 12]. Pero es también inconmensurable; lo cual es imposible. Por tanto B no es conmensurable con Γ ; luego es inconmensurable (con ella).

Por consiguiente, si dos magnitudes conmensurables..., etc.

LEMA

Dadas dos rectas desiguales hallar en cuánto el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor.

Sean AB , Γ las dos rectas desiguales dadas, de las cuales sea AB la mayor.

Así pues hay que hallar en cuánto es mayor el cuadrado de AB que el de Γ .

Descríbase sobre AB el semicírculo AΔB y adáptese a él la (recta) AΔ igual a Γ [IV 1] y trácese ΔB . Entonces está claro que el ángulo AΔB es recto [III 31] y que el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de AΔ , es decir de Γ , en el cuadrado de ΔB [I 47].

De manera semejante, dadas dos rectas, se hallará la recta cuyo cuadrado es igual a los cuadrados de ellas, de la siguiente manera:

Sean AΔ , ΔB las dos rectas dadas y sea lo requerido hallar la recta cuyo cuadrado es igual a los cuadrados de ellas. Pónganse pues de modo que sea recto el ángulo comprendido por AΔ , ΔB, y trácese AB ; está claro de nuevo que AB es la (recta) cuyo cuadrado es igual a los de AΔ , ΔB [I 47]. Q . E . D . ¹⁴ .

PROPOSICIÓN 14

Si cuatro rectas son proporcionales, y el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta conmensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una (recta) conmensurable con la tercera. Y si el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta inconmensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella (la tercera).

Sean A , B , Γ , Δ cuatro rectas proporcionales (tales que) como A es a B , así Γ a Δ , y sea el cuadrado de A mayor que el de B en el cuadrado de E , y el cuadrado de Γ sea mayor que el de Δ en el cuadrado de Z .

Digo que si A es conmensurable con E , Γ será también conmensurable con Z , pero si A es inconmensurable con E , Γ será también inconmensurable con Z .

Pues, dado que, como A es a B , así Γ a Δ , entonces, como el cuadrado de A es al cuadrado de B , así también el cuadrado de Γ al de Δ [VI 22]. Pero los cuadrados de E , B son iguales al cuadrado de A , y los cuadrados de Δ , Z son iguales al cuadrado de Γ . Entonces, como los cuadrados de E , B son al cuadrado de B , así los cuadrados de Δ , Z al cuadrado de Δ ; luego, por separación, como el cuadrado de E es al cuadrado de B , así el cuadrado de Z al cuadrado de Δ [V 17]; por tanto, como E es a B , así Z a Δ [VI 22]; entonces, por inversión, como B es a E , así Δ a Z . Pero como A es a B , así también Γ a Δ ; luego, por igualdad, como A es a E , así Γ a Z [V 22]. Ahora bien, si A es conmensurable con E , Γ es también conmensurable con Z , pero si A es inconmensurable con E , Γ es también inconmensurable con Z [X 11].

Por consiguiente..., etc. ¹⁵ .

PROPOSICIÓN 15

Si se suman dos magnitudes conmensurables, la (magnitud) total también será conmensurable con cada una de ellas; y si la (magnitud) total es conmensurable con cada una de ellas, también las magnitudes iniciales serán conmensurables.

Súmense, pues, las dos magnitudes conmensurables AB , BΓ .

Digo que la (magnitud) total AΓ es también conmensurable con cada una de las (magnitudes) AB , BΓ .

Pues como AB , BΓ son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud) y sea Δ . Así pues, dado que Δ mide a AB , BΓ , medirá también a la magnitud total AΓ . Pero mide también a AB , BΓ . Entonces Δ mide a AB , BΓ , AΓ . Luego AΓ es conmensurable con cada una de las magnitudes AB , BΓ [X Def. 1].

Pero ahora sea AΓ conmensurable con AB .

Digo que AB , BΓ son también conmensurables.

Pues como AΓ , AB son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud) y sea Δ . Así pues, dado que Δ mide a ΓA , AB, entonces medirá también a la magnitud restante BΓ . Pero también mide a AB ; entonces Δ medirá a AB , BΓ . Luego AB, BΓ son conmensurables [X Def. 1]

Por consiguiente, si dos magnitudes..., etc.

PROPOSICIÓN 16

Si se suman dos magnitudes inconmensurables, la magnitud total también será inconmensurable con cada una de ellas; y si la magnitud total es inconmensurable con una de ellas, las magnitudes iniciales serán también inconmensurables.

Súmense, pues, las dos magnitudes inconmensurables AB , BΓ .

Digo que la (magnitud) total AΓ es inconmensurable con cada una de las (magnitudes) AB , BΓ .

Pues si ΓA , AB no son inconmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud), si es posible, y sea Δ . Así pues, como Δ mide a ΓA , AB , entonces, medirá también a la magnitud restante BΓ . Pero mide también a AB ; entonces Δ mide a AB , BΓ . Luego AB , BΓ son conmensurables; pero se ha supuesto que son inconmensurables; lo cual es imposible. Por tanto, ninguna magnitud medirá a ΓA , AB ; luego ΓA , AB son inconmensurables [X Def. 1]. De manera semejante demostraríamos que AΓ , ΓB son inconmensurables. Por tanto AΓ es inconmensurable con cada una de las magnitudes AB , BΓ .

Pero ahora sea AΓ inconmensurable con una de las (magnitudes) AB , BΓ . Séalo en primer lugar con AB .

Digo que AB , BΓ son también inconmensurables. Pues, si son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud) y sea Δ. Así pues, como Δ mide a AB, BΓ , entonces, medirá también a la (magnitud) total AΓ . Pero mide también a AB ; entonces Δ mide a ΓA , AB . Luego ΓA , AB son conmensurables; pero se ha supuesto que son inconmensurables; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud medirá a AB, BΓ ; por tanto AB , BΓ son inconmensurables.

Por consiguiente, si dos magnitudes..., etc.