Kitabı oxu: «Trigonometría y geometría analítica»

Capítulo 1

TRIGONOMETRIA DEL TRIANGULO RECTANGULO

1.1Breve introducción histórica

Según sabemos, el origen de la Trigonometría debe buscarse en el tiempo en que se hacía el estudio de la esfera celeste, en la cual se suponía que se desplazaban el sol, la luna y las estrellas y cuya posición se calculaba mediante la medición de ángulos. Los dos personajes famosos y más importantes que se interesaron por estos estudios fueron los astrónomos griegos Hiparco de Nicea (siglo II a.C.) y Claudio Ptolomeo (siglo II d.C.). Como consecuencia de lo que hemos mencionado, es fácil creer que la principal, si no única, aplicación de la Trigonometría es la resolución de triángulos y, por tanto, sus campos de aplicación deberían ser la Astronomía, la Navegación y la Agrimensura. Esto no es así, pues su aplicación en el Cálculo y otras ramas de la Matemática es amplia en nuestros días.

Pues bien, la Trigonometría desde los inicios, como hemos dicho, se sustenta básicamente en los triángulos rectángulos y, por ende, en el famoso Teorema de Pitágoras. Por tal motivo es pertinente entregar una pequeña biografía de:

Pitágoras

Pythágoras, ya que el nombre griego original es Πυθαγo′ραζ (570 a.C. / 480 a.C.). Nació en Samos en fecha muy incierta. No sólo su cronología es dudosa, sino que también lo son casi todos los datos de su vida que nos han entregado todos sus biógrafos principales: Theano (obra perdida), Diógenes Laercio, Jamblico y Porfirio, que se caracterizan por lo visiblemente fantasiosos que son sus relatos en general.

Dejando debida constancia de ello, declaramos que nosotros continuaremos fieles al sano principio metodológico de atenernos a las fuentes existentes, por muy indirectas que sean e inseguras que nos parezcan.

Fue contemporáneo de Thales y, como él, jonio, ya que, como hemos dicho, nació en Samos entre los años 580 a.C. (L olimpíada) y 568 a.C. (LII olimpiada). Su padre era el comerciante Mnesarco, quien traficaba en diversos puntos del extranjero, haciéndose muchas veces acompañar por su hijo.

Hacia 550 a.C. Pythágoras abandona Samos, siguiendo en Lesbos lecciones de filosofía con Ferécides y en Mileto con Thales y Anaximandro. Recorrió luego Fenicia, Arabia, Palestina y Egipto, donde pasó alrededor de veinticinco años en medio de los sacerdotes y sabios de Menfis y Tebas; el colegio sacerdotal de esta última ciudad lo admitió como miembro, iniciándolo en los misterios y cultos de la religión egipcia.

Luego de la conquista de Egipto por Cambises, es llevado a Babilonia, donde estudió la ciencia de los caldeos, hasta que en 512 a.C. obtuvo su libertad y pudo regresar a su patria donde aún vivían sus padres. Visitó enseguida la isla de Creta, Esparta y Delfos, volviendo después a Samos para fundar una escuela que no tuvo acogida.

Disgustado por la opresión del tirano Polícrates, decidió emigrar a Italia, llegando a fundar en Crotona su célebre Escuela Pitagórica. En cierto modo esta Escuela era un instituto filosófico, preocupado de inculcar en sus adeptos no sólo normas morales de vida, sino también determinada concepción del mundo. Platón -y especialmente Aristóteles- se hicieron cargo de analizar y divulgar estos aspectos del llamado “Pitagorismo”. Para nosotros es importante destacar que de todos modos tales concepciones filosóficas y cosmogónicas tenían una evidenciada génesis matemática -se dice que hasta la palabra µαθηµατικη′: lo que es aprendido habría sido introducida por Pythágoras- en que los números y las configuraciones geométricas eran ingredientes básicos.

Hacia 509 a.C. se habría casado con una joven llamada Theano, hija, al parecer, de su anfitrión Milón; esa niña habría escrito una biografía del sabio, la cual no ha llegado hasta nosotros.

Pythágoras ejerció una gran influencia sobre sus nuevos conciudadanos, favoreciendo políticamente a la clase aristocrática, motivado tal vez por su formación teocrática en Egipto. Cuando en la ciudad vecina de Sybaris estalló una revolución democrática, los tiranos fueron a refugiarse en Crotona. Pythágoras incitó entonces a los habitantes de ésta contra los sibaritas, los que fueron derrotados e invadidos (510 a.C.). Obtuvo el sabio de ese modo en la ciudad conquistada grandes comodidades para instalar una sección de su Escuela. Sin embargo, hacia 490 a.C. surgió en Crotona un levantamiento popular que llegó a destruir materialmente esa Escuela; su establecimiento en casa de Milón fue incendiado y sus discípulos -muchos de los cuales claudicaron de los principios del maestro en favor de la plebe triunfante- fueron muertos o dispersados.

Pythágoras fue a refugiarse en Tarento, donde languideció y murió oscuramente.

La proposición E.I.47 es conocida en todo el mundo y a través de todas las épocas como el Teorema de Pythágoras por excelencia. Se cree que este sabio y su Escuela hayan conseguido el enunciado clásico:

“En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.

Sin embargo, no hay al respecto una prueba histórica concluyente de tal descubrimiento, tampoco de que el teorema haya sido debidamente demostrado antes de Euclides (el nombre griego original es Eυ’κλEι′δηζ ).

El testimonio de DIOGENES LAERCIO (historiador griego que vivió entre los siglos II y III d.C.) en su obra “Vidas, opiniones y sentencias de los filósofos más ilustres, en diez libros” descansa en APOLODORO, apodado el computista, con la consabida inmolación de una hecatombe (cien bueyes) en acción de gracias a los dioses... Nada se nos dice, en cambio, acerca de si los pitagóricos demostraron correctamente el teorema (es posible que hubieran tomado en cuenta la situación presentada en la figura 1).

Fig. 1

Bastante más prudente y acertada parece la consideración que de este histórico acontecimiento matemático hace PROCLO (historiador griego que vivió en el siglo V d.C.) en su obra “Comentarios al primer libro de los elementos de Euclides”:

“Si hacemos caso de quienes gustan relatar la historia antigua, encontraremos a algunos de ellos refiriendo este teorema de Pythágoras y diciendo que él sacrificó un buey (no habla de hecatombes) en honor de su descubrimiento. Pero, por mi parte, admiro a aquellos que primero observaron la verdad de este teorema (el oriente antiguo). Y más me maravilla el autor de los Elementos no sólo porque lo valorizó con una lúcida demostración, sino además porque llevó a considerar el teorema aún más general (E.VI.31) por irrefutables argumentos científicos en el libro sexto”.

Por lo demás, es claro que no debemos olvidar los importantes aportes que hicieron en los inicios de la Trigonometría tanto los babilonios, egipcios, griegos, indios y árabes.

Avanzando en la Historia, para resumir, tenemos que en el siglo XV d.C. John Muller, conocido como Regiomontano, escribe un tratado completo de trigonometría, llamado “Tratado del triángulo”. Con posterioridad los astrónomos Tycho Brae, Nicolás Copérnico y el geómetra Fran¸cois Vi`ete desarrollaron la trigonometría prácticamente hasta el estado actual, aunque a comienzos del siglo XVII Bartolomé Pitiscus, profesor de la Universidad de Heidelberg, escribió el primer texto que llevó el título de “Trigonometría” y la idea del autor era exactamente exponer lo que el nombre implica: medición de triángulos. Faltaría nombrar a Werner, quien encontró las “fórmulas de prostaféresis”, éstas son las identidades conocidas sobre las sumas y diferencias de senos y cosenos.

1.2Razones trigonométricas

En la figura 1.1 se considera un determinado ángulo PAQ de medida α -por comodidad no haremos distingo entre ángulo y su medida- y se ha trazado, al arbitrio, la perpendicular en C al lado formándose así el triángulo rectángulo ABC. En la definición que sigue deberemos tener presente este triángulo.

Fig. 1.1

Definición 1.2.1 Tomando en cuenta la figura 1.1, se llama:

(1)coseno del ángulo α al número:

(2)seno del ángulo α al número:

(3)tangente del ángulo α al número:

(4)cotangente del ángulo α al número:

(5)secante del ángulo α al número:

(6)cosecante del ángulo α al número:

A cada uno de estos números se le denomina razón trigonométrica del ángulo α.

Nota:

Hacemos notar que estos números llamados razones trigonométricas del ángulo α sólo dependen de α. Esto se debe a que son independientes de la perpendicular trazada en la figura 1.1 (a causa de la semejanza de triángulos rectángulos). O sea, dado un ángulo agudo y positivo α existe uno y sólo un valor para cada razón trigonométrica. En otras palabras, cada razón trigonométrica es una función real con dominio en el intervalo 0 (El lector deberá saber transformar de radianes a grados e inversamente.)

Teorema 1.2.1 Se tienen las siguientes identidades fundamentales:

Nota:

Como se sabe, el complemento de un ángulo es aquel ángulo que junto con α completan 90^◦ ( radianes), o sea:

o también:

Por esta causa se acostumbra decir que la función coseno es la cofunción del seno y viceversa; que la cotangente es la cofunción de la tangente y viceversa y, por último, que la cosecante es la cofunción de la secante y viceversa. Es decir:

Teorema 1.2.2 Los valores de las razones trigonométricas para los ángulos de 30^◦, 45^◦ y 60^◦ son:

Definición 1.2.2 Los valores de las razones trigonométricas para los ángulos de 0^◦, 90^◦ se definen del modo siguiente:

Teorema 1.2.3 Para se tiene:

1.3Expresión de cada razón trigonométrica en términos de las restantes

Ocupando las identidades fundamentales dadas en el teorema [1.1.1] se obtiene el cuadro siguiente:

1.4Resolución de triángulos rectángulos

Los criterios de congruencia de triángulos, en el caso en que tales triángulos sean rectángulos, nos indican que un triángulo rectángulo quedará determinado dándose dos datos, dentro de los cuales debe haber por lo menos uno que sea lineal (o sea, un lado). Luego, para que un triángulo rectángulo quede determinado bastará considerar alguna de las cinco situaciones siguientes:

(1)Hipotenusa y ángulo agudo.

(2)Cateto y ángulo agudo adyacente.

(3)Cateto y ángulo agudo opuesto.

(4)Cateto y cateto.

(5)Cateto e hipotenusa.

Para resumir estos cinco casos consideraremos la figura 1.2.

Caso N^◦ 1: Observando la figura 1.2, donde los datos son la hipotenusa AB = c y el ángulo agudo ≮ BAC = α, se concluye que:

(También está la situación similar AB = c y ≮ ABC = β.)

Fig. 1.2

Caso N^◦ 2: Observando la figura 1.2, los datos son el cateto BC = a y el ángulo agudo ≮ ABC = β, luego se obtiene:

(También está la situación CA = b y ≮ BAC = α.)

Caso N^◦ 3: Observando la figura 1.2, los datos son el cateto BC = a y el ángulo agudo ≮ BAC = α, luego se consigue:

(También está la situación similar CA = b y ≮ ABC = β.)

Nota:

En lo que viene se utilizarán las notaciones: cos⁻¹ = Arccos = INVCOS, sen ⁻¹ = Arcsen = INVSEN, tg ⁻¹ = Arctg = INVTAN, que son las simbologías que aparecen en las teclas (o bien como operación secundaria de una tecla) de cualquier calculadora científica para señalar el valor angular asociado a la razón trigonométrica que se presenta cuando se procede a dividir las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, como también en el sentido notacional matemático actualmente en uso.

Caso N^◦ 4: Observando la figura 1.2, donde los datos son el cateto BC = a y el cateto CA = b, luego se obtiene:

Caso N^◦ 5: Observando la figura 1.2, donde los datos son el cateto BC = a y la hipotenusa AB = c, luego se obtiene:

(También está la situación CA = b y AB = c.)

Los casos explicados con anterioridad pueden aplicarse ahora a la resolución de problemas sobre alturas y distancias. Es de suponer que por medio de instrumentos apropiados pueden medirse distancias y ángulos necesarios con una aproximación suficiente para los propósitos que el problema requiere. Es importante tener presente las definiciones de ángulo de elevación y de ángulo de depresión.

Fig. 1.3

Definición 1.4.1 En la figura 1.3 sea un rayo horizontal en el mismo plano vertical que el objeto C. Se ha trazado también el rayo .

(1)En la figura 1.3-(1) donde el objeto C está por encima de la horizontal , el ángulo ≮ BAC se llama ángulo de elevación del objeto C visto desde el punto A.

(2)En la figura 1.3-(2) donde el objeto C está por debajo de la horizontal , el ángulo ≮ BAC se llama ángulo de depresión del objeto C visto desde el punto A.

1.5Razones trigonométricas de ángulos compuestos

En las identidades que resumimos en este apartado todos los ángulos que participan, sus sumas, sus diferencias, sus múltiplos y sus submúltiplos serán agudos.

Teorema 1.5.1 Argumento suma.

Teorema 1.5.2 Argumento diferencia.

Teorema 1.5.3 Argumento doble.

Teorema 1.5.4 Argumento triple.

Teorema 1.5.5 Argumento medio.

Teorema 1.5.6 Fórmulas de prostaféresis.

1.6Problemas resueltos

Problema 1.6.1 Calcular el valor de la expresión:

Solución:

Sabemos que tg

Problema 1.6.2 Calcular el valor de la expresión:

Solución:

Sabemos que sen

Problema 1.6.3 Si tg entonces encontrar el valor de la expresión:

Solución:

Si tg entonces

Problema 1.6.4 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

por otra parte, resulta:

de estos resultados obtenemos la identidad.

Problema 1.6.5 Comprobar que

Solución:

Sabemos que

por otra parte, tenemos:

de (1) y (2) se sigue el resultado.

Problema 1.6.6 Si en un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene que calcular el valor del cateto a.

Solución:

Por los datos dados tenemos que luego por el teorema de Pitágoras resulta:

luego,

Problema 1.6.7 Si en un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene que cot , calcular el valor del cateto b.

Solución:

Por los datos dados tenemos que a = 4k, b = 25k y c = 17, luego por el teorema de Pitágoras resulta:

luego,

Problema 1.6.8 Un triángulo ABC es isósceles con base AB = c y los lados son ; se pide calcular el valor de los ángulos interiores.

Solución:

Sabemos que si en un triángulo isósceles ABC bajamos la altura CM correspondiente a la base, entonces M es el punto medio de la base. Luego, en el triángulo AMC, rectángulo en M, resulta:

(este valor se obtuvo con la calculadora); en conclusión:

Problema 1.6.9 Siendo α un ángulo agudo y sec α + tg α = 2, calcular el valor de cos α.

Solución:

Sabemos que sec² α − tg ²α = 1, o sea:

y como formando el sistema:

conseguimos sec por lo tanto, tenemos

Problema 1.6.10 Se pide calcular el valor de 2tg ²α + tg ⁴α.

Solución:

Se tiene:

de donde:

Problema 1.6.11 Si u = sec α y v = 3tg ²α, calcular el valor de 3u² − v .

Solución:

Se tiene:

Problema 1.6.12 Si cot α = a, calcular el valor de:

en términos de a.

Solución:

Tenemos que 1 + cot² α = cosec ²α, luego cosec ²α = 1 + a², además se tiene y como 1 + tg ²α = sec² α, se consigue , con ello:

Problema 1.6.13 Calcular el valor de:

Solución:

Se tiene:

Problema 1.6.14 Sabiendo que hallar los valores de sen α, tg α, cot α, sec α y cosec α.

Solución:

A causa del teorema de Pitágoras en el triángulo ABC rectángulo en C tenemos que siendo resulta a = 3, luego:

Problema 1.6.15 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 1.6.16 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 1.6.17 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 1.6.18 Demostrar que:

Solución:

Tenemos:

Problema 1.6.19 Demostrar que:

Solución:

Tenemos:

de esto se concluye que el resultado es evidente.

Problema 1.6.20 Demostrar que:

Solución:

Tenemos:

Problema 1.6.21 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 1.6.22 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 1.6.23 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 1.6.24 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

luego de esta última se consigue:

de donde:

luego:

Problema 1.6.25 Demostrar que:

Solución:

En la figura 1.4 se tiene:

así:

además, se han trazado CE perpendicular con AE en E, CB perpendicular con AD en B y FE perpendicular con CB en F. Se deduce, entonces que:

Fig. 1.4

De lo anterior, se desprende, para el primer caso:

luego:

Ahora, considerando nuevamente la figura 1.4, tenemos para la segunda situación:

por lo tanto, obtenemos:

Por último, sabemos que:

al hacer esta amplificación (por sec α sec β) llegamos a:

luego:

Problema 1.6.26 Demostrar que:

(1)cos(α − β) = cos α cos β + sen αsen β .

(2)sen (α − β) = sen α cos β − cos αsen β .

(3)

Solución:

En la figura 1.5 se tiene:

así:

además, se han trazado CE perpendicular con AC en C, CB perpendicular con AD en B y FC perpendicular con DE en F. Se deduce, entonces que:

Fig. 1.5

De lo anterior, se desprende, para el primer caso:

luego:

Ahora, considerando nuevamente la figura 1.5, tenemos para la segunda situación:

por lo tanto, obtenemos:

Por último, sabemos que:

al hacer esta amplificación (por sec α sec β) llegamos a:

luego:

Problema 1.6.27 Resolver el triángulo ABC rectángulo en C sabiendo que:

Solución:

Se tiene:

además, al ocupar la calculadora, resulta:

por último, al ocupar nuevamente la calculadora, se obtiene:

Problema 1.6.28 Resolver el triángulo ABC rectángulo en C sabiendo que:

Solución:

Se tiene:

además, al ocupar la calculadora, resulta:

por último, al ocupar nuevamente la calculadora, se obtiene:

Problema 1.6.29 Resolver el triángulo ABC rectángulo en C sabiendo que:

Solución:

Se tiene:

además, al ocupar la calculadora, resulta:

por último, al ocupar nuevamente la calculadora, se obtiene:

Problema 1.6.30 Resolver el triángulo ABC rectángulo en C sabiendo que:

Solución:

Se tiene:

además, al ocupar la calculadora, resulta:

por último, al ocupar nuevamente la calculadora, se obtiene:

Problema 1.6.31 Resolver el triángulo ABC rectángulo en C sabiendo que:

Solución:

Se tiene:

además, al ocupar la calculadora, resulta:

por último, al ocupar nuevamente la calculadora, se obtiene:

Problema 1.6.32 Una chimenea tiene 30 m. de altura más que otra. Un observador que está a 100 m. de distancia de la más baja se da cuenta que sus cúspides están en una recta inclinada respecto al horizonte en ángulo de 27^◦2′. Hallar las alturas de estas chimeneas.

Solución:

Considerando la figura 1.6, donde se tiene ≮ CAB = 27^◦2′, AC = 100, luego:

y, como la calculadora entrega:

resulta:

Fig. 1.6

pero, h es la altura de la más pequeña, luego, como RP = 30 la altura de la mayor será h + 30 ≈ 81, 02584818 .

Problema 1.6.33 Una montaña inaccesible CD se observa desde el piso en A bajo ángulo de 25^◦35′. Una base AB se elige en el terreno perpendicularmente a la horizontal AC y midiendo 750 m. En B la montaña se observa bajo ángulo de 21^◦27′. Calcular la altura de la montaña

Solución.

En la figura 1.7, BC = x, CA = y, ≮ CAD = α = 25^◦35′, ≮ CBD = β = 21^◦27′, AB = ℓ = 750 y CD = h, con ello resulta:

pero x² = y² + ℓ², de donde:

Fig. 1.7

por lo tanto, se obtiene y, con los datos, se llega a h ≈ 515, 7004549 m.

Problema 1.6.34 Un asta de bandera de b m. de altura colocada en la punta de una torre de ℓ m. de altura subtiende el mismo ángulo β desde dos puntos separados a m. que están en una recta horizontal que pasa por la base de la torre. Si θ es el ángulo que subtiende el trazo a desde la punta del asta, probar que

Solución:

En la figura 1.8, se trazó el arco capaz de ≮ ACB = ≮ ADB = θ con cuerda AB = a (luego, ≮ AOM = θ), ≮ CBD = CAD = β, EC = ℓ y CD = b, con ello:

de donde:

Fig. 1.8

Por otro lado:

Problema 1.6.35 Un tren parte de una estación desviándose 40^◦ con la horizontal, dicha estación se encuentra a 1550 m. de la ribera de un río que corre paralelamente a la horizontal anterior. Un observador colocado en la ribera visualiza la estación con un ángulo de 25^◦ respecto a la ribera del río y al cabo de 5 minutos observa que la trayectoria del tren subtiende un ángulo de 50^◦. ¿Cuál es la rapidez del tren en kilómetros por hora?

Solución:

Considerando la figura 1.9, vemos que el triángulo EOT es isósceles de vértice O, por lo tanto, se tiene que :

Por lo tanto, concluimos que:

y con ello:

es decir:

o sea:

Fig. 1.9

luego ET = 3100 m., es decir ET = 3, 1 kilómetros y como la rapidez v es el cuociente entre ET y t = 5 minutos , o sea t = 5/60 = 1/12 horas, resulta:

Problema 1.6.36 A, B y C representan las puntas de postes colocados a intervalos iguales al lado de una carretera, x e y son las tangentes de los ángulos que subtienden AB y BC desde un punto P y t es la tangente del ángulo que forma lacarretera con PB. Demostrar que:

Solución:

Tal como se indica en la figura 1.10, sean:

Fig. 1.10

Además, colocamos AB = BC = a, DB = u y DP = v, también es claro que ≮ DBP = γ, con ello se deduce que:

por otro lado, en el triángulo rectángulo CPD se tiene:

Observando ahora el triángulo rectángulo ADP, conseguimos:

De (1) y (2) se llega a:

que es el resultado esperado.

Problema 1.6.37 Un avión vuela con rapidez de 247,62 [km/h] en aire con calma y con rumbo N 59^◦ O, comienza a soplar viento con rapidez de 43 [km/h] en dirección S 21^◦ O, el avión pasa a desplazarse en el rumbo N 69^◦ O. Determinar la nueva rapidez del avión.

Solución:

Considerando la figura 1.11, donde es el vector velocidad del viento es el vector velocidad del avión con viento en calma, luego ≮ SBC = α = 21^◦ y ≮ C′BA = β = 59^◦.

Tenemos, entonces que el nuevo rumbo del avión lo da el vector resultante:

con ello:

Se deduce entonces que

Fig. 1.11

luego, el triángulo DAC′ es rectángulo en A, con lo que:

por lo tanto, la nueva rapidez del avión es:

Problema 1.6.38 Desde la cima de una colina una persona halla que los ángulos de depresión de tres piedras consecutivas e indicadoras de los kilómetros de un camino recto a nivel son α, β y γ. Demostrar que la altura h de la colina es:

Solución:

Observando la figura 1.12 resulta:

y, por geometría sabemos que la transversal de gravedad OM del triángulo AOB está dada por:

Fig. 1.12

así, de lo anterior, se consigue:

de donde:

con lo que:

Problema 1.6.39 La elevación de un campanario desde un lugar A al sur de él es de 45^◦ y desde un lugar B al oeste de A la elevación es de 15^◦. Si AB = 2a, demostrar que la altura del campanario es .

Solución:

Considerando la figura 1.13, tenemos que:

como tg 45^◦ = 1, y además:

Fig. 1.13

con lo que obtenemos:

luego:

o mejor:

Problema 1.6.40 Encontrar el valor máximo de la expresión:

Solución:

Tenemos:

y el valor máximo 5 se produce cuando α = 36^◦ 52′ 11.63″, ya que:

y sen 90^◦ = 1.

Problema 1.6.41 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 1.6.42 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

pero:

luego:

Problema 1.6.43 Sea ABC un triángulo rectángulo en C, demostrar que:

Solución:

Se tiene

Problema 1.6.44 Sea ABC un triángulo rectángulo en C con b > a, demostrar que:

Solución:

Se tiene

Problema 1.6.45 Sea ABC un triángulo rectángulo en C, demostrar que:

Solución:

Se tiene

Problema 1.6.46 Sea ABC un triángulo rectángulo en C, demostrar que:

Solución:

Se tiene

Problema 1.6.47 Demostrar que:

Solución:

Se tiene

Problema 1.6.48 Si tg (α + β) = 33 y tg α = 3, calcular el valor de tg β.

Solución:

Tenemos:

Con lo que

Problema 1.6.49 Si:

demostrar que:

Solución:

Se tiene:

o mejor:

de donde:

luego:

Por analogía, se consiguee:

por lo tanto, se tiene:

Problema 1.6.50 Demostrar que sen 40^◦ + sen 20^◦ = cos 10^◦.

Solución:

Utilizamos la tercera fórmula de prostaféresis, resultando:

Problema 1.6.51 Demostrar que:

Solución:

Utilizando la cuarta y la primera fórmulas de prostaféresis resulta:

Problema 1.6.52 Demostrar que

Solución:

Se tiene:

y en esta última usamos la tercera fórmula de prostaféresis consiguiéndose:

Problema 1.6.53 Demostrar que

Solución:

Utilizamos la séptima fórmula de prostaféresis:

Problema 1.6.54 Demostrar que:

Solución:

Utilizamos la tercera y la primera fórmulas de prostaféresis:

1.7Problemas propuestos

1.Una escalera de 50 m. de largo se deja descansar contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 14 m. de la base del muro. Si el extremo superior de la escalera se desliza 8 m., entonces el pie de la escalera se correrá:

(A)5 m.

(B)10 m.

(C)20 m.

(D)8 m.

(E)16 m.

2.Dos postes de 3 y 7 m. de altura, están separados 15 m. La altura de la intersección de las rectas que unen las cúspides de cada uno con la base del poste contrario es de:

(A)2 m.

(B)2,1 m.

(C)2,5 m.

(D)2.7 m.

(E)3 m.

3.Se afirma que:

(I)(sec α − 1)(sec α + 1)(sec² α + 1)

(II)tg ²α(sec² α + 1)

(III)2tg ²α + tg ⁴α

De estas afirmaciones es (son) verdadera(s):

(A)Sólo (I) y (II).

(B)Sólo (I) y (III).

(C)(I), (II) y (III).

(D)Sólo (II) y (III).

(E)Sólo (I).

4.¿A qué hora entre las cuatro y las cinco el minutero está trece minutos más adelante del horario?

(A)4 h. 13 min.

(B)4 h. 16 min.

(C)4 h. 20 min.

(D)4 h. 36 min.

(E)4 h. 38 min.

5.Si entonces cos α = ...

6.Una colina mide 420 m. de altura. Se encuentra que el ángulo de elevación a la cima vista desde un punto R en el suelo es de 30^◦. La distancia desde R al pie de la colina es de:

(A)400 m.

(D)420 m.

7.Si en ∆ABC se tiene entonces γ = ...

(A)18^◦

(B)36^◦

(C)54^◦

(D)72^◦

(E)108^◦

8.De las siguientes alternativas la falsa es:

(A)tg θ + cot θ = sec θcosec θ

(B)1 − 2sen ²α = 2 cos² α − 1

(C)cos⁴ − β sen ⁴β = cos² − β sen ²β

(D)cos γ + tg γsen γ = cosec γ

(E)sen ϕ cos ϕcosec ϕ sec ϕ = 1

9.Se sabe que:

entonces resulta:

10.

(A)sen 2τ

(B)sec 2τ

(C)sec 2τ − tg 2τ

(D)tg 2τ

(E)tg 2τ + sec 2τ

11.

(C)1

(D)−1

(E)0

12.

13.

14.

(A)sen α + sen β

(B)cos α + cos β

(C)tg α + tg β

(D)cot α + cot β

(E)sec α + sec β

15.El valor de sen 75^◦ = ...

(E)Ninguna de las anteriores.

16.Se tiene que:

(A)cot β

(B)tg β

(C)sec β

(D)cosec β

(E)sen β

17.

(A)tg ⁴α

(B)cot⁴ α

(C)cos⁴ α

(D)tg ²α

(E)sec⁴ α

18.

(A)sen ⁴α − cos⁴ α

(B)cosec ⁴α − cot⁴ α

(C)0

(D)sec² α − tg ²α

(E)sec² α + tg ²α

19.sen α

(A)sec α

(B)cosec α

(C)tg α

(D)1 − cos α

(E)1 + cos α

20.

(A)sen ³α − cos³ α

(B)sec² α − cosec ²α

(C)sen ³α + cos³ α

(D)sen ³α − cos³ α

(E)sen ⁴α − cos⁴ α

21.Siendo α un ángulo agudo y sec α + tg α = 2, entonces cos α = ...

22.Si en un triángulo ABC rectángulo en C, sec α = 3 y BC = 16, resulta que la hipotenusa AB = ...

(C)32

(E)25

23.Si p = sec γ, q = cosec γ, entonces (p + q)(p − q) + 2q² = ...

(A)1

(B)0

(C)p²q²

(D)p + q

(E)p² − q²

24.El ángulo α tal que que satisface la ecuación:

es:

25.Un triángulo rectángulo tiene por hipotenusa c = 8 cm. y sen entonces los catetos miden:

26.En un △ABC isósceles de base AB se conoce la altura 1, 2 m. y la tangente trigonométrica del ángulo basal es 0, 75. Entonces el área del triángulo ABC es:

(A)1, 92 m²

(B)1, 28 m²

(C)1, 60 m²

(D)6, 40 m²

(E)9, 60 m²

27.Si α es un ángulo agudo y cot entonces sen α vale:

28.Si se tiene:

Entonces la relación entre x e y es:

(A)x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0

(B)x² + y² − 2x − 2y + 1 = 0

(C)x² + y² − 2x − 2y − 1 = 0

(D)x² + y² − 2x + 2y + 1 = 0

(E)x² + y² + 2x − 2y + 1 = 0

29.Si θ es un ángulo agudo y positivo que satisface la ecuación:

entonces θ = ...

30.El valor de

es igual a:

(A)sec² αcosec ²α

(B)sen ²α cos² α

(C)sen²α + tg ²α

(D)sen ²αtg ²α

(E)tg ²α + cot² α

31.El valor de:

es igual a:

(A)cot² αtg ²α

(B)sec² αcosec ²α

(C)cot² α(1 + sec⁴ α)

(D)cot² α(tg ⁴α + 1)

(E)tg ²α(tg ⁴α + 1)

32.El valor de:

es igual a:

(A)sen ²α(1 − sec² α)

(B)cos² α(1 − sec² α)

(C)tg ²α(1 + cos² α)

(D)cos² α(1 + cos² α)

(E)cos² α(1 − cos² α)

33.Si β es un ángulo tal que entonces cos β = ...

34.Se sabe que:

entonces resulta

35.Resolver el triángulo ABC rectángulo en C, sabiendo que:

(a)a = 25, 72 , α = 36^◦ 20′

(b)a = 574, 16 , β = 56^◦ 20′ 36″

(c)a = 342, 86 , α = 55^◦ 32′ 48″

(d)c = 44, 26 , α = 56^◦ 14′

(e)c = 287, 68 , α = 38^◦ 10′ 12″

(f)c = 67, 546 , β = 47^◦ 25′ 36″

(g)a = 42, 42 , b = 58, 48

(h)a = 384, 66 , b = 254, 88

36.Eliminar el ángulo θ en cada sistema: (a)

37.Dos lugares sobre el mismo meridiano están a 232,83 km. uno de otro. Encontrar su diferencia de latitud si el radio de la tierra es de 6350 km. aproximadamente.

38.Si en una circunferencia de radio 6 cm. un ángulo del centro de 20^◦ 17′ subtiende un arco, hallar el ángulo que subtenderá tal longitud en una circunferencia de radio 8 cm.

39.Una escalera de 13,5 m. de longitud llega hasta la parte superior de un muro. Si la escalera forma un ángulo de 60^◦ con el muro, hallar la altura de éste y la distancia a él desde el pie de la escalera.

40.Un asta de bandera está enclavada verticalmente en lo alto de un edificio; a 12 m. de distancia, los ángulos de elevación de la punta del asta y de la parte superior del edificio son de 60^◦ y 30^◦ respectivamente. Hallar la longitud del asta.

41.Desde la cúspide de un monumento de 30 m. de altura, los ángulos de depresión de dos objetos, que están sobre el terreno en la direcciónn oeste del monumento son de 45^◦ y 30^◦ respectivamente. Hallar la distancia que los separa.

42.Mirando hacia el sur desde la parte superior de un acantilado, los ángulos de depresión de una roca y de una boya se observa que son de 45^◦ y 60^◦. Si se sabe que estos objetos están separados 110 m. hallar la altura del acantilado.

43.Desde lo alto de un acantilado de 1500 m. de altura los ángulos de depresión de dos embarcaciones que están situadas al sur del observador son de 25^◦ y 85^◦ respectivamente. Hallar la distancia entre esas embarcaciones.

44.Una torre está al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano horizontal es de 9^◦. Desde un punto de la colina 12 m. más arriba la torre subtiende un ángulo de 54^◦, hallar la altura de la torre.

45.Una lámina rectangular ABCD descansa en una muralla, estando el vértice A en la línea horizontal (piso) y el vértice B en la arista vertical. El lado AB forma un ángulo θ con la recta horizontal en el punto A. Sea E la proyección ortogonal de C sobre la arista vertical y F la respectiva proyección ortogonal de C sobre la horizontal. Calcular EC = x y CF = y en términos de θ. Usar estos resultados para probar que:

46.Se tiene un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal. Desde el extremo superior del plano inclinado se ve un objeto situado en la horizontal según ángulo de depresión α; desde la mitad del plano inclinado se observa el mismo objeto con un ángulo de depresión β. Demostrar que:

47.Una torre de altura h se encuentra al norte de un punto A y al oeste de un punto B. En A y B los ángulos de elevación de la parte más alta de la torre son α y β, respectivamente. Si AB = c, demostrar que:

48.La altura de una colina es de 990 m. sobre el nivel de un plano horizontal. Desde un punto A de dicho plano la elevación angular de la cima de la colina es de 60^◦. Un globo se eleva desde el punto A y asciende verticalmente con rapidez uniforme; después de 5 minutos, para un observador que está en el globo, la elevación angular de la cima de la colina es de 30^◦. Hallar la rapidez de ascensión del globo en [km./h.].

49.Un avión vuela en línea recta a una altura de 1000 m. A las 13 horas se encuentra en A y asciende bruscamente desviándose 30^◦ con la horizontal manteniendo el movimiento rectilíneo con rapidez constante. Después de 10 segundos el avión se encuentra en B. Si desde una torre de observación en la tierra se tienen ángulos de elevación de 30^◦ y 45^◦ para los puntos A y B, respectivamente, indicar cuál es la rapidez del avión suponiendo que las visuales de los puntos A y B y la trayectoria del avión están en un plano.

50.Dos astas de bandera se levantan verticalmente sobre un plano horizontal. A y B son dos puntos sobre la recta que une los pies de las astas y están entre ellos. Los ángulos de elevación de los extremos superiores de las astas vistos desde A son 30^◦ y 60^◦ y vistos desde B son de 60^◦ y 45^◦. Si la longitud de AB es de 9 m. hallar las longitudes de las astas y la distancia que las separa.

51.Dos chimeneas AB y CD tienen la misma altura. Una persona que está entre ellas en la recta AC que une sus bases observa que la elevación de la más cercana es de 60^◦. Después de caminar 24 m. en una dirección perpendicular a AC observa que las elevaciones son de 45^◦a la más cercana y 30^◦a la otra. Hallar la altura de las chimeneas y la distancia que las separa.

52.Dos postes verticales cuyas alturas son a y b subtienden el mismo ángulo α desde un punto que está en la línea que une sus pies. Si ellos subtienden ángulos β γ desde un punto del plano horizontal desde el cual la línea que une sus pies subtiende un ángulo recto; demostrar que:

53.La elevación de una colina desde un lugar P al este de ella es 45^◦ y desde un lugar Q, al sur de P, la elevación es 30^◦. Si la distancia entre P y Q es 500 m., hallar la altura de la colina.

54.Se tiene un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r. Demostrar que el perímetro y el área de este polígono son, respectivamente:

55.Expresar cada uno de los productos siguientes como suma:

(a)sen 3θ cos 5θ

(b)cos 7θ cos 5θ

(c)cos 7θsen 5θ

(g)cos 2θ cos 6θ

(h)2sen 7θsen 2θ

56.Expresar cada una de las sumas siguientes como producto:

(e)sen 8θ + sen 4θ

(g)cos 8θ – cos 4θ

(h)sen 6θ – sen 4θ

57.Demostrar las siguientes identidades:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

(m)

1.8Respuestas capítulo 1

(1)E

(2)B

(3)C

(4)D

(5)C

(6)C

(7)B

(8)D

(9)B

(10)C

(11)B

(12)A

(13)A

(14)C

(15)A

(16)A

(17)A

(18)E

(19)B

(20)C

(21)B

(22)A

(23)C

(24)B

(25)B

(26)A

(27)C

(28)B

(29)C

(30)A

(31)D

(32)C

(33)C

(34)B

(35)Se tiene:

(36)Se tiene:

(37)2^◦ 6′

(38)15^◦ 12′ 45″

(39)6,75 m. y 11,69 m.

(40)13,86 m.

(41)21,96 m.

(42)260,26m.

(43)3085,53 m.

(44)13,72 m.

(45)x = sen θ , y = 2sen θ + cos θ

(48)7,92 [km/h]

(49)192,9 [km/h]

(50) 21,29 m. ; 25,79 m.

(51)29,4 m. ; 61,8 m.

(54)353,5 m.

(55)Se tiene:

(56)Se tiene

Capítulo 2

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

En este capítulo recordaremos la circunferencia canónica unitaria o goniométrica; estudiaremos las funciones trigonométricas, sus propiedades, generalizaremos las identidades ya vistas en el capítulo anterior y presentaremos también las fórmulas de prostaféresis.

2.1La circunferencia goniométrica

Tal como vemos en la figura 2.1, fijado en el plano un sistema cartesiano ortogonal y el respectivo sentido de orientación dextrorsum o positivo (contrario al de las manecillas del reloj), la circunferencia con centro en el origen O y con radio unitario se llamará circunferencia goniométrica o trigonométrica

Fig. 2.1

Tomaremos siempre la semirrecta como lado origen para medir ángulos. Considerando la figura 2.2 el ángulo AOP será positivo o negativo según que el movimiento de para coincidir con se efectúe en el sentido dextrorsum o sinestrorsum.

Fig. 2.2

Pensando siempre con respecto a la figura 2.2 diremos que es el diámetro principal y que es el eje de los cosenos; que es el diámetro secundario y que es el eje de los senos (esto por razones que se verán en seguida). Es importante observar que un ángulo α determina un único punto P en la circunferencia trigonométrica y, en consecuencia, un único rayo . Sin embargo, dado un punto P en la circunferencia goniométrica (y su correspondiente rayo ) hay muchos ángulos que le corresponden, a saber, aquellos que difieren en un múltiplo de 2π.

Aquí extenderemos el concepto de razón trigonométrica, que servía sólo para ángulos agudos positivos, al de función trigonométrica o función circular, que sirve para ángulos de cualquier medida algebraica (positivos, negativos, agudos, obtusos, cóncavos, etc.).

Fig. 2.3

Definición 2.1.1 Tomando en cuenta la figura 2.3, donde aparece dibujado ≮ AOP = α, se llama:

(1)coseno del ángulo α al número cos α = abscisa de P = x ,

(2)seno del ángulo α al número sen α = ordenada de P = y ,

(3)tangente del ángulo α al número

(4)cotangente del ángulo α al número

(5)secante del ángulo α al número

(6)cosecante del ángulo α al número

Notas:

(1) Reiteramos que cada punto P de la circunferencia trigonométrica tiene por coordenadas (cos α, sen α), esto es, existe la correspondencia biunívoca expresada mediante P ←→ (cos α, sen α).

Sin embargo no hay relación biunívoca entre P y α. En efecto, muchos ángulos α, a saber, aquellos que difieren en vueltas enteras (positivas o negativas) determinan el mismo punto P de la circunferencia y el mismo rayo .

(2) Al observar la figura 2.4, donde aparece otra circunferencia centrada en el origen O, con radio r ≠ 1, las coordenadas del punto P′ determinado en ella por el rayo son:

Esto es a causa de la semejanza vista en el capítulo anterior.

(3) En la figura 2.5, nuevamente tenemos la circunferencia goniométrica y en ella al punto P(cos α, sen α) con el respectivo rayo . Se han trazado las rectas tangentes a la circunferencia en A(1, 0) y en B(0, 1). El rayo las intersecta, respectivamente, en R y S; Q es la proyección de P sobre el eje . De esto se deduce que:

Fig. 2.4

Fig. 2.5

(4) Signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes

De las definiciones resulta que las funciones trigonométricas pueden tener signo positivo o negativo, según sea el cuadrante (I, II, III o IV) donde está el punto P(cos α, sen α) ≡ P(α). La figura 2.6 se explica por sí sola.

Fig. 2.6

(5) Mirando las definiciones de las funciones goniométricas o circulares se deduce que:

Teorema 2.1.1 Se tienen las siguientes identidades fundamentales:

2.2Paridad y periodicidad de las funciones circulares

Comenzaremos este párrafo recordando los conceptos de paridad y periodicidad de las funciones reales.

Definición 2.2.1 Dada la función real f diremos que:

(1)f es función par ssi ∀ x ∈ dom f (f(−x) = f(x)) ,

(2)f es función impar ssi ∀ x ∈ dom f (f(−x) = −f(x)) .

Ejemplo 2.2.1 Siendo x ≠ 0 se tiene que la función puesto que:

Ejemplo 2.2.2 Siendo x ≠ 0 se tiene que la función es impar ya que:

Notas:

Desde el punto de vista gráfico tenemos que:

(1) Cuando una función es par su gráfico es simétrico con respecto al eje de ordenadas, ya que si (x, y) está en el gráfico también deberá estar el punto (−x, y), situación que se observa en la figura 2.7.

Fig. 2.7

Fig. 2.8

(2) Cuando una función es impar su gráfico es simétrico con respecto al origen, ya que si (x, y) está en el gráfico también deberá estar el punto (−x, −y), situación que se observa en la figura 2.8 y si 0 ∈ dom f obviamente f(0) = 0.

Definición 2.2.2 Dada la función real (no constante) f diremos que ella es función periódica si existe número real positivo r tal que para todo x ∈ R se cumple que:

Al menor de tales r positivos para los que se cumple la propiedad señalada le llamaremos el período p de la función f, o sea:

Nota:

De la definición se deduce que si f(x + r) = f(x) también se tendrá:

como a la vez:

Ejemplo 2.2.3 Pensemos en la función real definida por:

donde existe z ∈ Z de modo que x ∈ [2z −1, 2z + 1[. Haremos ver que f tiene período 2.

En efecto, vemos que si ℓ ∈ Z y para x tal que:

se tiene:

Además, de 2ℓ − 1 ≤ x ≤ 2ℓ + 1 se consigue:

o mejor:

y, de ello, se desprende que:

o sea que el período podría ser r = 4.

Si nuevamente pensamos en x tal que:

o mejor:

y, con ello:

y de esto vemos que el período podría ser r = 2.

Haremos ver que el período es exactamente 2.

En efecto, supongamos que el período es p con 0 < p < 2 y pensemos en x = 0, así f(0) = 0. Pues bien, se presentan los casos:

(1)0 < p ≤ 1 ⇒ f(0 + p) = p ≠ 0 = f(0) ,

(2)1 < p < 2 ⇒ f(0 + p) = |p − 2| ≠ 0 = f(0) .

Se concluye entonces que p = 2. Ahora pasamos a presentar en la figura 2.9 el gráfico de esta función periódica de período p = 2.

Fig. 2.9

Nota:

La periodicidad de una función (y similarmente con la paridad y la imparidad) permite estudiarla en un intervalo más restringido, pudiendo luego extender los resultados obtenidos a todo el dominio de la función. Esto haremos precisamente en el ejemplo que presentaremos a continuación.

Ejemplo 2.2.4 Dada la función real:

Se pide construir con ella el gráfico de g pero ahora con dominio R sabiendo que además de ser impar posee período 18.

Solución:

El gráfico de la función dada al comienzo del enunciado lo vemos en la figura 2.10.

Fig. 2.10

Fig. 2.11

Ahora, como debe ser impar procedemos a efectuar simetría en torno del origen al gráfico de la figura 6.10 resultando el dibujo de la figura 2.11 y observando esta última figura vemos que el gráfico tiene dominio [−9, 9] que justamente posee longitud 18, o sea, el período pedido. Por lo tanto, procedemos a iterar este gráfico obteniéndose la figura 2.12.

Fig. 2.12

Teorema 2.2.1 Para las funciones circulares se tiene que:

(1)y = cos x es par y periódica de período 2π.

(2)y = sen x es impar y periódica de período 2π.

(3)y = tg x es impar y periódica de período π.

(4)y = cot x es impar y periódica de período π.

(5)y = sec x es par y periódica de período 2π.

(6)y = cosec x es impar y periódica de período 2π.

2.3Gráficos de las funciones circulares

Tomando en cuenta los conceptos presentados en el párrafo anterior podemos dejar a cargo del lector el proceder a trazar los gráficos aproximados de las funciones circulares. Conseguirá los esbozos que presentaremos a continuación.

(1) Gráfico de y = cos x

Fig. 2.13

(2) Gráfico de y = sen x

Fig. 2.14

(3) Gráfico de y = tg x

Fig. 2.15

(4) Gráfico de y = cot x

Fig. 2.16

(5) Gráfico de y = sec x

Fig. 2.17

(6) Gráfico de y = cosec x

Fig. 2.18

2.4Algunas graficaciones

Ya conocemos el gráfico aproximado de la función y = sen x, que vemos nuevamente en la figura 6.19:

Fig. 2.19

Ahora deseamos encontrar el gráfico aproximado de la función y = Asen Bx, con A, B ∈ R⁺. A se denomina amplitud y es claro que el período de ella será . En particular, tenemos el caso donde A = 3 y su gráfico aproximado lo vemos en la figura 2.20:

Fig. 2.20

Un caso más general es donde C se conoce como constante de desfase como desfasamiento, además si B > 0 , entonces y el desplazamiento es hacia la derecha y si desplazamiento es hacia la izquierda. Un caso particular es luego, p = π y el desfasamiento es el gráfico aproximado lo vemos en la figura 2.21:

Fig. 2.21

2.5Fórmulas de reducción

Teorema 2.5.1 Se tiene:

Teorema 2.5.2 Se tiene:

Teorema 2.5.3 Se tiene:

Teorema 2.5.4 Se tiene:

Teorema 2.5.5 Se tiene:

Teorema 2.5.6 Se tiene:

Teorema 2.5.7 Se tiene:

2.6Funciones circulares aplicadas a dos ángulos

En las identidades que resumiremos en este apartado, todos los ángulos que participan, sus sumas y sus diferencias son cualesquiera.

Teorema 2.6.1 Argumento suma

Teorema 2.6.2 Argumento diferencia

2.7Funciones circulares aplicadas a múltiplos y submúltiplos de un ángulo

En las identidades que resumiremos en este apartado, los ángulos que participan son cualesquiera.

Teorema 2.7.1 Argumentos doble

Teorema 2.7.2 Argumentos triple

Teorema 2.7.3 Fórmulas recurrentes

Teorema 2.7.4 Argumentos medio

2.8Fórmulas de prostaféresis

En las identidades que resumiremos en este apartado, los ángulos que participan son cualesquiera.

Teorema 2.8.1 Siendo α y β ángulos cualesquiera se tiene:

2.9Problemas resueltos

Problema 2.9.1 Trazar el gráfico aproximado de la función f(x) = x+sen x .

Solución:

Se consideran los gráficos de las funciones f₁(x) = x y f₂(x) = sen x y para un mismo x se suman las ordenadas respectivas, obteniéndose para f(x) el gráfico que se presenta en la figura 2.22.

Fig. 2.22

Problema 2.9.2 Trazar el gráfico aproximado de la función

Solución:

El gráfico pedido lo vemos en la figura 2.23.

Fig. 2.23

Problema 2.9.3 Trazar el gráfico aproximado de la función

Solución:

El gráfico pedido lo vemos en la figura 2.24

Fig. 2.24

Problema 2.9.4 Trazar el gráfico aproximado de la función:

Solución:

Se consideran los gráficos de las funciones f₁(x) = sen x y f₂(x) = 3sen 2x y para un mismo x se suman las ordenadas respectivas, obteniéndose para f(x) el gráfico que se presenta en la figura 2.25.

Fig. 2.25

Problema 2.9.5 Trazar el gráfico aproximado de la función:

Solución:

Se consideran los gráficos de las funciones f₁(x) = sen 2x y f₂(x) = cos 3x y para un mismo x se suman las ordenadas respectivas, obteniéndose para f(x) el gráfico que se presenta en la figura 2.26.

Fig. 2.26

Problema 2.9.6 Trazar el gráfico aproximado de la función:

Solución:

Se consideran los gráficos de las funciones f₁(x) = sen 2x y f₂(x) = cos 3x y para un mismo x se restan las ordenadas respectivas, obteniéndose para f(x) el gráfico que se presenta en la figura 2.27.

Fig. 2.27

Problema 2.9.7 Trazar el gráfico aproximado de la función:

Solución:

Aquí hacemos lo siguiente:

y procedemos con el método señalado en el párrafo [2.4] obteniéndose el gráfico que se presenta en la figura 2.28.

Fig. 2.28

Problema 2.9.8 Mediante las fórmulas de reducción, vistas en el párrafo [2.5], expresar en términos más simples:

Solución:

Se tiene:

además, resulta:

como también:

por otro lado, se obtiene:

ahora, resulta:

por último, se consigue:

Problema 2.9.9 Si tg 23^◦ = a, calcular el valor de:

Solución:

Se tiene:

Problema 2.9.10 Si tg 25^◦ = t, encontrar el valor de la expresión:

Solución:

Se tiene:

Problema 2.9.11 Calcular el valor de la expresión:

Solución:

La expresión resulta ser:

Problema 2.9.12 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 2.9.13 Demostrar que:

Solución:

Tenemos:

de esto se concluye que el resultado es evidente.

Problema 2.9.14 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 2.9.15 Siendo a ≠ 0, se pide factorizar a cos α + b sen α.

Solución:

Se tiene:

pero existe β tal que luego:

Problema 2.9.16 Si α y β son ángulos del primer cuadrante, Hallar cos(α + β) y demostrar que:

Solución:

Es claro que y que con ello resulta:

y, por lo tanto, se obtiene:

Problema 2.9.17 Demostrar que:

Solución:

Tenemos:

de esto resulta:

y, por lo tanto, se obtiene:

Problema 2.9.18 Demostrar que tg 3α − tg 2α − tg α = tg α · tg 2α · tg 3α.

Solución:

Es claro que:

y de ello el resultado.

Problema 2.9.19 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

o sea:

Problema 2.9.20 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

dividiendo los segundos miembros de cada una de las igualdades anteriores por resulta:

amplifiquemos los segundos miembros de cada una de las igualdades anteriores por y llegaremos a:

Problema 2.9.21 Calcular sen 4α sabiendo que tg α = 3.

Solución:

Tenemos por el problema anterior que:

y como:

conseguimos:

Problema 2.9.22 Demostrar la identidad

Solución:

Tenemos:

luego el segundo miembro de la identidad en estudio puede escribirse:

Problema 2.9.23 Demostrar la identidad

Solución:

Sabemos que :

luego:

Problema 2.9.24 Demostrar que:

Solución:

En este caso tenemos:

pero, son complementarios, luego:

Problema 2.9.25 Siendo a, b ∈ R⁺, establecer que existe α tal que:

Solución:

Tenemos en primer lugar que existe α tal que ahora:

Problema 2.9.26 Sea la función definida por:

Demostrar que g(x) es función constante.

Solución:

Que g(x) sea función constante significa que para todo ocurre que el valor de la imagen es el mismo, bastará probar entonces que:

En efecto, tenemos:

Problema 2.9.27 Demostrar que la expresión:

es independiente de x.

Solución:

Se tiene:

o sea, es independiente de x.

Problema 2.9.28 Demostrar que:

Solución:

Se tiene que:

pues tg 50^◦ · tg 40^◦ = 1, ya que tg 40^◦ = cot 50^◦, de ello:

Problema 2.9.29 Calcular el valor de sen 18^◦.

Solución:

Es evidente que

o mejor:

obtenemos la ecuación:

cuyas raícess son pero la única que sirve es:

por simple conclusión ya que 1 = sen 90^◦ y el tercer valor es negativo.

Problema 2.9.30 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Colocando x = tg β, en las expresiones anteriores, se consigue:

es decir, resulta la ecuación x⁴ + x² − 1 = 0 cuyas soluciones son:

y, considerando sólo la positiva, tenemos:

ahora, recordando que sen obtenemos:

Problema 2.9.31 Demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene:

Problema 2.9.32 Si

Solución:

Utilizando la transformación:

resulta que la expresión:

pasa a ser:

cuyas soluciones son:

Problema 2.9.33 Demostrar que:

Solución:

Se sabe que:

por lo tanto, se tiene:

Problema 2.9.34 Demostrar que:

Solución:

Tenemos:

Problema 2.9.35 Demostrar que:

Solución:

Se tiene:

Problema 2.9.36 Demostrar que:

Solución:

Por hipótesis, se tiene:

elevando al cuadrado esta última, obtenemos

Problema 2.9.37 Demostrar que:

(1)sen 78^◦ − cos 48^◦ = cos 72^◦

(2)cos 5^◦ − sen 25^◦ = sen 35^◦

Solución:

Se aplican las fórmulas de prostaféresis.

(1)

(2)

(3)

(4)

Problema 2.9.38 Demostrar que

Solución:

Aplicando fórmulas de prostaféresis, resulta:

Problema 2.9.39 Demostrar la identidad:

Solución:

Primer método:

El primer miembro puede escribirse:

Segundo método:

Utilizando fórmula de prostaféresis en el primer miembro y, posteriormente, que cos 2θ = 1 − 2sen ²θ, se obtiene:

Problema 2.9.40 Demostrar que:

Solución:

Aplicaremos las fórmulas de prostaféresis y además que 1 + cos 2α = 2cos²α.

Problema 2.9.41 Demostrar que:

Solución:

Aplicaremos fórmulas de prostaféresis:

pero como, por hipótesis, se tiene como también luego:

Problema 2.9.42 Demostrar que:

Solución:

Aplicaremos las fórmulas de prostaféresis y que α + β = π − γ; se tiene:

Problema 2.9.43 Demostrar que:

Solución:

Aplicaremos las fórmulas de prostaféresis y que α + β = π − γ; se tiene:

Problema 2.9.44 Demostrar que:

Solución:

Aplicaremos las fórmulas de prostaféresis y que α + β = −γ; se tiene:

Problema 2.9.45 Calcular la sumatoria:

Solución:

Se tiene, al multiplicar la suma por y posteriormente aplicar fórmula de prostaféresis, que:

por lo tanto tenemos:

Problema 2.9.46 Sabiendo que calcular la sumatoria:

Solución:

Como se sabe que:

se obtiene:

colocando resulta:

entonces:

Problema 2.9.47 Sabiendo que tg β = cot β − 2 cot 2β y que calcular la sumatoria:

Solución:

Colocando según la indicación resulta:

por lo tanto:

y de ello:

Problema 2.9.48 Sabiendo que cosec calcular la sumatoria:

Solución:

Colocando β = 2^k−1α, según la indicación resulta:

por lo tanto:

Problema 2.9.49 Calcular la sumatoria:

Solución:

Se sabe que sen 3α = 3sen α − 4sen ³α, de ello:

hagamos de ello:

con esto:

Luego:

Problema 2.9.50 Dado el sistema:

se pide eliminar el parámetro α.

Solución:

Resolviendo el sistema se consigue:

y como sen ²α + cos² α = 1 se obtiene

Problema 2.9.51 Dado el sistema:

se pide eliminar el parámetro α.

Solución:

A partir del sistema se consigue:

y como cos²α + sen² α = 1, se obtiene

Problema 2.9.52 Dado el sistema:

se pide eliminar el parámetro θ.

Solución:

Del sistema se deduce, al aplicar fórmulas de prostaféresis, que:

elevando al cuadrado las expresiones (1) y (2) y sumando los resultados se obtiene:

pero de (1), se consigue:

de donde:

de (3) y (4) obtenemos:

que es el resultado esperado.

2.10Problemas propuestos

1.Graficar las funciones:

(a) f(x) = sen x + 2 cos x

(b) f(x) = sen 3x + cos 2x

(c) f(x) = sen x + sen 2x

(d) f(x) = sen 2x + sen 3x

(e) f(x) = sen 3x − cos 2x

(f) f(x) = 2sen 3x + 3 cos 2x

2.Mediante las fórmulas de reducción, vistas en el párrafo [2.5], expresar en términos más simples:

3.Demostrar las identidades:

(a) tg α + cot α = sec αcosec α

(b) 1 − 2sen 2α = 2 cos2 α − 1

(c) sen α cos αcosec α sec α = 1

(f) cos⁴ α − sen⁴α = cos² α − sen 2α

(i) sen α sec α cot α = 1

(j) cos α + tg αsen α = sec α

4.Comprobar que:

5.Calcular:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)Sabiendo que:

calcular:

6.Calcular el valor de:

7.Si sen , calcular:

8.Si sen , calcular:

9.Desde cada extremo de una base de longitud 2a la elevación angular de un monte es θ y desde el punto medio de tal base es ϕ. Demostrar que el monte mide:

10.Demostrar las identidades:

11.Una torre dista 40 metros desde la orilla más cercana de un río cuyo ancho es de 100 metros. Calcular la altura de la torre si desde la cúspide se observa el río bajo un ángulo de 30^◦.

12.Demostrar que:

13.Demostrar que:

14.Demostrar:

15.Demostrar que:

16.Demostrar que:

(b)4 cos 18^◦ − 3 sec 18^◦ = 2tg 18^◦

(c)cot 15^◦ + cot 75^◦ + cot 135^◦ − cosec 30^◦ = 1

(d)

(e)

(f)sen 33^◦ + cos 63^◦ = cos 3^◦

(g)tg 20^◦tg 40^◦tg 80^◦ = tg 60^◦

17.Demostrar:

18.Demostrar que:

19.Demostrar que:

20.Demostrar que:

21.Demostrar que:

22.Demostrar que:

23.Demostrar que:

24.Demostrar que:

25.Demostrar que:

26.Demostrar que:

27.Demostrar que:

28.Demostrar que:

29.Demostrar que:

30.Demostrar que:

31.Demostrar que:

32.Demostrar que:

33.Demostrar que:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

34.Demostrar que al eliminar β entre las ecuaciones:

se obtiene:

35.Demostrar que al eliminar β entre las ecuaciones:

se obtiene:

36.Demostrar que al eliminar α y β entre las ecuaciones:

se obtiene:

37.Demostrar que:

siendo (lo que representa una suma de ondas de igual frecuencia en Física).

2.11Respuestas capítulo 2

(2)

(5)

(6)

(7)

(8)

(11)130,2 m. ó 43 m.

Capítulo 3

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

El concepto de relación inversa de una función circular y, con posterioridad, el de función inversa de una función circular, es importante, ya que al considerar la función y = cos x podemos referirnos a y, el coseno de x, pero también es posible que el énfasis esté puesto en el número x, o sea, a aquel x cuyo coseno es y. Esto se presenta muy a menudo, razón por la que para señalar que x es un número cuyo coseno es y, esto es, la relación inversa de y = cos x se utiliza la notación especial:

Este simbolismo fue introducido, según se dice, por los matemáticos Daniel Bernouilli y Leonhard Euler en el año 1730.

Nota:

x = arccosy es el conjunto de aquellos x tales que y = cos x. Por lo tanto, un x determinado está en dicho conjunto; esto es lo que entendemos por la igualdad x = arccosy, no es una igualdad en el sentido lógico de igualdad.

En otras palabras tenemos la equivalencia siguiente:

En particular, si colocamos nos resulta:

Esta consideración anterior nos hace ver que si bien y = cos x es una función, la expresión x = arccosy define sólo a una relación; más precisamente, una relación en que a un apropiado valor de y, le corresponden infinitos valores de la variable x.

Por analogía, las restantes relaciones circulares inversas se deducen en forma similar y se simbolizan, respectivamente, mediante:

3.1Gráficos de las relaciones circulares inversas

En el párrafo [6.3] del capítulo anterior presentamos los gráficos de las funciones circulares y = cos x, y = sen x, etc. Nos detendremos, en particular, en el gráfico de y = cos x ya que los demás se deducen por analogía. El gráfico de y = cos x son los puntos (x, y) = (x, cos x) = (arccosy, y); por lo tanto, el gráfico es el mismo. Ahora bien, si efectuamos la transformación en el plano dada por (x, y) ←→ (y, x), el gráfico (x, y) = (arccosy, y) obtendremos el gráfico de y = arccosx. La transformación anterior es una simetría con respecto a la diagonal de ecuación y = x. Dicha simetría también se consigue si el gráfico de y = cos x (éste aparece en la figura 6.13); si teniendo el gráfico de y = cos x en papel transparente con el eje vertical y el eje horizontal damos vuelta el papel y lo rotamos 90^◦ en el sentido horario, el resultado es el gráfico de y = arccosx que aparece en la figura 7.1. Los gráficos de y = arcsenx, y = arctgx, y = arccotx, y = arcsecx e y = arccosecx, se obtienen en forma similar y se ilustran en las figuras 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 y 3.6, respectivamente.

Gráfico de:

Fig. 3.1

Fig. 3.2

Fig. 3.3

Fig. 3.4

Fig. 3.5

Fig. 3.6

3.2Funciones circulares inversas o valores principales

Comenzaremos recordando que si f es una función de A en B, entonces es una relación de A en B y por tal motivo tendrá relación inversa de B en A. A continuación presentaremos el conocido resultado que entrega la condición necesaria y suficiente para que la función f de A en B no sólo tenga relación inversa de B en A sino que función inversa de B en A, o sea, que f⁻¹ : B → A será función (conocida como función inversa de f y simbolizada por f⁻¹).

Teorema 3.2.1 Sea f : A → B función, entonces:

Problema 3.2.1 Sea la función definida por:

Demostrar que ella es biyectiva y encontrar la respectiva función inversa f⁻¹ .

Solución:

Primero estableceremos que f es uno a uno. Pues bien, sean y tales que f(x₁) = f(x₂) o sea:

de donde:

o sea:

luego, f es inyectiva.

Ahora demostraremos que f es epiyectiva. Para ello sea así vemos que existe tal que f(x) = y debido a que:

de donde:

y, por lo tanto:

y, como: resulta:

o sea:

luego f es sobre.

Tenemos que f es biyectiva y de aquí su función inversa es:

Nota:

Tomando en consideración el resultado presentado en el teorema [3.2.1] (y restringiendo los dominios de las respectivas funciones trigonométricas o circulares) conseguiremos como aplicaciones a nuestro estudio los teoremas que presentaremos a continuación.

Teorema 3.2.2 La función cos : [0, π] → [−1, 1] es biyectiva, entonces su función inversa es:

Los gráficos respectivos de estas funciones, inversa una de otra, se presentan en la figura 3.7.

Fig. 3.7

Teorema 3.2.3 La función sen : es biyectiva, entonces su función inversa es Arcsen =

Los gráficos respectivos de estas funciones, inversa una de otra, se presentan en la figura 3.8.

Fig. 3.8

Teorema 3.2.4 La función es biyectiva, entonces su función inversa es

Definición 3.2.1

Fig. 3.9

Nota:

Para encontrar concretamente los valores de Arccos x = INVCOS x (y por analogía las restantes), acudimos a la calculadora colocando primeramente x en la pantalla y, a continuación, apretando las teclas INV y COS.

Teorema 3.2.5 La función cot : (0, π) → R es biyectiva, entonces su función inversa es Arccot = cot⁻¹ : R → (0, π)

Fig. 3.10

Teorema 3.2.6 La función es biyectiva, entonces su función inversa es:

Fig. 3.11

Teorema 3.2.7 La función es biyectiva, entonces su función inversa es:

Fig. 3.12

3.3Identidades con valores principales

En este apartado resumiremos las identidades fundamentales que se presentan con las funciones circulares inversas o valores principales.

Teorema 3.3.1 Para valores principales se tiene que:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

donde:

Este teorema se puede aplicar en el siguiente ejercicio:

Problema 3.3.1 Demostrar la identidad:

Solución:

Es claro que por la propiedad (3) se tendrá:

a su vez se tiene, a causa de las propiedades (1) y (3) que:

Luego, al considerar el primer miembro de la identidad planteada y producir los cambios propuestos resulta:

3.4Ecuaciones trigonométricas

Aquí resumiremos los teoremas que nos entregan las fórmulas que conducen a la resolución de ecuaciones trigonométricas

Teorema 3.4.1 Siendo y₀ ∈ [−1, 1] un número fijo, se tiene que la solución de la ecuación cos x = y₀ es:

(Donde Arccos y₀ = x₀.)

Teorema 3.4.2 Siendo y₀ ∈ [−1, 1] un número fijo, se tiene que la solución de la ecuación sen x = y₀ es:

(Donde Arcsen y₀ = x₀.)

Teorema 3.4.3 Siendo y₀ ∈ R un número fijo se tiene que la solución de la ecuación tg x = y₀ es:

(Donde Arctg y₀ = x₀.)

Teorema 3.4.4 Siendo y₀ ∈ R un número fijo se tiene que la solución de la ecuación cot x = y₀ es:

Teorema 3.4.5 Siendo y₀ ∈ (−∞, −1]∪[1, ∞) un número fijo, se tiene que la solución de la ecuación sec x = y₀ es:

Teorema 3.4.6 Siendo y₀ ∈ (−∞, −1]∪[1, ∞) un número fijo, se tiene que la solución de la ecuación cosec x = y₀ es:

Nota:

Si en las relaciones inversas se da un k fijo, se consigue una función que se llama rama de la relación inversa.

3.5Problemas resueltos

Problema 3.5.1 Demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene:

Problema 3.5.2 Demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene:

Problema 3.5.3 Demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene:

Problema 3.5.4 Demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene:

Problema 3.5.5 Demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene:

Problema 3.5.6 Demostrar la identidad:

Solución:

Problema 3.5.7 Demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene:

Problema 3.5.8 Demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene:

Problema 3.5.9 Demostrar la identidad:

Solución:

Por un lado, tenemos:

y, por otra parte, resulta:

De (1) y (2) se obtiene el resultado.

Problema 3.5.10 Demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene:

pero:

de estos dos resultados se deduce la identidad.

Problema 3.5.11 Demostrar la identidad:

Solución:

en consecuencia, se obtiene:

Problema 3.5.12 Demostrar la identidad:

Solución:

Sea x = Arcsen , de ello y = sen x. Como:

resulta:

Problema 3.5.13 Demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene que:

con lo que:

lo que nos lleva a:

Problema 3.5.14 Demostrar la identidad:

Solución:

Sea x = Arccot y ∈ (0, π), de ello pero:

con esto se concluye que:

consiguiéndose:

Problema 3.5.15 Demostrar que:

Solución:

Sea y > 0, de ello y, en consecuencia:

de donde:

y como:

De (1) y (2) se deduce que:

Sea ahora y < 0, de ello x = Arctg y, en consecuencia:

de donde:

y como:

De (3) y (4) se deduce que:

Problema 3.5.16 Demostrar la identidad:

donde:

Solución:

Caso (1) Debe excluirse el caso y₁ · y₂ = 1, ya que en esta situación se sabe que:

y sabemos que la función tangente tg no está definida en

Caso (2) En esta situación tenemos y₁ · y₂ < 1 y se presentan varias opciones a saber:

(2.1) y₁ ≥ 0, y₂ ≤ 0, entonces:

por lo tanto resulta:

con lo que:

luego:

en conclusión:

(2.2) y₁ ≤ 0, y₂ ≥ 0 éste es similar al anterior.

(2.3) y₁ > 0, y₂ > 0, deberá tenerse que de esto se desprende que:

por lo tanto, nuevamente resulta:

en conclusión:

(2.4) y₁ < 0, y₂ < 0, deberá tenerse que de esto se desprende que:

por lo tanto, nuevamente tenemos:

en conclusión:

Caso (3) En esta situación tenemos y₁ · y₂ > 1 y se presentan dos opciones, a saber:

(3.1) y₁ < 0, obligatoriamente y₂ < 0, luego:

con lo que:

o sea estamos en el recorrido de la rama (Arctg)₁, ya que siempre −π < Arctg y₁ + Arctg y₂ y por ( I ) sabemos se deduce entonces que:

de esto:

luego, por la observación hecha anteriormente, se obtiene:

es decir:

(3.2) Se deja a cargo del lector ejercitar la situación y₁ > 0, obligatoriamennte y₂ > 0.

Problema 3.5.17 Demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene:

Problema 3.5.18 Si a > 1, demostrar la identidad:

Solución:

Se tiene:

Problema 3.5.19 Demostrar la identidad:

Solución:

Primero, si v = u, entonces:

Supongamos ahora u < v, entonces:

Si u > v, entonces:

Problema 3.5.20 Calcular la sumatoria:

Solución:

Se tiene que:

Problema 3.5.21 Calcular la sumatoria

Solución:

Se tiene que:

luego:

Problema 3.5.22 Probar que:

Solución:

Tenemos:

Problema 3.5.23 Demostrar la identidad:

Solución:

En el problema resuelto [3.5.3] demostramos la identidad:

de ella se desprende la identidad:

con lo que:

y como:

resulta:

lo que se deseaba.

Problema 3.5.24 Resolver la ecuación:

Solución:

Se tiene:

Problema 3.5.25 Resolver la ecuación:

Solución:

Se tiene:

lo que muestra que no hay solución.

Problema 3.5.26 Resolver la ecuación:

Solución:

Se tiene:

luego:

así:

con ello:

y sólo es solución

Problema 3.5.27 Resolver la ecuación:

Solución:

Se tiene:

y por inyectividad se consigue:

o sea :

de donde sen x = 0 no sirve, ya que | cos x| ≠ 1, luego:

Problema 3.5.28 Resolver la ecuación:

Solución:

Aquí hacemos:

Luego:

Problema 3.5.29 0 < a < 1 , 0 < b < 1, resolver en x:

Solución:

Es claro que:

Como también:

Con lo anterior el problema planteado pasa a ser:

Colocando: se consigue γ = β − α, con lo que se llega a:

es decir:

lo que implica:

cuyas soluciones son:

Problema 3.5.30 Resolver la ecuación:

Solución:

La ecuación planteada también se puede escribir:

de ella se desprende las ecuaciones:

(1)

(2)

Resolvamos la primera, la que también es:

con lo que:

luego:

con lo que las soluciones son:

Ahora pasaremos a resolver la segunda:

aquí se tiene:

luego:

con lo que las soluciones son:

Observando (3) y (4), tenemos que la solución general es:

Problema 3.5.31 Resolver la ecuación 2, 31 cos θ + 3, 25sen θ = 2, 33.

Solución:

Dibujamos ∆ABC rectángulo en C, con a = 3, 25; b = 2, 31 resultándonos c ≈ 3, 987304. Procedemos entonces a multiplicar la ecuación planteada por (3, 987304)⁻¹, consiguiéndose:

o sea:

o mejor:

de donde:

y como α = 54^◦35′45, 41″, obtenemos finalmente:

Nota:

Esta ecuación también se puede resolver con los métodos que se presentarán en el problema resuelto [3.5.43].

Problema 3.5.32 Resolver la ecuación:

Solución:

Sabemos que:

luego la ecuación planteada también se puede escribir:

luego, al ser el miembro izquierdo un cuadrado perfecto, resulta:

con lo que:

Problema 3.5.33 Resolver la ecuación

Solución:

La ecuación, por prostaféresis se transforma en:

es decir:

de donde:

o también:

y de esto resulta:

Problema 3.5.34 Resolver la ecuación (1 − tg θ)(sen 2θ + 1) = 1 + tg θ·

Solución:

Es claro que:

Colocando este valor en la ecuación planteada obtenemos:

o mejor:

de donde:

con lo que:

resolviendo se obtiene:

y de esto se consigue:

Por último:

Problema 3.5.35 Resolver la ecuación:

Solución:

Esta ecuación se puede escribir también :

luego:

colocando j − 1 = k, resulta la solución:

Problema 3.5.36 Resolver la ecuación 4sen ⁴ϕ − 12sen ϕ cos² ϕ − 7 cos² ϕ + 9sen ϕ + 5 = 0 .

Solución:

La ecuación se puede escribir:

de donde:

como es solución racional de ella, se obtiene:

con ello:

(1)

(2)

(3)

de esto la primera no ofrece solución. La segunda:

Problema 3.5.37 Resolver la ecuación tg aθ = cot bθ .

Solución:

Se tiene:

con lo que::

de donde

Problema 3.5.38 Resolver la ecuación

Solución:

La ecuación también es:

o sea:

de donde:

por lo tanto, resultan las raíces vemos que la primera no sirve, ya que supera a la unidad, luego:

Problema 3.5.39 Resolver la ecuación tg ³θ + cot³ θ = 8cosec ³2θ + 12 .

Solución:

Se tiene:

luego, la ecuación queda:

lo que nos conduce a:

de donde:

Problema 3.5.40 Resolver la ecuación 3(1 − cos ν) = sen ²ν .

Solución:

La ecuación también puede escribirse:

(cuidado, no dividir la ecuación por 1 − cos ν), la ecuación pasa a ser:

con lo que la única opción es cos ν = 1 ⇒ ν = 2kπ , k ∈ Z .

Problema 3.5.41 Resolver la ecuación

Solución:

La ecuación también puede escribirse:

o sea:

o también:

o mejor:

de donde:

La primera ecuación nos lleva a:

o sea:

Nota:

Esta primera ecuación también se puede resolver con los métodos que se presentarán en el problema resuelto [3.5.43].

La segunda ecuación nos conduce a sen 2 θ = 2 o sea, no tiene solución.

Problema 3.5.42 Resolver la ecuación sen 3ω = sen ω .

Solución:

La ecuación también puede escribirse:

luego, la primera nos lleva a:

y la segunda:

Problema 3.5.43 Resolver la ecuación cos 3ω − cos 2ω + cos ω = 0 .

Solución:

La ecuación también puede escribirse:

de donde cos 2ω(2 cos ω − 1) = 0, luego, tenemos:

como también:

Problema 3.5.44 Resolver la ecuación a sen θ + b cos θ = c . (a ≠ 0)

Solución:

Primer método.

Como a ≠ 0, multiplicamos la ecuación por a⁻¹ obteniéndose:

colocando (nótese que α es conocido) así:

multiplicándola por cos α, resulta

de donde:

por lo tanto, resulta

La condición:

es equivalente con:

O sea, la ecuación tiene solución si y sólo si c² ≤ a² + b².

Segundo método.

En la ecuación planteada reemplazamos cos θ y sen θ en términos de expresiones que contengan a o sea:

resultando:

ecuación de segundo grado en y con discriminante:

bajo esta condición:

con lo que:

como también:

Problema 3.5.45 Resolver la ecuación:

Solución:

Aplicando el primer método del problema anterior, llegamos a

fórmula que en ambos casos conduce a:

Problema 3.5.46 Resolver la ecuación sen θ − 8 cos θ = −4 .

Solución:

En este caso a = 1, b = −8 y c = −4; ahora ocuparemos el segundo método señalado en el problema resuelto [7.5.43], o sea, resolveremos la ecuación equivalente:

resultando:

con ello:

Problema 3.5.47 Resolver la ecuación atg θ + b cot θ = c .

Solución:

La ecuación también es:

con lo que:

en este caso es claro que c² − 4ab ≥ 0. Por lo tanto, tenemos:

como también:

Problema 3.5.48 Resolver la ecuación 6tg θ − 2 cot θ = −1 .

Solución:

Resulta:

luego:

con ello:

Problema 3.5.49 Resolver la ecuación asen ²θ + bsen θ cos θ + c cos² θ = d .

Solución:

Primer método.

Es claro que el primer miembro es homogéneo en sen θ, cos θ, para que el segundo miembro también lo sea lo multiplicamos por 1 = cos² θ + sen ²θ, resultando:

y, multiplicando esta última por sec² θ, resulta:

ecuación que ya sabemos resolver.

Segundo método.

Sabemos que 2sen ²θ = 1−cos 2θ, 2 cos² θ = 1+cos 2θ, luego multiplicamos la ecuación planteada por 2 y luego hacemos los cambios señalados, obteniéndose:

ecuación que ya sabemos resolver.

Problema 3.5.50 Resolver la ecuación a(sen θ + cos θ) + bsen θ cos θ = c .

Solución:

Esta ecuación no cambia si se permutan sen θ y cos θ, por lo tanto es adecuado efectuar en ella el cambio , así:

y:

con lo que ecuación propuesta se transforma en:

ecuación que sabemos resolver.

Problema 3.5.51 Resolver los sistemas:

Solución:

El método de resolución es el mismo para todos, por lo que sólo entregaremos la solución del primero, o sea resolveremos:

la segunda ecuación se puede escribir:

aplicando la primera ecuación en este resultado llegamos a:

poniendo:

esto exige que:

o sea:

de donde:

Luego, obtenemos:

llegándose a los sistemas:

que producen los ángulos x e y.

Problema 3.5.52 Resolver los sistemas:

Solución:

El método de resolución es el mismo para todos, por lo que sólo entregaremos la solución del primero, o sea resolveremos:

la segunda ecuación se puede escribir:

y aplicando la primera, resulta:

luego deberá tenerse:

o sea:

bajo esta condición llegamos a:

y tenemos el problema resuelto.

Problema 3.5.53 Resolver los sistemas:

Solución:

El método de resolución es el mismo para todos, por lo que sólo entregaremos la solución del primero, o sea resolveremos:

la segunda ecuación se transforma en:

de donde:

β siempre existe, obteniéndose el sistema:

y tenemos el problema resuelto.

Problema 3.5.54 Resolver los sistemas:

Solución:

Resolvamos el primer sistema, o sea:

la segunda ecuación puede escribirse:

de donde:

y tenemos el problema resuelto, pero deberá tenerse:

o mejor:

el paréntesis se anula para:

Cuando tg α > 0, para que la desigualdad anterior se verifique, deberá tenerse:

Si tg α < 0 hay que considerar los valores de a interiores al intervalo abierto

de las raíces anteriores.

El segundo sistema se resuelve de la misma manera.

Resolvamos ahora el tercer sistema, es decir:

La segunda ecuación del sistema se puede escribir:

o sea:

ecuación que ya sabemos resolver.

Problema 3.5.55 Resolver los sistemas:

Solución:

Veamos el primer sistema:

se tiene:

llegándose al sistema:

este sistema es posible si:

Problema 3.5.56 Resolver los sistemas:

Solución:

Veamos el primer sistema, es decir:

la segunda ecuación de él también puede escribirse:

llegándose al sistema:

este sistema es posible si:

Problema 3.5.57 Resolver el sistema:

Solución:

Multiplicando la primera ecuación por 4ρ se consigue:

(note que ρ = 0 no satisface el sistema), luego:

por lo tanto, resulta y con este valor se obtiene de donde

Problema 3.5.58 Resolver el sistema:

Solución:

Se tiene:

con lo que:

luego:

o sea:

por lo tanto, resulta:

y las otras por analogía.

Problema 3.5.59 Resolver la inecuación

Solución:

La inecuación también es:

o sea:

observando la figura 3.13, tenemos que sirven los ángulos del arco , que en particular, resulta:

Fig. 3.13

y la solución general será:

o sea:

es decir todos los ángulos de los arcos que se obtienen haciendo k = 0 y k = 1.

Problema 3.5.60 Resolver la inecuación sen x + 2 cos x > 1 .

Solución:

Transformemos la inecuación en términos de o sea:

inecuación cuyas soluciones t verifican la desigualdad , luego, por lo tanto, los ángulos tienen su extremo en los arcos o que se presentan en la figura 3.14, es decir son de la forma:

donde tg es decir α = 18^◦ 26′ 5.82″ ≡ 0.321750554 radianes , con ello la solución del problema son todos aquellos ángulos cuyo lado terminal está en el arco que se muestra en el segundo gráfico que aparece en la figura 8.14, es decir aquellos que cumplen con:

Fig. 3.14

Problema 3.5.61 Resolver la inecuación tg x + cos x > sec x .

Solución:

La inecuación es equivalente con:

como 1 − sen x ≥ 0, la inecuación es equivalente con:

que se satisface para:

Problema 3.5.62 Resolver la inecuación:

Solución:

Como sen ²x + cos² x = 1, elevando esta al cuadrado, se obtiene:

con esto, la inecuación planteada es equivalente con:

que se satisface para todo x salvo aquellos de la forma:

Problema 3.5.63 Resolver la inecuación:

Solución:

Se tiene:

luego la inecuación planteada es equivalente con la inecuación:

cuya solución es:

3.6Problemas propuestos

(I)Demostrar las identidades siguientes:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(II)Demostrar que:

(III)Resolver las ecuaciones:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(IV)Resolver las ecuaciones:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(V)Resolver la ecuación:

(VI)Resolver los sistemas:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(VII)Resolver las inecuaciones:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(VIII)Demostrar que:

3.7Respuestas capítulo 3

(III)

(IV)

(V)

(VI)

(VII)

Capítulo 4

RELACIONES EN EL TRIANGULO

Este capítulo tratará lo que hemos dado en llamar Trigonometría propiamente tal, ya que estableceremos relaciones entre los elementos primarios (lados y ángulos) de un triángulo. Además, encontraremos relaciones entre los trazos secundarios tales como alturas, bisectrices, transversales, etc., y los elementos primarios. Esto nos permitirá resolver un triángulo, es decir, dados tres elementos de un triángulo (por lo menos uno de ellos no angular), calcular los otros tres.

Extenderemos, someramente, al estudio de los cuadriláteros y polígonos en general, ya que estas figuras se pueden descomponer en triángulos.

4.1Relaciones elementales

Aquí reseñaremos las relaciones conocidas de la geometría elemental y obtendremos de ellas consecuencias trigonométricas.

Definición 4.1.1 Siendo A, B, C tres puntos no colineales se define el triángulo ABC como la unión de los trazos o sea:

Los puntos A, B, C se denominan vértices del triángulo ABC. (Ver la figura 4.1).

Fig. 4.1

Definición 4.1.2 Los elementos primarios de un triángulo son, respectivamente, los lados:

y los ángulos:

Considerando la figura 4.1 vemos que las longitudes de los lados del triángulo serán simbolizadas por:

y que las medidas de los ángulos se denotarán por :

Teorema 4.1.1 La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es de

4.1.1Clasificación de los triángulos

Tomando en cuenta los lados del triángulo, éste puede ser:

1.Escaleno, lo que significa que las medidas de los tres lados son distintas.

2.Isósceles, lo que señala que el triángulo posee dos lados de igual medida y si los tres lados son de igual medida el triángulo será:

3.Equilátero.

Pues bien, si ahora consideramos los ángulos del triángulo y el resultado dado por el teorema [4.1.1] ocurrirá que si el triángulo tiene ya sea un ángulo recto o bien uno obtuso, entonces los otros ángulos serán agudos. Por lo que un triángulo puede ser:

1.Acutángulo, cuando los tres ángulos sean agudos.

2.Rectángulo, cuando uno de los ángulos sea recto.

3.Obtusángulo, cuando uno de los ángulos sea obtuso.

4.1.2Otros conceptos y propiedades

Definición 4.1.3 Al darse un triángulo se denomina ángulo exterior de él a todo ángulo que es adyacente a un ángulo del triángulo.

En la figura 4.2 el ángulo CBD es un ángulo exterior del triángulo ABC.

Fig. 4.2

Nota:

Hacemos notar que en cada vértice de un triángulo ABC hay dos ángulos exteriores. Esto se visualiza en la figura 4.3.

Fig. 4.3

Teorema 4.1.2 La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes.

Nota:

Del teorema [4.1.2] se desprende el siguiente resultado:

Corolario 4.1.1 Un ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente.

Teorema 4.1.3 La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es de 360^◦.

Fig. 4.4

En la figura 4.4 , el teorema anterior nos dice que si α′, β′ y γ′ son los ángulos exteriores que se muestran, entonces:

Teorema 4.1.4 (Desigualdad triangular)

En un triángulo la medida de un lado es menor que la suma de las medidas de los otros.

Teorema 4.1.5 En un triángulo a lado de mayor medida se opone ángulo de mayor medida y viceversa.

Teorema 4.1.6 Teorema del coseno

Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:

Teorema 4.1.7 Teorema de los senos

Sea ABC un triángulo cualquiera (cuyo circunradio es r), entonces:

Teorema 4.1.8 Teorema de las proyecciones

Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:

Teorema 4.1.9 Teorema de las tangentes

En un ABC un triángulo se tiene:

Teorema 4.1.10 Area del triángulo

Sea ABC un triángulo cualquiera cuya área es (ABC), entonces:

4.2Otras identidades útiles

Aquí consideraremos cualquier triángulo ABC con perímetro 2s = a + b + c; transversales de gravedad t_a, t_b, t_c; alturas h_a, h_b, h_c; bisectrices interiores b_α, b_β, b_γ; circunradio r; inradio ρ y exradios ρ_a, ρ_b, ρ_c.

Teorema 4.2.1 Fórmulas de Briggs

Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:

Teorema 4.2.2 Area de un triángulo

Sea ABC un triángulo cualquiera con área (ABC), entonces:

Teorema 4.2.3 Transversales de gravedad de un triángulo

Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:

Teorema 4.2.4 Alturas de un triángulo

Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:

Teorema 4.2.5 Bisectrices interiores de un triángulo

Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:

Teorema 4.2.6 Circunradio de un triángulo

Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:

Teorema 4.2.7 Inradio de un triángulo

Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:

Teorema 4.2.8 Exradios de un triángulo

Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:

4.3Problemas resueltos

Problema 4.3.1 Demostrar el teorema [4.1.6] del coseno en el caso:

Solución:

En la figura 4.5, tenemos el triángulo ABC con γ < 90^◦, luego:

y en la figura 4.6, el triángulo ABC es tal que 90^◦ < γ < 180^◦, luego:

Fig. 4.5

Fig. 4.6

En el primer caso resulta h_a = bsen γ y CD = b cos γ y en el segundo h_a = bsen (π − γ) = bsen γ y CD = b cos(π − γ) = −b cos γ, por lo tanto, en ambas situaciones, al hacer los desarrollos, se consigue:

Problema 4.3.2 Demostrar que en un triángulo ABC se tiene que:

Solución:

Del teorema del coseno tenemos:

sumando estas tres igualdades, miembro a miembro, resulta:

de ello:

Problema 4.3.3 Demostrar el teorema [4.1.7] de los senos:

Solución:

Fig. 4.7

Fig. 4.8

Considerando la figura 4.7 , donde γ < 90^◦, se dibujó la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y el punto A′ diametralmente opuesto con el punto A, de ello se concluye que c = 2rsen γ, se deduce, entonces que:

Los otros casos se demuestran en forma análoga.

Tomando ahora la figura 4.8, donde 90^◦ < γ < 180^◦, se dibujó la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y el punto A′ diametralmente opuesto con el punto A, se deduce que c = 2rsen (π − γ) = 2rsen γ, siguiéndose de ello el resultado.

Problema 4.3.4 Demostrar que en un triángulo ABC se tiene:

Solución:

Tenemos:

Problema 4.3.5 Demostrar el teorema [4.1.8] de las proyeciones en el caso:

Solución:

Fig. 4.9

Fig. 4.10

En figura 4.9 es claro que c = a cos β + b cos α y en la figura 4.10 resulta c = b cos α − a cos(π − β) = a cos β + b cos α·

Problema 4.3.6 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

Solución:

Se tiene que:

luego:

Problema 4.3.7 Demostrar la fórmula de Briggs (Teorema [4.2.1]):

Solución:

Del teorema del coseno resulta:

pero:

además, se sabe que:

De (1), (2) y (3) resulta:

con lo que:

Problema 4.3.8 Demostrar el teorema [4.1.10], es decir, el área del triángulo ABC es:

Solución:

Fig. 4.11

Fig. 4.12

Considerando que el área del triángulo ABC es:

Pero, en la figura 4.11 (γ < 90^◦ se tiene:

y en la figura 4.12 (90^◦ < γ < 180^◦) resulta:

De (1), (2) y (3) obtenemos:

Problema 4.3.9 Demostrar el teorema [4.2.7], o sea que en un triángulo ABC se cumple que:

Solución:

Sabemos que de ello se concluye que:

y como:

se obtiene:

Las restantes se demuestran por analogía.

Problema 4.3.10 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

Solución:

Partiendo del lado derecho de la identidad y utilizando los resultados del teorema de las proyecciones para los lados c y b, respectivamente, resulta:

Problema 4.3.11 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

Solución:

Comenzando con el lado derecho y recordando tanto el teorema de los senos como el de las proyecciones, se consigue:

Problema 4.3.12 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

Solución:

Partimos con de la hipótesis y utilizamos el teorema del coseno, resultando γ = 60^◦ ⇒ c² = a² + b² − ab. Ahora tenemos:

Por otro lado tenemos:

De (1) y (2) obtenemos el resultado.

Problema 4.3.13 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

Solución:

En primer lugar trabajaremos con el lado izquierdo, utilizando el teorema de los senos, obteniéndose:

Por otro lado, ocupando nuevamente el teorema de los senos junto con recordar que α + β = π − γ, tendremos:

De (1.1) y (1.2) se concluye el resultado.

Problema 4.3.14 Demostrar el teorema [4.1.9] de las tangentes en el caso:

Solución:

Al utilizar el teorema de los senos, resulta:

Problema 4.3.15 En un triángulo ABC demostrar que:

Solución:

Del teorema de los senos tenemos que:

y como α = 2β, conseguimos:

de donde:

pero, por el teorema del coseno tenemos:

de (3) y (4) resulta:

Problema 4.3.16 Si el doble del cuadrado del diámetro de la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC es equivalente a la suma de los cuadrados de los lados del triángulo, entonces:

Solución:

Tenemos:

de donde:

Problema 4.3.17 Si en un triángulo ABC se tiene que a cos β = b cos α, entonces el triángulo es isósceles.

Solución:

Del teorema de las proyecciones tenemos que:

también:

Pero, por hipótesis a cos β = b cos α, y luego:

con lo que el triángulo es isósceles.

Problema 4.3.18 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

Solución:

Del teorema de los senos tenemos que:

Pero:

luego:

Problema 4.3.19 Resolver el triángulo ABC teniéndose los datos:

(Caso (a , ℓ , a).)

Solución:

Considerando la figura 4.13, en ella tenemos que los datos son:

Luego, a partir de ellos se consiguen los elementos restantes por medio de:

Fig. 4.13

Nota:

Como ejemplo, dejamos al lector resolver el caso numérico:

Respuesta: a = 66, 41; b = 72, 72; γ = 34^◦54′22″.

Problema 4.3.20 Resolver el triángulo ABC teniéndose los datos:

(Caso (ℓ , a , ℓ).)

Solución:

Considerando la figura 4.14 tenemos que los datos son b, α, c, luego, a partir de ellos se consiguen los elementos restantes por medio de:

Fig. 4.14

Nota:

Como ejemplo, dejamos al lector resolver el caso numérico:

Respuesta: a = 55, 66; β = 68^◦12′4.56″; γ = 48^◦47′55.44″.

Problema 4.3.21 Resolver el triángulo ABC teniéndose los datos:

(Caso (ℓ , ℓ , ℓ).)

Solución:

Considerando la figura 4.15 tenemos que los datos son a, b, c luego, a partir de ellos se consiguen los elementos restantes:

Fig. 4.15

Nota:

Como ejemplo, dejamos al lector resolver el caso numérico:

Respuesta: α = 28^◦5′2.18″; β = 46^◦46′4.34″; γ = 105^◦8′53.48″.

Problema 4.3.22 Resolver el triángulo ABC teniéndose los datos:

(Caso (ℓ , ℓ , a_>ℓ).)

Solución:

Considerando la figura 4.16 tenemos que los datos son a, b, α pero con a > b luego, a partir de ellos se consiguen los elementos restantes:

Fig. 4.16

Fig. 4.17

Fig. 4.18

Discusión.

(1) Si se tuviere bsen α > a, entonces o sea no se puede resolver y la explicación la vemos en la figura 4.17.

(2) bsen α = a ⇒ sen β = 1 ⇒ β = 90^◦, lo que vemos en figura 4.18.

(3) bsen α < a ⇒ sen β < 1 ⇒ siempre hay solución.

(3.1) a < b ⇒ α < β ¡α no puede ser obtuso! Si α es agudo, entonces β puede ser agudo u obtuso.

(3.2) a = b ⇒ α = β, β no obtuso.

(3.3) a > b ⇒ α > β, β no obtuso.

A continuación veremos algunos ejemplos de este caso.

Ejemplo 4.3.1 Resolver el triángulo ABC con los datos a = 49, 3; b = 8, 7; α = 45^◦10′.

Solución:

En esta situación se tiene

Ejemplo 4.3.2 Resolver el triángulo ABC con los datos a = 37, 2; b = 51, 4; α = 41^◦23′12″.

Solución:

En esta situación se tiene b > a ⇒ β > α, 2 soluciones: β₁ agudo, β₂ obtuso.

Ejemplo 4.3.3 Resolver el triángulo ABC con los datos a = 48; b = 83; α = 37^◦23′42″.

Solución:

En esta situación se tiene:

¡no hay solución!

Problema 4.3.23 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

Solución:

Tenemos que:

Por otro lado, como:

de donde:

Luego el triángulo es equilátero.

Problema 4.3.24 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

Solución:

Sabemos que:

es decir:

pero en un triángulo ABC, por prostaféresis se obtiene :

De (1) y (2) el resultado se sigue.

Problema 4.3.25 Si los lados de un cuadrilátero ABCD son a, b, c, d respectivamente y θ es el ángulo formado por las diagonales, entonces el área del cuadrilátero es:

Fig. 4.19

Solución:

Observando la figura 4.19 tenemos que:

pero:

de donde:

por analogía:

por otro lado, tenemos:

o sea:

de donde:

por analogía:

de todo esto se obtiene:

Problema 4.3.26 Si los lados de un cuadrilátero inscriptible ABCD son a, b, c, d respectivamente y su perímetro es 2s = a + b + c + d, entonces su área está dada por:

Solución:

Observando la figura 4.20 donde ≮ CDA = δ y ≮ ABC = π − δ, resulta que:

de esto se desprende que:

y como:

se consigue:

de donde:

por lo tanto:

Fig. 4.20

Nota:

Este resultado se conoce como fórmula de Brahmagupta y veremos, en el problema resuelto [4.3.36], el caso más general , que es aquél en que el cuadrilátero convexo ABCD es cualquiera.

Problema 4.3.27 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

Solución:

(α + β = π − γ) ⇒ (tg (α + β) = tg (π − γ)), o sea:

y de ello se obtiene el resultado.

Problema 4.3.28 En la figura 4.21, el triángulo ABC es acutángulo, H es el ortocentro, HD = p, HE = q y HF = r (estos tres trazos están contenidos en las respectivas alturas), demostrar que:

Solución:

En la figura 4.21, resulta que:

en consecuencia, resulta:

por analogía:

De ello se obtiene:

Fig. 4.21

Recordando el problema anterior donde se demostró que en un triángulo ABC se cumple que:

y considerando los puntos (1) y (2) señalados con anterioridad, se consigue el resultado.

Problema 4.3.29 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

Solución:

Se tiene que α + β = π − γ, luego:

Problema 4.3.30 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

Solución:

Tenemos que:

Problema 4.3.31 Si α, β, γ son los ángulos de un triángulo ABC y además cos θ · (sen β + sen γ) = sen α , demostrar que:

Solución:

Utilizando el teorema de los senos llegamos a que:

Pero:

luego, tenemos:

resultando:

Por otro lado, obtenemos por medio de las fórmulas de Briggs, que:

De (1) y (2) obtenemos:

Problema 4.3.32 Si en un triángulo ABC se tiene que:

entonces el triángulo es rectángulo.

Solución:

Utilizando las fórmulas de prostaféresis, resulta:

de donde:

pero como α + β + γ = π se tiene y también se consigue luego:

o sea:

con lo que el triángulo es rectángulo.

Problema 4.3.33 Demostrar que en un triángulo ABC se tiene que:

Solución:

Es sencillo demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

ahora por las fórmulas de Briggs se tiene que:

y, por analogía resultan:

por lo tanto, se consigue:

con lo que:

Problema 4.3.34 Se ve la cima de una cumbre desde tres puntos distintos A, B, C de modo que el ángulo de elevación desde los tres puntos es el mismo, digamos δ. Demostrar que la altura h de la cumbre con respecto al plano (A, B, C) está dada por:

donde a y α son elementos del triángulo ABC.

Solución:

Sea O el punto de proyección de la cima sobre el plano (A, B, C), luego se obtiene:

deducimos entonces que OA = OB = OC son radios de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. Por tal motivo, se tiene que

y, por lo tanto, conseguimos:

Problema 4.3.35 Si en un triángulo ABC se cumple que:

entonces el triángulo es o bien isósceles o bien rectángulo.

Solución:

De:

obtenemos:

o mejor:

pero como:

resulta:

luego:

con lo que:

pero como α y β son ángulos interiores de un triángulo, se deduce que k = 0 o k = 1, por lo tanto, tenemos:

esto nos dice que el triángulo o bien es isósceles o bien es rectángulo.

Problema 4.3.36 Dado un cuadrilátero ABCD de lados AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, perímetro 2s = a + b + c + d, ángulos interiores opuestos ≮ DAB = α, ≮ BCD = γ y δ = α + γ. Demostrar que el área de este cuadrilátero es:

Solución:

Considerando la figura 4.22 y utilizando el teorema del coseno referido a la diagonal BD, resulta:

Además, se tiene:

de donde:

Fig. 4.22

De las expresiones (1), (2) y (3) se obtiene:

por lo tanto, llegamos a:

o mejor:

pero:

de las expresiones (4) y (5) llegamos a:

con lo que finalmente:

Nota:

En el caso en que el cuadrilátero ABCD es inscriptible, o sea cuando δ = α + γ = π, vemos que se consigue la fórmula de Brahmagupta que ya encontramos en el problema resuelto [4.3.26].

Problema 4.3.37 Siendo a > 0, b > 0 y 0 < γ < π se pide factorizar la cantidad subradical de:

Solución:

Tenemos que:

pero:

y, con mayor razón se tiene:

luego por lo tanto, tenemos:

por lo que no hay ambigüedad de signo al extraer raíz y conseguimos:

Problema 4.3.38 En un triángulo ABC se pide resolver el siguiente sistema:

Solución:

Restando y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones se consigue:

luego:

y, por lo tanto, se obtienen α = 45^◦ y β = 30^◦.

Problema 4.3.39 Si α, β y γ son los ángulos de un triángulo ABC y:

demostrar que alguno de los ángulos mide 120^◦.

Solución:

Se tiene:

como:

luego:

Por lo tanto:

Así, si sea:

Si, por ejemplo, , de modo que α = 0^◦ó 120^◦ y la única posibilidad es α = 120^◦, ya que α es ángulo de un triángulo. En consecuencia, α = 120^◦ ó β = 120^◦ ó γ = 120^◦.

Nota:

Si α = 120^◦, entonces cos 3α = cos 360^◦ = 1 y luego β + γ = 60^◦ y:

ya que Así, si α = 120^◦, cualesquiera sean β y γ (agudos, con β + γ = 60^◦) se tendrá que cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 1. Por lo tanto, el problema es si y sólo si:

Problema 4.3.40 Determinar la distancia desde un punto accesible A a un punto inaccesible C.

Solución:

Tal como vemos en la figura 4.23 se toma otro punto accesible B con lo que se conoce la distancia AB y se miden los ángulos ≮ BAC = α y ≮ ABC = β del triángulo ABC que forman las visuales desde A y B al observar C. Podemos calcular ahora AC porque conocemos α, β y AB = c. Tenemos entonces el caso (a , ℓ , a); obteniéndose, como ya sabemos:

Fig. 4.23

Problema 4.3.41 Se necesita averiguar las distancias desde un punto accesible C a dos puntos inaccesibles A y B. Se sabe que hay un punto D colineal con C y con A , en el orden C − A − D y que dista 175 m. de A; también hay un punto E colineal con C y con B, en el orden C − B − E y que dista 225 m. de B. Además AB = 300 m. DB = 326 m. y DE = 488 m. Encontrar CA y CB.

Solución:

Considerando la figura 4.24, tenemos que en ΔABD:

Fig. 4.24

Ahora en ΔBDE, resulta

Ahora en ΔABC se tiene AB = 300, además:

con lo que:

luego:

4.4Problemas propuestos

1.Determinar el área del paralelogramo si sus lados adyacentes son 42 cm. y 32 cm. y forman un ángulo de 30^◦.

2.Demostrar el teorema [4.2.1] en el segundo y tercer casos.

3.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

4.Demostrar el teorema [4.2.2].

5.Demostrar el teorema [8.2.3].

6.Si en un triángulo ABC a = 25, b = 39 y c = 40, encontrar las longitudes t_a, t_b y t_c.

7.Demostrar el teorema [4.2.4].

8.Si en un triángulo ABC a = 25, b = 39 y c = 40, encontrar las longitudes h_a, h_b y h_c.

9.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

10.Demostrar el teorema [4.2.5].

11.Si en un triángulo ABC a = 25, b = 39 y c = 40, encontrar las longitudes b_α, b_β y b_γ.

12.Demostrar el teorema [4.2.6].

13.Si en un triángulo ABC a = 13, b = 14 y c = 15, encontrar las longitudes r, ρ.

14.Demostrar el teorema [4.2.8].

15.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

16.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

17.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

18.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

19.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

20.Determinar el área del triángulo de lados a = 171 cm., b = 195 cm. y c = 204 cm.

21.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

22.En un paralelogramo los lados miden 2 cm. y 3 cm. respectivamente y el ángulo comprendido entre ellos es de 60^◦. Demostrar que el ángulo formado por las diagonales es aproximadamente 64^◦18′23.8″ .

23.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

24.Dos lados de un triángulo son a = 120 m. y b = 300 m. y el ángulo γ = 150^◦, determinar el área del triángulo.

25.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

26.Si en el triángulo ABC se tiene ρ_a = 8, ρ_b = 12 y ρ_c = 24, encontrar las longitudes h_a, h_b y h_c.

27.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

28.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

29.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

30.Dado un triángulo ABC cualquiera, demostrar que su área está dada por:

31.Resolver el triángulo ABC sabiendo que:

32.Resolver el triángulo ABC sabiendo que:

33.Resolver el triángulo ABC sabiendo que:

34.Resolver los triángulos ABC sabiendo que:

35.Determinar los valores de α tales que 0 < α < π que satisfacen:

36.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

37.Si los lados de un triángulo ABC están en progresión aritmética y si a es el menor, entonces:

38.Demostrar que en un triángulo ABC se tiene que:

39.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

40.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

41.Demostrar que en si un triángulo ABC se tiene que:

entonces el triángulo es isósceles.

42.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

43.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

44.Si el área de un triángulo ABC es 96 y los exradios son ρ_a = 8, ρ_b = 12 y ρ_c = 24, determinar a,b y c.

45.Dado un triángulo ABC, demostrar que los ángulos del respectivo triángulo órtico son 180^◦ − 2α, 180^◦ − 2β y 180^◦ − 2γ.

46.Dado un triángulo ABC, demostrar que el área del respectivo triángulo órtico es:

47.Dado un triángulo ABC, demostrar que el inradio del respectivo triángulo órtico es 2r cos α cos β cos γ.

48.Dado un triángulo ABC, demostrar que los lados del respectivo triángulo órtico son a cos α, b cos β y c cos γ.

49.Dado un triángulo ABC, demostrar que el perímetro del respectivo triángulo órtico es 4rsen αsen βsen γ.

50.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

51.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

52.En un triángulo ABC resolver el sistema:

53.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

54.Sean α ángulo fijo y β ángulo variable de un triángulo ABC, se define la función real f mediante:

demostrar que f(β) es una función constante.

54.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

55.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

56.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

57.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

58.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:

60.Dado el cuadrilátero convexo ABCD cuyas diagonales son AC = e y BD = f y el ángulo entre las diagonales mencionadas es δ, entonces el área del cuadrilátero es:

61.Dado el cuadrilátero inscriptible ABCD de lados AB = a, BC = b, CD = c, DA = d y cuyas diagonales son AC = e y BD = f y el ángulo entre las diagonales mencionadas es δ, entonces:

62.Dado el cuadrilátero circunscriptible ABCD de lados AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, entonces el área del cuadrilátero es:

63.Dado el cuadrilátero inscriptible y circunscriptible ABCD cuyos lados son AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, entonces el área del cuadrilátero es:

64.Un avión vuela con rapidez de 246,3 [km/h] en aire con calma. Si el viento sopla con rapidez de 43,5 [km/h] en dirección S 21^◦ O y el avión tiene rumbo S 53^◦ E, se pide determinar la magnitud de la rapidez del avión y su dirección.

65.Una persona camina por una carretera de sur a norte. Al comenzar su caminata ve a su derecha dos edificios, los que forman un ángulo de 60^◦ con la persona en el vértice. El edificio que está más cerca hacia el norte la persona lo ve con un ángulo de 15^◦ con respecto a la carretera; cuando ha caminado 50 km. vuelve su mirada hacia el sureste y ve que los edificios están alineados formando un ángulo de 60^◦ con la carretera. Determinar la distancia entre los edificios.

4.5Respuestas capítulo 4

(1)672 m.²

(6)t_a = 37, 47; t_b = 27, 1; t_c = 25, 94.

(8)h_a = 12, 48; h_b = 8; h_c = 7, 8.

(11)b_α = 35, 54; b_β = 25, 3; b_γ = 24, 38.

(13)r = 8, 125; ρ = 4.

(20)15390 cm.²

(24)9000 m.²

(26)h_a = 4; h_b = 6; h_c = 2, 4

(31)α = 34^◦55′; b = 663, 9; c = 906, 2

(32)a = 1, 000056; β = 108^◦12′26″; γ = 49^◦27′34″

(33)α = 58^◦24′43″; β = 48^◦11′23″; γ = 73^◦23′54″

(34)Caso ambiguo resultando:

c₁ = 116; β₁ = 50^◦2′; γ₁ = 97^◦42′

c₂ = 35, 72; β₂ = 129^◦58′; γ₂ = 17^◦46′

(35)

(52)α = 40^◦12′10.68″, β = 59^◦23′27.97″

(64)Aprox. 238 [km/h] y aprox. S 63^◦ E.

(65)54,9 km.

Capítulo 5

VECTORES GEOMETRICOS

Ya sea tanto en el plano como en el espacio supondremos conocidos los conceptos de paralelismo como también el cumplimiento del V postulado de Euclides, o sea, se tienen las nociones de incidencia y de paralelismo y las nociones intuitivas de dirección y sentido. Partiremos con el concepto de vector geométrico. Tanto en el plano como en el espacio ya introducidos fijamos un punto O que llamaremos origen o punto inicial del vector. Escogemos, a continuación, un punto cualquiera P conocido como punto final del vector.

A la flecha la llamaremos vector

El vector tiene magnitud OP y dirección de O hacia P.

Notas:

(1) Notemos que hay una correspondencia entre los puntos P y los vectores . Es decir, dado P hay un único vector y dado un vector exite un único punto P.

(2) Al vector que corresponde al origen le llamaremos vector (vector cero o nulo).