Kitabı oxu: «Die Schwerkraft ist kein Bauchgefühl»

EINS PLUS EINS IST ZWEI

Warum es Wahrheiten gibt, denen niemand widersprechen kann, wie man unendlich viele Gäste in ein voll belegtes Hotel bringt und wie ein Wunderkind aus Indien auf verblüffende Formeln kam: die bemerkenswerte Macht der Logik.

Der englische Naturforscher William Buckland war dafür bekannt, alles zu kosten. Eines Tages zeigte man ihm in einer Kirche einen wundersamen Blutfleck: Ein Heiliger war dort gestorben, und seither erneuerte sich der nasse Fleck jede Nacht. Buckland kniete sich hin, leckte an der feuchten Stelle und meinte: „Das ist kein Blut, das ist nur Fledermaus-Urin.“ Ja, William Buckland kostete tatsächlich alles.

Wenn wir Naturwissenschaft betreiben wollen, sind wir auf unsere Sinneseindrücke angewiesen. Das ist nicht immer schön, aber nur durch sorgfältiges Beobachten lernen wir etwas über die Welt. Leider ergeben sich dadurch oft Meinungsverschiedenheiten: Was für den einen aussieht wie heiliges Blut, wirkt auf den unerschrockenen Geschmacksexperten völlig anders.

Es gibt nur eine einzige Wissenschaft, in der man solche Schwierigkeiten umgehen kann: die Mathematik. In allen anderen Wissenschaften geht es darum, in unserem Kopf ein vereinfachtes Abbild der Welt zu erschaffen. Die Mathematik ist auf die Welt nicht angewiesen. Sie kann ganz für sich allein wertvoll und wahr sein, ganz unabhängig davon, ob diese Wahrheiten mit irgendetwas Beobachtbarem in Verbindung stehen.

In der Mathematik führt man keine Messungen durch, bei denen sich ein Messfehler ergeben könnte. Man denkt sich keine Experimente aus, deren Ergebnis man mühsam interpretieren muss. Man plant keine Expeditionen in der Hoffnung, Augenzeuge neuer mathematischer Phänomene zu werden. Die Mathematik beschreibt nicht das, was der Fall ist. Sie beschäftigt sich damit, was der Fall sein kann und was der Fall sein muss.

Genau dadurch erreicht die Mathematik den höchsten Grad an Zuverlässigkeit, den es überhaupt gibt. Was mathematisch bewiesen ist, das stimmt. An der Mathematik ist nicht zu rütteln. Wenn wir herausfinden möchten, worauf wir uns wirklich verlassen können, dann müssen wir bei der Mathematik beginnen, bei der Mutter des wissenschaftlichen Argumentierens.

Das, was anders nicht gedacht werden kann

Natürlich gibt es auch in anderen Wissenschaften Erkenntnisse, die als absolut zuverlässig gelten. Was man aus dem Fenster wirft, wird von der Schwerkraft nach unten gezogen. Sauerstoff ist für Säugetiere unverzichtbar. Heizöl ist als Hundenahrung ungeeignet. Solche Aussagen können wir nicht ernsthaft anzweifeln. Und wenn doch, dann sollten wir uns zumindest nicht darüber wundern, wenn uns der Nachbar nicht erlaubt, auf seinen Hund aufzupassen.

Doch nur in der Mathematik können wir völlige logische Klarheit erwarten. Wenn zwei Leute zu widersprüchlichen Ergebnissen kommen, dann ist irgendetwas falsch. Wenn drei plus acht zwölf ist, dann kann drei plus acht nicht sechzehn sein. Eventuell ist sogar mehr als nur ein Fehler passiert.

Wir irren uns, wir verrechnen uns, wir stolpern über unsere eigenen Gedanken. Aber unser Denken lässt sich von den Gesetzen der Logik nicht lösen: Wenn ich jeden zweiten Tag die Blumen gießen muss und gestern die Blumen nicht gegossen habe, dann muss ich heute die Blumen gießen. Das ist logisch. Daran zu zweifeln ist gar nicht möglich, es gelingt uns nicht, diesen Zusammenhang anders zu denken.

Ich kann selbstverständlich die Annahmen hinterfragen, die hier getroffen wurden: Ich kann daran zweifeln, dass die Blumen jeden zweiten Tag gegossen werden müssen, ich kann vergessen haben, ob ich sie gestern gegossen habe, oder ich kann vielleicht in einem Anfall gröberer Geistesverwirrung völlig abstreiten, dass es Blumen überhaupt gibt. Doch wenn ich die Voraussetzungen als wahr akzeptiere, dann folgt daraus zwingend, dass die Blumen heute gegossen werden müssen – mit mathematischer Unanfechtbarkeit. Dagegen kann sich niemand wehren, wir können gar nicht zu einem anderen Schluss kommen.

Das ist bemerkenswert, denn in allen anderen Wissenschaften ist das anders. Wir schaffen es, uns eine Welt ohne Schwerkraft vorzustellen. Problemlos können wir darüber nachdenken, wie unangenehm der Alltag wohl wäre, wenn man sich ständig mit Haken am Boden verankern müsste, um nicht versehentlich ins leere Weltall davonzudriften. Wir können auch über ein Universum nachdenken, das ausschließlich aus negativ geladenen Teilchen besteht, die einander abstoßen. Unser gesamter Kosmos wäre bloß eine explodierende Wolke aus Einzelteilchen, die unaufhaltsam voneinander fortgetrieben werden, ohne jemals etwas Interessantes wie ein Molekül, einen Blumentopf oder einen Planeten hervorzubringen. Im Gegensatz dazu können wir uns aber kein Universum vorstellen, in dem zwei plus drei sieben ist, in dem jedes Dreieck vier Ecken hat oder in dem x genau dann größer als y ist, wenn y größer ist als x.

Wenn etwas mit sich selbst in Widersprüche gerät und logisch nicht erlaubt ist, dann ist es nicht nur in unserem Universum unmöglich, es kann nicht einmal in unserem Denken Gestalt annehmen. Man könnte das sogar als Definition der Mathematik betrachten: Mathematik untersucht, was sich alles denken lässt. Nicht alles, was die Mathematik als möglich erweist, ist in unserer Welt auch tatsächlich der Fall. Doch was der Mathematik widerspricht, kann nicht wahr sein. Die Mathematik ist die Wissenschaft des Denkmöglichen.

Axiome: Wo das richtige Denken beginnt

Das macht die Mathematik zu einer wunderbar menschheitsverbindenden Sache: Es spielt keine Rolle, aus welchem Kulturkreis wir kommen. Es ist egal, welche politischen Ansichten wir haben, welche Sprache wir sprechen oder welche Schriftzeichen wir benutzen. Über mathematische Aussagen können wir uns einigen. Und aus jeder mathematischen Aussage lassen sich nach den Gesetzen der Mathematik wieder andere mathematische Aussagen ableiten, über die wir uns dann ebenso einig sind. An verlässliche Wahrheiten können wir immer weitere verlässliche Wahrheiten anbinden, und so knüpfen wir Schritt für Schritt ein großes Netz an Wahrheiten, an denen niemand zweifeln kann.

Wenn wir das tun, müssen wir allerdings auch fragen: Woran ist das ganze Netz eigentlich befestigt? Welche Wahrheiten stehen ganz am Anfang? Gibt es Grundwahrheiten, auf die sich alles andere logisch zurückführen lässt? Kinder lernen das oft schon im Alter von zwei oder drei Jahren: Man kann immer „Warum?“ fragen und für die Begründung dann wieder eine Begründung fordern: Warum darf der Hamster nicht mit in die Badewanne? Warum kann er ertrinken? Warum ist es schlimm, wenn sich die Hamsterlunge mit Wasser füllt? Warum braucht der Hamster Sauerstoff? Irgendwann muss diese Fragenkette enden, irgendwann geben selbst die geduldigsten Eltern auf und sagen: Das musst du mir jetzt einfach glauben, das ist einfach so.

In der Wissenschaft ist das ähnlich. Wir führen unsere Erkenntnisse auf Grundannahmen zurück, die sich irgendwann nicht weiter begründen lassen – oft nennt man sie „Axiome“. Ein gutes Axiom ist so klar und einfach, dass es jeder als Wahrheit akzeptieren wird. Wenn niemand mehr das Bedürfnis verspürt, „Warum?“ zu fragen, weil man bei etwas offensichtlich Wahrem angekommen ist, dann hat man ein solides Fundament gefunden, auf dem man weitere Argumente aufbauen kann.

Solche Axiome, solche verlässlichen Grundwahrheiten, spielen in der Mathematik eine besonders wichtige Rolle. Eines der bedeutendsten Werke der gesamten Wissenschaftsgeschichte schrieb der griechische Mathematiker Euklid um das Jahr 300 v. Chr. – die Elemente. Euklid wollte das damalige Wissen über Geometrie und Zahlenkunde in eine schlüssige, logische Form bringen. Seither haben sich fast alle Aspekte des menschlichen Lebens verändert. Über Politik, über Moral oder über den Aufbau des Universums denken wir heute völlig anders als die Menschen zu Euklids Zeiten. Aber die Wahrheiten über Punkte, Linien, Kreise oder Dreiecke, die Euklid in den Elementen zusammenfasste, gelten heute noch genauso wie damals. Sie sind unveränderlich wahr – auch wenn andere Leute seither noch auf andere, kompliziertere Wahrheiten gestoßen sind.

So wie man beim Hausbauen damit beginnt, ein solides Fundament zu errichten, fängt Euklid in seinen Elementen zunächst mit den wichtigen Definitionen und Axiomen an: Eine Linie ist eine Länge ohne Breite. Alle rechten Winkel sind gleich groß. Von jedem Punkt kann man zu jedem anderen Punkt eine Linie ziehen. Das erscheint alles so klar, dass es keine weitere Begründung benötigt. Und diese fundamentalen Grundsätze benutzt Euklid dann, um Schritt für Schritt eine Geometrie zu entwickeln: Er erklärt, wie man ein gleichseitiges Dreieck konstruiert. Er beschreibt, wie man Winkel oder Strecken halbiert. Er beweist, dass in jedem Dreieck die längste Seite dem größten Winkel gegenüberliegt.

So schrieb Euklid ein Werk mit fast poetischem Zauber. Die Reihenfolge der Beweise ist klug durchdacht, sodass Euklid in jedem Schritt ausschließlich auf Erkenntnisse zurückgreift, die er vorher schon präsentiert hat. Wie man beim Hausbauen eine Ziegelreihe auf die andere schichtet, fügt Euklid Satz auf Satz, bis eine kunstvolle Struktur aus unbestreitbaren mathematischen Wahrheiten entsteht.

Die allerersten Aussagen erscheinen vielleicht simpel und nicht besonders nützlich. Die banale Feststellung, dass man zwei Punkte mit einer Linie verbinden kann, gibt uns noch nicht das Gefühl, wirklich etwas Neues gelernt zu haben. Doch mit wenigen Schritten gelingt es Euklid, solche einfachen Grundwahrheiten zu wichtigen Lehrsätzen zusammenzufügen, die wir aus der Schule kennen, etwa den Satz des Pythagoras. Bis in die Neuzeit blieben Euklids Elemente das wichtigste und meistverbreitete wissenschaftliche Lehrbuch der Welt.

Von null bis unendlich

Wenn die Methode des logischen Schließens auf der Basis von unbezweifelbaren Axiomen in der Geometrie so gut funktioniert, dann ist es doch verlockend, dasselbe auch anderswo auszuprobieren. Genau das versuchte der italienische Mathematiker Giuseppe Peano. Er suchte nach einer soliden, logischen Basis für die Theorie der natürlichen Zahlen. Das klingt zunächst vielleicht seltsam – wozu brauchen die natürlichen Zahlen überhaupt eine Theorie? Sind die nicht einfach da? Sind die nicht völlig selbstverständlich?

Schon als kleine Kinder haben wir begriffen, wie die natürlichen Zahlen funktionieren: Vier Teddybären in der Badewanne und vier Schokoflecken auf Omas Sofa sind sehr unterschiedliche Dinge, aber sie haben etwas gemeinsam – es sind jeweils vier. Sie teilen sich die Eigenschaft der Vierheit. Es gibt Wörter für die Anzahl von etwas. Die Anzahl wovon? Das spielt keine Rolle.

Wenn man das verstanden hat, ist der Rest einfach: Man malt einen Schokofleck aufs Sofa, dann zwei, dann drei. Man kann immer noch einen weiteren Fleck dazumalen. Und wenn der Sofabezug dann aus der Reinigung zurückkommt, hat er null Schokoflecken – mit der Null haben wir ein ganz besonderes Zahlwort, das die Anzahl von gar nichts beschreibt.

Der Umgang mit diesen natürlichen Zahlen ist uns so vertraut, dass wir kaum darüber nachdenken, was die natürlichen Zahlen überhaupt ausmacht. Warum können wir uns auf sie verlassen? Welche Eigenschaft muss ein Gedanke eigentlich haben, damit wir ihn „natürliche Zahl“ nennen können? Giuseppe Peano konnte im Jahr 1889 zeigen, dass man mit fünf einfachen Axiomen eine Theorie der natürlichen Zahlen bauen kann. Diese berühmt gewordenen fünf Peano-Axiome gehören zu den klarsten, fundamentalsten Wahrheiten, die man in der Wissenschaft finden kann.

Das erste Axiom legt eigentlich bloß einen Namen fest: „Null ist eine natürliche Zahl.“ Das zweite Axiom sagt bereits etwas Wichtiges über die Struktur der Zahlen aus: „Jede natürliche Zahl hat eine natürliche Zahl als Nachfolger.“ Auf diesen Nachfolger kann man dann natürlich gleich dieselbe Regel anwenden, auch diese Zahl muss wieder eine natürliche Zahl als Nachfolger haben. Das bedeutet, dass es eine Kette natürlicher Zahlen gibt, die keinen Endpunkt hat. Aber wie sieht diese Kette aus? Das dritte Axiom sagt: „Null ist nicht der Nachfolger einer natürlichen Zahl.“ Die Null spielt also eine Sonderrolle: Sie ist der Anfangspunkt der Kette.

Auch mit dem vierten Axiom lernen wir wieder etwas Bedeutendes über die Struktur unserer Zahlenkette dazu: „Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.“ Wenn also die Acht nach der Sieben kommt, bedeutet das, dass es keine andere Zahl gibt, nach der die Acht an der Reihe ist. Das ist wichtig, denn sonst könnte es sein, dass nach der Elf wieder die Acht kommt, die Zahlenreihe somit in sich selbst zurückgeführt wird und es außer den Zahlen von null bis elf keine weiteren Zahlen mehr gibt.

Die Zahlenkette darf also keine inneren Kreise oder Verknotungen haben, sie ist eine ordentlich aufgefädelte Reihe, in der eine Zahl auf die andere folgt. Nun wissen wir auch, dass die Kette niemals aufhört – es muss unendlich viele Zahlen geben. Das fünfte und letzte Axiom stellt noch sicher, dass die natürlichen Zahlen die kleinste Menge sind, für die diese Aussagen gelten. Damit wird ausgeschlossen, dass neben den natürlichen Zahlen, wie wir sie kennen, zusätzlich noch weitere natürliche Zahlen herumliegen, die von unserer unendlichen Zahlenkette niemals erreicht werden.

Auf diese Grundsätze können wir uns alle einigen. Und auf dieser Basis lässt sich Schritt für Schritt eine umfangreiche Zahlentheorie definieren – Addition, Multiplikation, Primzahlen. Wenn man von einer kleineren Zahl eine größere abzieht, stößt man auf eine neue Sorte von Zahlen – die negativen Zahlen. Aus ganzen Zahlen kann man Brüche bilden – die rationalen Zahlen. Das gesamte Gedankengebäude der Mathematik ist auf Basis der natürlichen Zahlen aufgebaut. Oder umgekehrt betrachtet: Die gesamte Mathematik lässt sich, wenn man ausreichend oft „Warum?“ fragt, am Ende auf die natürlichen Zahlen zurückführen, so wie man von jedem winzigen Zweig eines großen Baumes Schritt für Schritt zum Stamm gelangen kann.

Auf den ersten Blick kann man das für wissenschaftliche Liebhaberei halten, für ein hübsches, aber relativ nutzloses Spiel. Wenn wir an unserer Steuererklärung herumrechnen oder wenn wir herausfinden möchten, wie viele Fliesen wir für die Badezimmersanierung kaufen müssen, dann brauchen wir keine Axiome. Wenn wir auf dem Konto ein Minus vorfinden, ist uns ziemlich egal, wie diese seltsame negative Zahl zu Peanos Regeln passt. In all diesen Fällen befinden wir uns in dem Bereich der Mathematik, für den die meisten Leute ein ziemlich gutes Bauchgefühl haben. Und in solchen Situationen kommen wir auch ohne die logische Strenge eines klar definierten Axiomensystems zurecht.

Es gibt aber auch komplizierte Gebiete der Mathematik, in denen wir uns mit logischen Rechenregeln gewissenhaft von einer Wahrheit zur nächsten weiterarbeiten müssen, um von einer Wahrheit zur nächsten zu gelangen. Es ist so ähnlich wie beim Klettern im Gebirge: So lange die Sonne scheint, kann man ziemlich frei und unbekümmert mit Blick zum Gipfel einen Schritt nach dem anderen machen. Wenn wir uns aber in Gebiete wagen, wo uns der Nebel die freie Sicht verdeckt, dann wird es gefährlich. Dann müssen wir uns an etwas Zuverlässigem festhalten. Glück haben wir, wenn es eine Leiter gibt, die uns nach oben führt. Die Regeln einer Leiter sind einfach und klar: Wenn man die unterste Sprosse findet und weiß, wie man von einer Sprosse zur nächsten gelangt, ist es nur eine Frage der Zeit, bis man ans Ziel kommt.

Leute wie Peano zeigten: Die mathematische Logik dient nicht nur dazu, Zahlen auszurechnen und neue mathematische Wahrheiten zu finden, wir können sie auch verwenden, um die Regeln unseres Denkens genauer unter die Lupe zu nehmen. Dadurch ergaben sich für die Mathematik spannende neue Aufgaben.

Der Ärger mit der Unendlichkeit

In dieser Aufbruchsstimmung fand im Jahr 1900 der internationale Mathematiker-Kongress in Paris statt. Aus Göttingen, damals wohl gerade die Welthauptstadt der Mathematik, reiste der junge Professor David Hilbert an. Mit seinen achtunddreißig Jahren galt er bereits als einer der ganz Großen seines Fachs. Man erwartete von ihm eigentlich einen Rückblick, eine Zusammenfassung großer mathematischer Erfolge der Vergangenheit. Doch stattdessen beschloss Hilbert nach vorne zu schauen und dem Publikum eine Liste großer, ungelöster mathematischer Aufgaben zu präsentieren, die im neuen Jahrhundert gelöst werden sollten. Es war die größte Verteilung von Mathematik-Hausaufgaben der Wissenschaftsgeschichte.

Als die „Hilbert’schen Probleme“ ging diese Aufgabensammlung in die Geschichte ein. Und die Nummer zwei auf dieser Liste sollte die Welt der Mathematik dauerhaft verändern. Es war eine Frage, in der es um die Axiome der Mathematik ging: Lässt sich mathematisch beweisen, dass Peanos Axiome (oder ähnliche andere Konzepte) in sich widerspruchsfrei sind?

Das ist vielleicht die wichtigste Forderung, die man an die Mathematik stellen kann: Niemals darf die Mathematik zwei Aussagen zulassen, die einander widersprechen. Die beiden Sätze „A ist B“ und „A ist nicht B“ können niemals beide richtig sein, sonst würde die gesamte logische Struktur der Mathematik zusammenbrechen. Man könnte dann jede beliebige Aussage beweisen – etwa „Acht mal sieben ist vier“ oder „Deine Mutter ist ein Pinguin“.

Der große Logiker Bertrand Russell erklärte das in einer Vorlesung und wurde dann von einem Studenten gefragt: „Das heißt, unter der Annahme, dass 1=0 ist, können Sie beweisen, dass Sie der Papst sind?“ Für Russell war das kein Problem: „Wir addieren auf beiden Seiten eins – dann bekommen wir die Gleichung 2=1. Die Menge, die nur mich und den Papst enthält, hat zwei Elemente. Aber 2=1, also hat sie nur ein Element, also bin ich der Papst.“

Ist es möglich, dass aus Peanos Axiomen derart widersprüchliche Aussagen folgen? Lässt sich streng beweisen, dass ein solcher Widerspruch niemals auftreten kann? Das ist doch gar nicht nötig, könnte man vermuten. Peanos Axiome über die natürlichen Zahlen klingen doch so harmlos, so einfach und eindeutig – wie sollten sich daraus innere Widersprüche ableiten lassen? Aber solche Vermutungen sind in der Mathematik nicht genug. Ein zwingender Beweis muss her.

Dass David Hilbert einen solchen Beweis suchen wollte und dieses Projekt zu den bedeutendsten Aufgaben für die Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts zählte, hatte nicht zuletzt damit zu tun, dass in der Mathematik damals nicht alles so glatt und reibungslos lief, wie man sich das gewünscht hätte. Es gab einige verwirrende Probleme, über die in Mathematikerkreisen heftig gestritten wurde.

Zu den besonders komplizierten mathematischen Themen, mit denen man im neunzehnten Jahrhundert ziemlichen Ärger hatte, gehört der Begriff der Unendlichkeit. „Unendlich“ ist keine Zahl, mit der man nach den üblichen Regeln rechnen kann. Fünf ist immer fünf, und wenn das Ergebnis einer anderen Rechnung wieder fünf ist, dann ist das genau dasselbe Fünf wie vorher. Aber ist auch das Unendliche immer gleich? Gibt es unterschiedliche Arten von unendlich? Ist unendlich mal unendlich ein größeres Unendlich als unendlich plus unendlich?

Mit solchen Fragen beschäftigte sich der Mathematiker Georg Cantor. Er begründete die Mengenlehre, um die Gesetze des Unendlichen fassbar zu machen. Wenn die menschliche Intuition versagt, dann muss man eben schwammige Begriffe durch exakte Definitionen ersetzen, schlampige Gewohnheiten fallen lassen und präzise Regeln aufstellen.

Dabei stieß Georg Cantor auf erstaunliche Überraschungen, etwa als er über folgende Frage nachdachte: Haben auf einer Fläche mehr Punkte Platz als auf einer Linie? Sowohl auf einer Linie als auch auf einer Fläche lassen sich unendlich viele Punkte einzeichnen. Aber eine Fläche kann man sich aus unendlich vielen Linien zusammengesetzt denken. Sollte die Unendlichkeit der Punkte auf der Fläche also nicht noch viel unendlicher sein?

Verblüfft saß Cantor schließlich vor seinen Ergebnissen und stellte fest: Das stimmt nicht. Beide Unendlichkeiten sind tatsächlich gleich groß. „Ich sehe es, aber ich glaube es nicht“, schrieb er an seinen Freund und Kollegen Richard Dedekind. Wenn es schon Cantor selbst schwerfiel, seinen eigenen Beweisen zu vertrauen, dann darf man sich nicht wundern, wenn manche Fachkollegen die merkwürdigen Unendlichkeitsregeln Cantors noch viel kritischer sahen. Als „Verderber der Jugend“ beschimpfte man ihn, als er seine Thesen unterrichtete.

Das unendliche Hotel

Ein bisschen besser verstehen kann man Cantors Schwierigkeiten mithilfe eines Gedankenspiels, das unter dem Namen „Hilberts Hotel“ berühmt geworden ist. Stellen wir uns vor, wir führen ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern. Das Hotel ist voll ausgebucht, in jedem Zimmer liegt ein Gast. Wir nehmen unendlich viel Geld ein, dafür müssen wir morgens auch unendlich viele Betten machen. Nun treffen aber noch zehn weitere Gäste ein, die gerne ein Zimmer hätten. Was können wir tun?

Ganz einfach: Wir bitten den Gast in Zimmer 1, ins Zimmer 11 zu übersiedeln. Der Gast aus Zimmer 2 kommt ins Zimmer 12, Gast 3 ins Zimmer 13 und so weiter. Danach hat jeder der unendlich vielen Gäste wieder ein Zimmer, aber die Zimmer 1 bis 10 sind frei für die neu angekommenen Gäste.

Das bedeutet also: Unendlich plus 10 ist immer noch unendlich – und zwar genau dieselbe Sorte von unendlich wie vorher. Genau auf diese Weise definierte Cantor, was es bedeutet, wenn man von „gleich großen Mengen“ spricht: Zwei Mengen sind genau dann gleich groß, wenn man immer jeweils ein Element der einen Menge und ein Element der anderen Menge zu Paaren zusammenfügen kann, sodass am Ende in keiner der beiden Mengen ein Element partnerlos übrig bleibt.

Bei nicht-unendlichen Mengen ist das offensichtlich richtig. Wenn ich fünf Katzen und fünf Schalen Katzenfutter habe, kann ich beweisen, dass die Katzenmenge und die Futterschalenmenge gleich groß sind, indem ich jeder Katze eine Futterschale zuteile. Am Ende sind alle Katzen satt und alle Futterschalen leergefressen. Bei unendlichen Mengen – wie bei den Zimmern und Gästen in Hilberts Hotel – ist das weniger selbstverständlich, aber die Sache funktioniert grundsätzlich genauso.

Wenn in Hilberts Hotel nicht zehn neue Gäste ankommen, sondern tausend oder eine Milliarde, ändert das natürlich nichts. Man kann auch sie mit demselben Trick unterbringen. Aber was können wir tun, wenn unendlich viele zusätzliche Gäste vor der Tür stehen? Nehmen wir an, es gibt nebenan noch ein zweites unendliches Hotel, das wegen eines unendlich schwerwiegenden Wasserrohrbruchs kurzfristig schließen muss. Nun suchen die unendlich vielen Gäste dieses Hotels Unterschlupf bei uns.

Auch das ist kein Problem: Wir müssen nur Gast 1 ins Zimmer 2 übersiedeln, Gast 2 ins Zimmer 4 und Gast 3 ins Zimmer 6. Jeder kommt in das Zimmer, das dem Doppelten seiner bisherigen Zimmernummer entspricht. Danach sind alle Zimmer mit gerader Zimmernummer belegt, alle ungeraden Zimmer hingegen sind frei – und das sind unendlich viele. Die unendlich vielen Zusatzgäste finden dort ebenfalls Platz. Das zeigt uns: Unendlich plus unendlich ist wieder dieselbe Art von unendlich. Oder anders gesagt: Es gibt genauso viele ganze Zahlen wie es gerade Zahlen gibt. Das ist seltsam – unser Bauchgefühl kommt nicht wirklich damit zurecht, dass die Hälfte von etwas genauso groß sein soll wie das Ganze. Aber wenn man das aus den Grundregeln der Mengenlehre so ableiten kann, dann hat das Bauchgefühl eben verloren.

Wer an diesem Punkt noch immer nicht verwirrt ist, kann aber noch einen entscheidenden Schritt weitergehen: Stellen wir uns vor, das Hotel ist leer, und wieder kommen unendlich viele Gäste. Doch diesmal sind sie nicht mit ganzen Zahlen nummeriert wie vorher, sondern mit allen möglichen reellen Zahlen zwischen null und eins. Unendlich viele Nachkommastellen sind erlaubt. Nun fällt uns keine elegante Lösung mehr ein, wie wir diese Gäste in eine sinnvolle Reihenfolge bringen können. Nun gut – es gibt einen Gast mit der Nummer null, also null komma null null null, mit unendlich vielen Nullen hinter dem Komma. Das ist der Erste, den können wir ins Zimmer 1 schicken. Aber wer kommt dann? Es gibt keine nächstkleinste Zahl nach der Null.

Wir seufzen und rufen in die unendliche Menge wartender Gäste: Es ist uns egal, in welcher Reihenfolge ihr euch anordnet – sucht euch doch selbst ein Zimmer aus! Die Gäste stürmen los, und tatsächlich ist das Hotel bald vollständig belegt. Doch hat man dabei alle Gäste erfolgreich untergebracht? Nein! Und das konnte Georg Cantor mit einem genialen Argument beweisen.

Egal, wie sich die Gäste im Hotel angeordnet haben, wir können immer eine Zahl ermitteln, die garantiert keinen Platz im Hotel gefunden hat. Das funktioniert so: Wir gehen der Reihe nach von Zimmer zu Zimmer. Dabei notieren wir die erste Nachkommastelle des Gastes aus Zimmer 1, die zweite Nachkommastelle des Gastes aus Zimmer 2 und so weiter. Auf diese Weise konstruieren wir uns eine unendlich lange Ziffernfolge – und null komma diese Ziffernfolge ist wieder eine Zahl, die zu irgendeinem der Gäste gehören muss.

Doch nun kommt Cantors entscheidender Trick: Wir verändern unsere Ziffernfolge an jeder einzelnen Stelle. Wir können zum Beispiel an jeder Stelle eins dazuzählen (und wenn eine Neun vorkommt, machen wir sie zur Null). Dann haben wir eine Ziffernfolge konstruiert, die sicher nicht der Ziffernfolge des ersten Gastes entspricht – denn von dem haben wir ja die erste Nachkommastelle übernommen und dann geändert. Unsere neue Zahl muss sich also auf jeden Fall in der ersten Nachkommastelle von der Zahl des Gastes in Zimmer 1 unterscheiden (und vermutlich auch noch in unendlich vielen anderen Stellen). Dasselbe gilt aber auch für alle anderen Zimmer: Unsere Zahl und die Zahl des Gastes in Zimmer 2 unterscheiden sich zumindest in der Nachkommastelle 2 und so weiter – in keinem der Zimmer ist ein Gast mit dieser Nummer. Das bedeutet, dass dieser Gast noch irgendwo außerhalb des Hotels steht und schimpft, weil er kein Zimmer bekommen hat.

Es gibt also keine Möglichkeit, restlos alle Zahlen zwischen null und eins eindeutig auf die Menge der natürlichen Zahlen abzubilden. Egal, welche Zuordnung man sich ausdenkt, man kann immer Zahlen finden, die nicht zugeordnet wurden – und zwar sogar unendlich viele. Das bedeutet, dass zwischen null und eins mehr reelle Zahlen liegen, als es natürliche Zahlen gibt. Beide Mengen sind unendlich, aber die Unendlichkeit der reellen Zahlen zwischen null und eins stellt sich als unvergleichlich viel größer heraus als die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen.

Hilberts Hotel kann uns ein Gefühl dafür geben, wie mächtig die mathematische Logik ist: Bei komplizierteren mathematischen Fragen passiert es leicht, dass sich unsere Intuition plötzlich grußlos verabschiedet und uns zitternd im Nebel stehen lässt. Das ist keine Schande, schließlich ging es sogar dem großen Georg Cantor anfangs so. Aber wenn man seine Gedanken gut sortiert und auf kluge Weise die richtigen Regeln anwendet, dann kann man auch Fragen mit überzeugender Klarheit beantworten, für die unser menschliches Gehirn eigentlich gar nicht gemacht ist.

Ramanujans Bauchgefühl für Mathematik

Wir können neue mathematische Wahrheiten finden, indem wir bereits bewiesene mathematische Sätze auf die richtige Weise ineinanderfügen wie perfekt geschliffene Zahnräder. Das bedeutet aber nicht, dass mathematische Forschung eine mechanische, maschinenhafte Arbeit ist wie das Zusammenschrauben eines Bücherregals nach einer präzise vorgegebenen Bauanleitung. Mathematische Gesetze sind leblos und unveränderlich – doch die mathematische Arbeit, sie zu entdecken, ist etwas zutiefst Kreatives und Lebendiges. Dafür braucht man Bauchgefühl und Intuition, einen Sinn für das Schöne und Klare, und manchmal vielleicht sogar ein kleines bisschen Verrücktheit.

Eine gewisse mathematische Intuition hat jeder von uns – zumindest im Umgang mit einfachen Zahlen. Vielleicht können wir nicht spontan sagen, wie viel achtundvierzig mal dreihundertzwölf ist, aber die Antwort ist nicht vier komma drei. Da sind wir ziemlich sicher. Wer beim Berechnen des Fliesenbedarfs für die Badezimmersanierung zum Ergebnis kommt, dass er zwölf Quadratkilometer Badezimmerfliesen einkaufen muss, hat sich verrechnet. Unser mathematisches Bauchgefühl sagt uns sofort, dass hier irgendetwas nicht stimmt.

Dass sich unser Bauchgefühl trainieren lässt, wissen wir: Wer viele Badezimmerflächeninhalte berechnet hat, kann das Ergebnis zuverlässiger einschätzen, als es ihm bei der ersten Berechnung dieser Art gelingt. Erstaunlich ist aber, dass manche Menschen sogar eine bauchgefühlte Intuition für mathematische Objekte entwickeln können, die mit unserer Alltagserfahrung überhaupt nichts zu tun haben.

Und so passiert es oft, dass mathematisch gebildete Leute über Dinge reden, die sich kein Mensch vorstellen kann, und trotzdem ganz spontan eine intuitive Meinung dazu haben. Wie viele fünfdimensionale Kugeln kann man im fünfdimensionalen Raum so aneinanderpacken, dass sie alle die Kugel in der Mitte berühren? Wenn die letzte Stelle einer Primzahl eine Sieben ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass bei der nächstgrößeren Primzahl wieder eine Sieben am Ende steht?

Mit ausreichend mathematischer Erfahrung kann man spüren, wie die Antwort aussehen könnte, man hat eine spontane Vermutung, wie sich eine Antwort finden ließe, man fühlt Verbindungen zu anderen mathematischen Fragen, die schon gelöst sind. Aber das genügt natürlich nicht. Auch das beste mathematische Bauchgefühl wird erst zur anerkannten Mathematik, wenn man eine Antwort kennt, die exakt bewiesen ist. Vermutungen sind zu wenig. Aber sie sind ein wichtiger Ausgangspunkt auf der Suche nach neuen mathematischen Wahrheiten.

So wie manchmal musikalische Wunderkinder geboren werden, die fast ohne Mühe ganz neue, atemberaubende Melodien aus dem Klavier hervorzaubern, gibt es ab und zu auch Menschen mit einer ganz besonderen Intuition für die Schönheiten der Mathematik. Einer von ihnen war Ramanujan, ein hochtalentierter Mann aus Südindien, mit der vielleicht seltsamsten Karriere, die ein Mathematiker jemals hatte.

Ramanujan (mit vollem Namen Srinivasa Ramanujan Aiyangar) wurde 1887 geboren. Er wuchs in einfachen Verhältnissen auf. Während sich in Europa große Mathematiker den Kopf über Unendlichkeiten zerbrachen, blätterte der junge Ramanujan in Mathematikbüchern, die für sein Alter eigentlich viel zu schwierig waren. Ganz allein erkundete er komplizierte mathematische Gesetze und verblüffte seine Lehrer mit neuen Formeln.

Für seine mathematischen Leistungen bekam er viel Lob und sogar ein Stipendium für ein angesehenes College. In anderen Fächern hingegen glänzte er nicht so sehr, daher verlor er sein Stipendium wieder und schaffte es auch nicht, an der Universität von Madras aufgenommen zu werden. Ramanujan hatte keinen höheren Bildungsabschluss, keinen festen Beruf und kaum Geld, doch die Mathematik ließ ihn nicht los. Er hörte nicht auf, seine Notizbücher mit immer neuen Formeln vollzuschreiben.

Eines Tages stieg Ramanujan in den Zug und machte sich auf den Weg in die Bezirkshauptstadt. In der Hoffnung, dort eine Arbeitsstelle zu bekommen, traf er den Finanzbeamten Ramaswami Iyer. Ramaswami Iyer interessierte sich sehr für Mathematik und hatte selbst kurz vorher die Indian Mathematical Society gegründet. Ihm legte Ramanujan nun seine mathematischen Notizbücher vor, und Ramaswami Iyer war beeindruckt. Eine Anstellung wollte er dem jungen Ramanujan allerdings nicht verschaffen: „Mir kam es nicht in den Sinn, sein Talent durch eine Anstellung auf der untersten Sprosse der Finanzabteilung zu unterdrücken“, schrieb Ramaswami Iyer später. Stattdessen schickte er ihn mit Empfehlungsschreiben weiter zu einflussreicheren Leuten.

Eigentlich strebte Ramanujan ein größeres Ziel an: Er wollte seine Formeln den berühmtesten Mathematikern seiner Zeit präsentieren und sie in wissenschaftlichen Journalen veröffentlichen. Und so schickte er Briefe an Professoren in London und Cambridge. Seite für Seite listete er einige seiner schönsten Resultate auf: unendliche Summen, komplizierte Integrale mit merkwürdigen Lösungen, sperrige Formeln mit einer seltsamen inneren Symmetrie. Einer dieser Briefe ging an Godfrey Harold Hardy, einen berühmten Mathematiker am Trinity College der Universität Cambridge. Hardy war verblüfft: Nur ein Mathematiker allerhöchsten Ranges konnte das geschrieben haben, das wurde ihm rasch klar. Und gerade weil die Formeln so merkwürdig erschienen, war er überzeugt, dass sie stimmten: Wären sie nicht richtig, hätte niemand die Fantasie besessen, sie zu erfinden.

Es gab nur ein großes Problem an den wundersamen Formeln: Ramanujan hatte keine Beweise geliefert, er hatte nur die Endergebnisse aufgeschrieben. Er dachte über mathematische Gleichungen nach, wie ein Komponist schöne neue Melodien erfindet: Sie flogen ihm ganz einfach zu. Ihm kam es auf die Resultate an, der Weg dorthin erschien ihm unwichtig. Doch in der Mathematik will man sich nicht bloß an einer hübschen Formel erfreuen, man braucht einen unanfechtbaren Beweis, einen klaren Weg, der Schritt für Schritt von bereits bekannten Tatsachen zu den neuen Ergebnissen führt.

Auch wenn Godfrey Harold Hardy in Cambridge Ramanujans Resultate spannend und aufregend fand, für sich allein genommen waren sie ähnlich unbefriedigend wie eine Schatzkarte, auf der bloß steht: „Zwölf Schritte südwestlich von der größten Palme ist eine Kiste voller Gold vergraben.“ Das mag verheißungsvoll klingen – aber solange man nicht Schritt für Schritt erklären kann, wie man von bereits bekanntem Gelände zu dieser Palme gelangt, ist die Schatzkarte ziemlich nutzlos.

Hardy beschloss, Ramanujan nach Cambridge einzuladen. 1914 machte sich der junge Inder auf den Weg nach England, mit seinen Notizbüchern im Gepäck. Wie sich herausstellte, waren manche von Ramanujans Formeln falsch, andere waren zwar richtig, aber bereits bekannt – es handelte sich teilweise um Ergebnisse, die große Mathematiker wie Leonhard Euler oder Carl Friedrich Gauß bereits veröffentlicht hatten. Aber bei vielen Formeln handelte es sich tatsächlich um bemerkenswerte neue Wahrheiten.

Für Hardy und andere Mathematiker in Cambridge bestand kein Zweifel, dass sie es mit einem Talent zu tun hatten, wie es in der Geschichte der Mathematik noch nicht oft vorgekommen war. Aber um aus Ramanujans Intuition echte mathematische Forschung werden zu lassen, mussten sie ihm die strengen Regeln mathematischer Beweisführung beibringen. Für Ramanujan war es schwierig, seine Gedankensprünge zu zügeln und in geordneter Form aufs Papier zu bringen. Jede ganze Zahl war für ihn wie ein persönlicher Freund, sagte man in Cambridge.

Hardy erzählte später, dass er eines Tages mit einem Taxi zu einem Treffen mit Ramanujan gefahren war. Er hatte über die Nummer des Taxis nachgegrübelt: 1729. Leider eine sehr langweilige, nichtssagende Zahl, fand Hardy. Doch Ramanujan widersprach: „Es ist eine sehr interessante Zahl! Es ist die kleinste Zahl, die man auf zwei verschiedene Weisen als Summe zweier Kubikzahlen ausdrücken kann.“ Tatsächlich ist 1792 sowohl die Summe aus 1³ und 12³ als auch das Ergebnis von 9³ + 10³. Nachprüfen konnte man das leicht. Aber nur einem Genie wie Ramanujan fliegen solche Gedanken scheinbar ohne jede Mühe zu.

Unter Hardys Anleitung gelang es Ramanujan im Lauf der Zeit, eine Reihe wichtiger Ideen in eine mathematisch klare Form zu bringen, die auch für andere Leute verständlich war. Sein Traum, seine Resultate in wissenschaftlichen Journalen zu publizieren, erfüllte sich. Akademische Ehrungen folgten: Ramanujan wurde zum Fellow der Cambridge Philosophical Society ernannt, er wurde Fellow der Royal Society und Fellow des Trinity College.

Trotzdem fühlte sich Ramanujan in England nicht wohl und hatte auch mit schweren gesundheitlichen Problemen zu kämpfen. Im Alter von zweiunddreißig Jahren – Ramanujan war in Mathematikerkreisen inzwischen berühmt und hochangesehen – reiste er nach Indien zurück und starb dort wenig später an Tuberkulose.

Niemand weiß, welche großen Entdeckungen er noch gemacht hätte, wenn ihm noch ein paar Jahrzehnte Zeit geblieben wäre. Genauso wenig lässt sich sagen, wie er sich entwickelt hätte, wenn er von früher Jugend an in strengen mathematischen Formalismen trainiert worden wäre, anstatt unbekümmert mit ausgeliehenen Mathematikbüchern herumzuträumen. Vielleicht wäre dann ein noch viel größerer Mathematiker aus ihm geworden – vielleicht hätte klassischer Mathematikunterricht aber auch nur einen braven, langweiligen Gleichungslöser aus ihm gemacht, der es niemals geschafft hätte, mit unbeschwerter Kreativität mathematische Wahrheiten zu erraten.

Fest steht, dass bauchgefühlte Intuition und präzises Argumentieren einander nicht ausschließen – das zeigt Ramanujans Beispiel ganz deutlich. Woher der kreative Funke kommt, der eine neue Idee in bunten Farben explodieren lässt, ist gar nicht entscheidend. Manchmal blitzt ein genialer wissenschaftlicher Gedanke ganz plötzlich auf wie eine Sternschnuppe, manchmal muss die wissenschaftliche Kreativität erzwungen werden, mit knochenharter Arbeit und viel sinnlos vollgekritzeltem Papier.

Aber in jedem Fall muss man es schaffen, die eigenen kreativen Gedanken für andere Leute nachvollziehbar werden zu lassen. Etwas selbst als wahr zu erkennen, ist noch keine Wissenschaft. Schließlich könnte es sein, dass jemand anderer mit ähnlich kreativen Ideen das Gegenteil für richtig hält. Die Arbeit ist erst dann erledigt, wenn man sie so klar formuliert hat, dass jeder Widerspruch zwecklos geworden ist.

Die Kunst des logischen Denkens

Diese Art zu denken fällt uns meistens schwer. Im Alltag legen wir normalerweise keinen Wert darauf, unsere Gedanken in logische Ketten zu ordnen, in denen jede Aussage zwingend aus der vorangegangenen folgt. Viel häufiger denken wir in Analogien: Wir gehen davon aus, dass in ähnlichen Situationen ähnliche Gesetze gelten. Eine Kerzenflamme kann man mit Wasser löschen. Daher kann ich vermutlich auch ein Lagerfeuer mit Wasser löschen. Eine Kartoffel wird weich, wenn ich sie in Wasser koche. Daher kann ich vermutlich auch eine Rübe in Wasser weichkochen. Wenn mir jemand meine Schokolade wegnimmt, werde ich ungemütlich. Daher verstehe ich, dass mich der Hund böse anknurrt, wenn ich ihm seine Wurst weggenommen habe.

Analogien sind auch in der Wissenschaft oft nützlich. Sie helfen uns, in unserem Kopf Bilder entstehen zu lassen: Im Atom kreisen Elektronen um den Atomkern, ähnlich wie Planeten um die Sonne. Das können wir uns einigermaßen vorstellen. Eine logische Erklärung oder gar ein Beweis ist es aber nicht. Den Elektronen sind die Planeten völlig egal. Sie bewegen sich nicht deswegen so, weil sie von den Planeten dazu gezwungen wurden.

Besonders heikel sind Analogieschlüsse, die einen wissenschaftlichen Gedanken in ein ganz anderes Teilgebiet der Wissenschaft verpflanzen. In der klassischen Physik gilt Newtons Gesetz vom Gleichgewicht der Kräfte: Jede Kraft hat eine gleich große, aber entgegengerichtete Gegenkraft. Die Sonne zieht durch ihre Schwerkraft die Erde zu sich, die Erde zieht mit derselben Kraft die Sonne in die andere Richtung. Wenn ein Buch auf dem Tisch liegt, drückt es nach unten auf die Tischplatte, die Tischplatte drückt mit derselben Kraft von unten gegen das Buch.

Daran fühlt man sich vielleicht erinnert, wenn man kleinen Kindern etwas vorschreiben möchte und sie dann aus purem Trotz ihre Kräfte genau in die entgegengesetzte Richtung lenken. Man möchte sie mit sanftem Druck dazu bringen, endlich ins Bett zu gehen, und plötzlich sind sie erst recht hellwach. Man weist sie darauf hin, dass mit Cremespinat eher nicht herumgekleckert werden soll, und dann wird das Tischtuch erst recht in ein dunkelgrünes Schüttbild verwandelt.

Wenn nun jemand stolz verkündet: „Das muss so sein, laut Newtons Gesetz gibt es zu jeder Kraft eine entgegengesetzte Gegenkraft!“, dann demonstriert er damit nicht seine naturwissenschaftliche Bildung, sondern er beweist, dass er von der Physik nichts verstanden hat. Natürlich hat das Trotzverhalten von Kindern nichts mit Newton’scher Mechanik zu tun. Vielleicht mag uns das eine an einem bestimmten Punkt an das andere erinnern, aber eine logische Verbindung dazwischen gibt es nicht.

Analogieschlüsse fühlen sich in unserem Kopf wunderbar sinnvoll an, auch wenn sie überhaupt keine Beweiskraft haben. In der Esoterik verzichtet man oft überhaupt auf logische Argumente und gibt sich von vornherein mit Analogien zufrieden: In meinem Leben gibt es bessere und schlechtere Zeiten. Und am Himmel stehen die Planeten mal in diesem, mal in jenem Sternzeichen. Also muss beides miteinander zu tun haben. Mein Wasserkocher funktioniert nicht, wenn das Stromkabel kaputt ist. Mein Körper funktioniert momentan auch nicht richtig. Also müssen da auch irgendwelche Energieflüsse gestört worden sein. Die Quantenphysik ist etwas Verwirrendes. Und das menschliche Bewusstsein ist auch etwas Verwirrendes. Also lässt sich das menschliche Bewusstsein mit Quantenphysik erklären.

Das alles sind nur Scheinargumente. Man lernt durch sie nichts Neues. Es ist, als würde man gefragt werden, wie eine elektrische Eisenbahn funktioniert, und einfach nur antworten: Im Atom drehen sich die Elektronen um den Atomkern, und in der Eisenbahn drehen sich die Räder. Deshalb fährt die Eisenbahn. Das ist keine Erklärung. Man könnte eine logische Brücke bauen, von den Elektronen, die sich durch einen Draht bewegen, über die mechanische Kraft, die dadurch im Elektromotor erzeugt wird, bis zum Drehmoment, das am Ende die Räder antreibt. Aber solange man eine solche logische Brücke nicht baut, sind Analogien wissenschaftlich wertlos.

Das ist ein guter Grund, sich mit Mathematik zu beschäftigen: Mathematik zeigt uns, wie weit man kommen kann, wenn man mit präziser Logik vorgeht. Sie zwingt uns, Ordnung in unserem eigenen Kopf zu schaffen. Sie bringt uns bei, die Welt zu verstehen, als Verkettung logisch zwingender Zusammenhänge, als Geflecht von Grundannahmen und logischen Regeln, von Prämissen und Schlussfolgerungen.

Wir beginnen mit ganz einfachen Gedanken, auf die wir uns alle einigen können. Und dann überlegen wir, welche anderen Ideen daraus folgen. Schritt für Schritt gelangen wir von einer Wahrheit zur nächsten. Jeder einzelne Schritt ist nachvollziehbar und einfach. Und wenn wir es richtig machen, stoßen wir dabei vielleicht auf großartige Ergebnisse, die wir mit reiner Intuition niemals erraten hätten.

DIESER SATZ IST FALSCH

Wie man mit logischen Argumenten Lebensträume zerstört, warum manche Aussagen weder wahr noch falsch sind und wie der größte Logiker der Welt ein höchst unlogisches Ende fand: Die Mathematik kann niemals alles beweisen, aber das muss sie auch nicht.

Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer der Stadt, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich also selbst oder nicht? Wenn nicht, dann gehört er zu den Männern, die sich nicht selbst rasieren, und sollte daher vom Barbier von Sevilla rasiert werden. Aber wenn er das tut, rasiert er sich ja selbst und ist deshalb gar nicht für den eigenen Bart zuständig. Was nun?

Elegant auflösen lässt sich das Problem, wenn man annimmt, dass der Barbier von Sevilla eine Frau ist. Aber wie auch immer – diese berühmte Denkaufgabe zeigt uns, dass man in der mathematischen Logik manchmal auf Probleme stoßen kann: Wenn aus einem Satz sein Gegenteil folgt – was machen wir dann? So wunderschön und nützlich die Methode des axiomatischen, logischen Argumentierens auch ist: Wenn ein logischer Widerspruch auftritt, haben wir ein ernstes Problem.

Widersprüche dieser Art sind nicht neu, man kannte sie schon in der Antike. „Alle Kreter sind Lügner!“, behauptete Epimenides. Das ist nicht besonders nett, aber logisch gesehen noch kein Problem – bis man erfährt, dass Epimenides selbst aus Kreta kommt. Wenn seine Aussage stimmt, muss er also auch selbst ein Lügner sein. Dann stimmt die Aussage aber nicht, und er spricht möglicherweise doch die Wahrheit, woraus aber wiederum folgen würde, dass er lügt. Egal, wie sehr man sich das Hirn verbiegt, man kommt auf kein sinnvolles Ergebnis.

Wir sehen aber an diesen Beispielen bereits: Vorsichtig sein muss man immer dann, wenn eine Aussage etwas über sich selbst behauptet. Manchmal ist das völlig in Ordnung: „Dieser Satz besteht aus sechs Wörtern“ ist wahr. „Dieser Satz beginnt mit dem Buchstaben A“ ist falsch. Beides ist aus logischer Sicht kein Problem. Aber „Dieser Satz ist falsch“ ist eine Aussage, der wir keinen Wahrheitswert zuordnen können – weder wahr noch falsch. Könnte es passieren, dass solche merkwürdigen falschwahren Aussagen auch in der Mathematik auftreten? Und ist das vielleicht eine Gefahr für die Zuverlässigkeit der Mathematik?

Bertrand Russell und die Zerstörung eines Lebenswerks

Im Jahr 1902 lebte Gottlob Frege als Honorarprofessor in Jena und vollendete gerade den zweiten Band seines großen Werks Grundgesetze der Arithmetik. Frege beschäftigte sich mit der Mengenlehre, mit der Georg Cantor zuvor versucht hatte, die seltsamen Rätsel um die Unendlichkeit zu lösen. Er hatte eine neue formale Sprache für die Mengenlehre entwickelt, ein System aus Symbolen und Regeln, mit denen man rechnen und Schlüsse ziehen konnte – allerdings nicht, um Zahlen auszurechnen, wie man das sonst oft macht, sondern um logische Aussagen zu beweisen.

Mengen, wie sie in Freges Werk vorkamen, gehören zu den allgemeinsten und vielseitigsten mathematischen Ideen, die man sich überhaupt ausdenken kann. Eine Menge ist einfach eine Zusammenfassung von Objekten – zum Beispiel die Menge von Gottlob Freges Nasenlöchern, eine Menge mit genau zwei Elementen. Eine Menge kann auch unendlich viele Elemente enthalten, etwa die Menge der ungeraden Zahlen. Es kann auch sein, dass sie überhaupt kein Element enthält, wie die Menge der Nasenlöcher in Gottlob Freges Ohr, dann spricht man von der leeren Menge.

Natürlich können die Elemente einer Menge auch andere Mengen sein, zum Beispiel wenn man die Menge aller Mengen bildet, die man aus den Zahlen eins bis zehn bilden kann. Das sieht vielleicht auf den ersten Blick noch nicht besonders nützlich aus, ist aber ein mächtiges Konzept, um die Grundbausteine der Mathematik genau zu beschreiben.

Während Frege in Jena über die Gesetze der Mengenlehre nachdachte, forschte in England der junge Philosoph Bertrand Russell an ganz ähnlichen Fragen. Und er stieß auf ein merkwürdiges Problem: Was passiert, wenn wir die Menge all jener Mengen bilden, die sich nicht selbst enthalten? Enthält sich diese Menge selbst oder nicht? Genau dann, wenn sie sich selbst enthält, dürfte sie sich eigentlich nicht selbst enthalten – und umgekehrt. Das führt genauso zu einem Widerspruch wie das Lügner-Paradoxon des Epimenides oder die Geschichte vom Barbier von Sevilla. Bertrand Russell schrieb einen Brief an Gottlob Frege und erklärte ihm das Problem.

Frege war tief getroffen: Dieser junge Engländer hatte recht! Seine Grundgesetze der Arithmetik befanden sich bereits im Druck, und nun schickte ein junger Mann aus Cambridge einen Brief, der sein über Jahre hinweg aufgebautes Gedankengebäude mit einer einzigen Frage zum Einsturz brachte. Wenn Freges Mengenlehre solche inneren Widersprüche zuließ, dann war sie offenbar doch nicht das logisch perfekte Fundament der Mathematik, von dem er geträumt hatte.

Frege ließ sein Buch noch mit einer Ergänzung versehen: „Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte.“ Frustriert wandte sich Frege schließlich von seinem großen Projekt ab.

Doch andere Mathematiker wollten unbedingt weitermachen. Bertrand Russell wurde selbst zu einem der führenden Forscher im Bereich der mathematischen Logik. Aufbauend auf Freges Ideen versuchte er, die fundamentalen Grundlagen der Mathematik bis ins Detail zu analysieren. Nicht der geringste Zweifel, nicht die winzigste Unklarheit, nicht der kleinste Anschein von Widersprüchlichkeit sollte in der Mathematik übrig bleiben. Alles sollte auf Basis unbestreitbarer Logik begründet werden. Gemeinsam mit seinem Kollegen Alfred North Whitehead veröffentlichte er die Principia Mathematica, ein dreibändiges Werk über die Grundlagen der Mathematik.

Ein Beweis aus den Principia Mathematica wurde besonders bekannt: Nach seitenlangem Hantieren mit logischen Symbolen und Gleichungen gelangen die beiden Autoren schließlich zum Ergebnis 1+1=2. Das hatten wir auch vorher schon stark vermutet, aber seit Russell und Whitehead wissen wir auch, dass es garantiert nicht anders sein kann. Allerdings braucht man ein gewisses Durchhaltevermögen, um diese Erkenntnis in ihrer vollen Tragweite zu verstehen. Wer die Principia Mathematica in der Originalausgabe von 1910 studiert, muss sich bis zur Seite 379 durchkämpfen, um bis zum Ende dieses Beweises zu gelangen.

Hat sich diese Mühe wirklich gelohnt? Wäre es vielleicht klüger gewesen, die lästige Mengenlehre, die Gottlob Frege in die Verzweiflung getrieben hatte, einfach fallen zu lassen? Für David Hilbert, der inzwischen so etwas wie eine Vaterfigur der internationalen Mathematik geworden war, kam das nicht in Frage. Trotz aller Probleme fühlte er sich in Cantors Mengenlehre nach wie vor recht wohl: „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können“, war Hilbert überzeugt. Wichtiger als je zuvor erschien es ihm nun, die Widerspruchsfreiheit der Mathematik sauber zu beweisen.

Dieses Ziel, das er schon 1900 in Paris zu den wichtigsten Aufgaben der Mathematik gezählt hatte, erklärte David Hilbert in den 1920er-Jahren überhaupt zum zentralen Projekt der Mathematik. Als „Hilbertprogramm“ ging diese große Aufgabe in die Geschichte ein: Die Mathematik sollte als großes formales Gesamtsystem neu definiert werden, und dieses strenge System sollte zwei wichtige Eigenschaften miteinander verbinden: Erstens soll es widerspruchsfrei sein und zweitens vollständig.

Die Widerspruchsfreiheit ist die Eigenschaft, die Hilbert schon im Jahr 1900 gefordert hatte: Wenn eine Aussage wahr ist, darf keine andere Aussage wahr sein, die ihr widerspricht. Wenn zwei Leute dieselbe mathematische Aufgabe lösen und beide keinen Fehler machen, dürfen sie nicht zu zwei unterschiedlichen, widersprüchlichen Ergebnissen kommen.

Eine zweite große Forderung kam im Hilbertprogramm noch hinzu, und sie ist ebenso wichtig: Es sollte bewiesen werden, dass die Mathematik vollständig ist – das bedeutet, dass sich jeder wahre Satz beweisen lässt und dass man von jedem falschen Satz beweisen kann, dass er falsch ist. So ähnlich wie man zum Kirschenpflücken auf einem hohen Baum eine ausreichend lange Leiter haben möchte, mit der man garantiert jeden Ast, jeden Zweig und jede Kirsche des Baums erreichen kann, möchte man Grundregeln der Mathematik haben, mit denen man garantiert jede mathematische Wahrheit erreichen kann – und zwar durch einen logischen Beweis, der auf den Grundaxiomen beruht. Am allerschönsten wäre es, jeden beliebigen mathematischen Satz in eine Maschine stecken zu können, die dann nach klar definierten, logischen Regeln berechnet, ob dieser Satz wahr oder falsch ist.

Kurt Gödel und die Zerstörung des Hilbertprogramms

Es war eine Zeit hoffnungsvoller Aufbruchsstimmung und enthusiastischer Visionen: „Wir müssen wissen – wir werden wissen!“ war Hilberts Parole, die dann später sogar auf seinem Grabstein eingraviert werden sollte. Die Mathematik hatte begonnen, nicht nur Objekte wie Formeln oder Zahlen mit logischen Methoden zu untersuchen, sondern auch sich selbst. Mit den Methoden der Mathematik wollte man ergründen, was sich mit den Methoden der Mathematik alles ergründen lässt. Man begann dadurch viel klarer zu sehen, auf welche Weise wichtige mathematische Grundgedanken miteinander verwoben sind und was Beweisen eigentlich bedeutet. Es war das goldene Zeitalter der Logik.

Doch mitten in dieser Phase des Erfolgs, gerade als man dachte, dem großen Ziel Schritt für Schritt immer näher zu kommen, änderte sich plötzlich alles. Der Traum des berühmten David Hilbert zerplatzte im Jahr 1931. Überraschend, abrupt und unwiderruflich war das Hilbertprogramm gescheitert. Und schuld daran war ein merkwürdiger schrulliger junger Mann aus Wien mit dem Namen Kurt Gödel.

Kurt Gödel war vielleicht eines der größten Genies des zwanzigsten Jahrhunderts, aber ein einfaches Leben hatte er nicht. Er wurde 1906 in Brünn geboren. Schon als Kind plagten ihn Ängste, er bildete sich ein, einen Herzfehler zu haben, der medizinisch aber nie nachgewiesen wurde. In der Schule beschäftigte er sich früh mit komplizierten Themen, er las Goethe, Kant und Newton und grübelte über mathematische Literatur nach, die eigentlich für die Universität gedacht war. An der Universität Wien begann er dann theoretische Physik zu studieren, doch bald erkannte er, dass er sich in der Mathematik eher zu Hause fühlte.

In Wien wurde damals viel über Logik diskutiert: Viele große Naturwissenschaftler und Philosophen waren damals fasziniert davon, wie man mit mathematischer Präzision, mit einfachen Axiomen und klaren Regeln zu unbezweifelbaren Wahrheiten gelangen kann. Man diskutierte über Gottlob Frege, Bertrand Russell, David Hilbert und viele andere.

Es ist nicht überraschend, dass Kurt Gödel in diesem Umfeld beschloss, Hilberts Forderung nach einer vollständigen, widerspruchsfreien Mathematik zu untersuchen. Doch dabei stieß er auf ein Ergebnis, das für das Hilbertprogramm vernichtende Konsequenzen hatte: Gödel konnte beweisen, dass Hilberts großer Traum prinzipiell unmöglich war. Jedes mathematische System, das zumindest mächtig genug ist, um eine Theorie der natürlichen Zahlen zu liefern, erlaubt zwangsläufig Aussagen, die zwar wahr sind, sich aber aus den Axiomen niemals beweisen lassen. Eine Mathematik, in der sich vollständig alle wahren Aussagen Schritt für Schritt aus einer kleinen, überschaubaren Zahl wahrer Grundannahmen ableiten lassen, kann es niemals geben.

Das klingt zunächst so abstrakt, dass man sich darüber wundert, wie so etwas überhaupt bewiesen werden kann. Wir haben in der Schule gelernt, wie sich bestimmte mathematische Gesetze beweisen lassen – der Satz des Pythagoras etwa. Aber wie beweist man die Unvollständigkeit der mathematischen Beweisführung? Oder die Unbeweisbarkeit einer bestimmten Behauptung? Kurt Gödel gelang das mithilfe einer genialen Idee: Er fand einen Weg, wie man nicht nur mit Zahlen oder Variablen, sondern mit mathematischen Sätzen rechnen kann.

In der Logik hat man es oft mit Aussagen zu tun, die uns etwas über Zahlen verraten – zum Beispiel: „Für alle beliebigen natürlichen Zahlen x und y ist x plus y dasselbe wie y plus x.“ So ein Satz lässt sich in der formalen Sprache der Logik in einer einfachen Formel aufschreiben. Gödel erkannte, dass man solche Aussagen über Zahlen ihrerseits wieder in eine Zahl verwandeln kann. Man muss nur einen passenden Weg finden, den einzelnen Symbolen, die man in der Logik verwendet, Zahlen zuzuweisen und sie dann auf sinnvolle Weise zu einer großen Zahl zusammenzufügen.

Das ist nichts besonders Geheimnisvolles. Im digitalen Zeitalter sind wir es gewohnt, dass sich fast beliebige Inhalte als Zahl codieren lassen. Auch unsere Urlaubsfotos sind am Computer als lange Zahl abgespeichert, genau wie unsere Lieblingsmusik. Und auf ähnliche Weise lässt sich jeder mathematischen Aussage eine Zahl zuweisen – die sogenannte „Gödel-Zahl“.

Wenn man eine passende Codierung festgelegt hat, kann man also manche Zahlen als mathematischen Satz lesen. Bestimmte unvorstellbar große Zahlen sind sogar die Gödel-Zahl für einen langen mathematischen Beweis.

Wenn sich aber nun Zahlen und mathematische Sätze direkt ineinander übersetzen lassen, dann kann man in der Sprache der Mathematik über Mathematik reden. Man kann mathematische Sätze formulieren, die nicht nur Aussagen über Zahlen treffen, sondern auch Aussagen über mathematische Sätze – etwa: „n ist nicht die Gödel-Zahl eines Beweises des Satzes S.“ Und auch diese Aussage lässt sich ihrerseits wieder als Gödel-Zahl aufschreiben.

Wenn uns nun aber mathematische Sätze etwas über mathematische Sätze erzählen können, dann entsteht auch hier wieder die Gefahr innerer Widersprüche – so ähnlich wie bei Epimenides, dem Kreter, der behauptet, dass alle Kreter lügen. Kurt Gödel gelang es, eine Aussage zu konstruieren, die besagt: „Keine Zahl ist die Gödel-Zahl eines Beweises dieser Aussage.“ Die Aussage behauptet also von sich selbst: „Ich bin nicht beweisbar.“

Diese Aussage muss entweder wahr oder falsch sein. Wenn die Aussage „Ich bin nicht beweisbar“ falsch wäre, dann würde das bedeuten, dass sie doch beweisbar ist. Dann gäbe es aber einen korrekten Beweis für eine falsche Aussage – das ist ein innerer Widerspruch. Dann muss die Aussage aber wahr sein – und das bedeutet, dass es eine wahre Aussage gibt, die sich niemals beweisen lässt, egal, wie sehr man sich auch bemüht. Den Beweis kann es aus Gründen der Logik gar nicht geben.

Damit lautet Gödels berühmter erster Unvollständigkeitssatz (in einer etwas unmathematisch-umgangssprachlichen Formulierung): „Jedes logische System (das zumindest mächtig genug ist, eine Theorie der natürlichen Zahlen zu enthalten) ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.“ Gödel konnte daraus auch noch seinen zweiten Unvollständigkeitssatz ableiten: „Ein konsistentes System kann die eigene Konsistenz nicht beweisen.“

Kurt Gödel war noch keine fünfundzwanzig Jahre alt, als er mit seinen Ergebnissen die Welt der Mathematik erschütterte. Seine Unvollständigkeitssätze sorgten für Aufsehen, unter anderem in den USA, beim großen Mathematiker und Informatik-Pionier John von Neumann. Gödel reiste wiederholt ans Institute for Advanced Study in Princeton, er hielt Vorlesungen in Wien und in Göttingen.

Schon als Student hatte er seine große Liebe Adele Porkert kennengelernt, eine Wiener Nachtclubtänzerin, sechs Jahre älter als er – und bereits verheiratet. Sie ließ sich scheiden und heiratete Kurt Gödel schließlich im Jahr 1938. Trotz alledem hatte Gödel auch in dieser Zeit immer wieder mit schweren psychischen Problemen zu kämpfen.

Zusätzlich wurde die politische Lage in seiner Heimat immer schlimmer: Die Nationalsozialisten hatten die Macht ergriffen. Dumpfgeistige Politiker, die menschenverachtende Gesetze des Unrechts verabschiedeten, durften regieren, während geniale Wissenschaftler, die wunderbare Gesetze des Universums untersuchten, emigrieren mussten.

Gödel war gewiss kein besonders politischer Mensch, aber nachdem ihn herumpöbelnde Nazis auf der Straße attackiert hatten, wurde es ihm schließlich auch zu viel. Im Jahr 1940, als der Zweite Weltkrieg bereits durch Europa tobte, gelang Kurt Gödel und seiner Frau Adele noch die Flucht – mithilfe amerikanischer Freunde konnten sie über Sibirien in die USA einreisen, in Princeton fanden sie eine neue Heimat. Gödels Freund Oskar Morgenstern befragte ihn zu der Lage in Wien. „Der Kaffee ist erbärmlich“, antwortete Gödel – über Politik verlor er kein Wort. „Er ist sehr spassig, in seiner Mischung von Tiefe & Weltfremdheit“, vermerkte Morgenstern in seinem Tagebuch.

In Princeton lernte Kurt Gödel dann auch Albert Einstein kennen. Die beiden hatten einiges gemeinsam. Beide galten als Genies: Einstein hatte im Alter von fünfundzwanzig Jahren die Fundamente der Physik erschüttert, als er seine spezielle Relativitätstheorie veröffentlichte. Gödel war fast genauso alt, als er die Fundamente der Mathematik erschütterte. Einstein hatte dann zeitgleich mit David Hilbert an den Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie geforscht und sich am Ende gegen den großen Mathematiker durchgesetzt. Gödel hatte zeitgleich mit David Hilbert an der Frage nach der Vollständigkeit formaler Systeme geforscht und am Ende den Traum des großen Mathematikers zerplatzen lassen. Zwischen Einstein und Gödel entwickelte sich eine enge Freundschaft. Einstein soll, so berichtete Oskar Morgenstern später, gesagt haben, dass er überhaupt nur ans Institut komme, um das Privileg zu haben, mit Gödel zu Fuß nach Hause gehen zu dürfen.

Doch in vielerlei Hinsicht hätten die beiden Freunde kaum unterschiedlicher sein können. Albert Einstein war ein politischer Intellektueller, ein internationaler Star, ein rationaler Denker, fest verankert im naturwissenschaftlichen Weltbild der Aufklärung. Kurt Gödel hingegen war ein zurückgezogener Grübler, der an Übernatürliches glaubte, gequält von irrationalen Ängsten. Im Lauf der Jahre entwickelte er immer stärkere Anzeichen von Paranoia, er fürchtete sich davor, vergiftet zu werden. Schließlich aß er kaum noch, nur die liebevolle Unterstützung durch seine Frau Adele hielt ihn am Leben. Als sie 1977 selbst für einige Monate ins Krankenhaus musste, verweigerte Gödel – ohne seine Vorkosterin – überhaupt jede Nahrung. Mit einem Körpergewicht von etwa 30 Kilogramm wurde er ins Krankenhaus eingeliefert. Der wohl größte Logiker in der Geschichte der Mathematik starb am 14. Jänner 1978, weil er sich weigerte, zu essen.

Die Logik hat noch immer recht

Die Welt der Mathematik ist nicht mehr dieselbe, seit Gödel seinen Unvollständigkeitssatz veröffentlichte. Die Methoden der Logik, an denen er arbeitete, spielen für die Mathematik bis heute eine wichtige Rolle. Man darf das mathematische Forschungsgebiet der Logik allerdings nicht mit dem verwechseln, was man im Alltag normalerweise unter „Logik“ versteht. „Das ist doch logisch“, sagen wir, wenn wir etwas völlig offensichtlich, klar und einfach finden. Dabei geht es normalerweise nicht um mathematische Formeln, sondern um leicht verständliche Nachvollziehbarkeit.

Ursprünglich hatte die Logik mit Mathematik nicht besonders viel zu tun. Im antiken Griechenland war die Logik eher ein Teilgebiet der Rhetorik. Es ging darum, korrektes Argumentieren von Trugschlüssen zu unterscheiden. „Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich.“ – Das ist ein Beispiel für ein logisch korrekt geführtes Argument. „Geniale Ideen stoßen immer auf Widerspruch. Meine Ideen stoßen auf Widerspruch. Also sind meine Ideen genial.“ – Diese Argumentation klingt zwar auch so ähnlich, sie ist aber falsch.

Aristoteles beschäftigte sich mit solchen Mustern logischer Schlüsse – sogenannten „Syllogismen“. Um solche Gedankenspielereien zu durchschauen, muss man keine Gleichungen und Formeln aufschreiben, unsere einfache Alltagssprache genügt.

Die mathematische Logik hingegen ist keine Wissenschaft, die sich auf banale Alltagsaussagen beschränkt. Sie ist ein diffiziler, abstrakter Teilbereich der Mathematik. Man hat eine ganz eigene Formelsprache entwickelt, in der man mit speziellen Zeichen und Schriftregeln logische Aussagen aufschreiben kann. Ähnlich wie man in der Schule mathematische Gleichungen umformt, bis man am Ende den Wert einer Variable ausgerechnet hat, kann man logische Aussagen umformen, um neue Wahrheiten aus ihnen abzuleiten. Jeder einzelne Schritt ist leicht nachzuvollziehen und gehorcht ganz einfachen Grundregeln. Aber am Ende gelangt man zu einer neuen Erkenntnis, die alles andere als offensichtlich ist.

Ganz besonders bedeutsam wurde die Logik für eine Wissenschaft, an die zu Kurt Gödels Zeiten noch gar nicht zu denken war – für die moderne Informatik. Heute gibt es Computerprogramme, die ganz automatisch, nach vorgegebenen logischen Regeln Beweise für bestimmte mathematische Aussagen liefern können. Es gibt Computerprogramme, die andere Computerprogramme nach Fehlern durchsuchen, oder auch Computerprogramme, die beweisen können, dass ein bestimmter Computercode unter allen logisch möglichen Bedingungen das richtige Ergebnis liefert.

All das sind wunderbare, nützliche Fortschritte, die wir der formalen Logik zu verdanken haben. Gödels logischer Beweis der Unvollständigkeit mathematischer Systeme wird allerdings immer wieder völlig falsch interpretiert. Manche Leute deuten Gödels Unvollständigkeitssätze als Hinweis darauf, dass auch die Mathematik etwas Unscharfes, Unklares, Mystisches birgt. Das ist natürlich völlig falsch. Die Logik lässt sich nicht in ein esoterischmystisches Weltbild einbauen.

Hat Gödel mit seinen Unvollständigkeitssätzen bewiesen, dass die Mathematik ein löchriges Gebilde von zweifelhafter Stabilität ist, das jederzeit einstürzen könnte? Nein, das hat er nicht. Hat Gödel behauptet, dass die Logik nicht immer richtig liegt oder dass exaktes Beweisen gar nicht möglich ist? Niemals wäre er auf so unsinnige Ideen gekommen. Hat Gödel angezweifelt, dass es so etwas wie wahre oder falsche Aussagen überhaupt gibt? Nein, sonst wäre er kein historisch bedeutsamer Wissenschaftler, sondern ein längst vergessener Wirrkopf.

Selbstverständlich gibt es nach wie vor wahre und falsche Aussagen. Ein gleichseitiges Dreieck in der Ebene schließt in jeder Ecke einen Winkel von sechzig Grad ein – das ist wahr. Achtundvierzig ist eine Primzahl – das ist falsch. Beides lässt sich beweisen. Die Tatsache, dass man durch Gödels Aussagen-Nummerierung auch Sätze konstruieren kann, bei denen die Sache komplizierter ist, hat damit nichts zu tun. Eine logisch bewiesene Aussage ist nach Gödel noch genauso unverrückbar wahr wie vorher. Und wenn aus wahren Aussagen eine neue Aussage logisch folgt, dann muss diese neue Aussage auch wieder wahr sein. Daran besteht kein Zweifel.

Wir müssen uns nur damit abfinden, dass es wahre Aussagen gibt, für die wir niemals einen Beweis finden können. Vieles in der Mathematik lässt sich wunderbar beweisen – etwa die Tatsache, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Aber manche Dinge bleiben lange Zeit eine bloße Vermutung, so lange, bis man endlich einen Beweis gefunden hat.

So vermutet man zum Beispiel schon lange, dass jede gerade Zahl größer als zwei die Summe von zwei Primzahlen ist – das ist die sogenannte „Goldbach’sche Vermutung“. Sechs ist drei plus drei, acht ist fünf plus drei, vierundzwanzig ist dreizehn plus elf. Man kann das für Milliarden Zahlen nachprüfen, immer findet man mindestens eine Möglichkeit, die Zahl aus zwei Primzahlen zusammenzusetzen. Aber ob das wirklich für alle Zahlen gilt, bis ins Unendliche, ist bis heute nicht bewiesen.

David Hilbert wäre in jungen Jahren noch völlig überzeugt gewesen, dass es nur eine Frage der Zeit sein kann, bis man entweder beweisen kann, dass die Goldbach’sche Vermutung für alle geraden Zahlen gilt, oder aber beweisen kann, dass irgendeine Zahl dagegen verstößt. Heute wissen wir: Es kann sein, dass es einen solchen Beweis einfach nicht gibt.

Je nach persönlichem Geschmack kann man das schön oder traurig finden – es ist einfach so. Gödels Ergebnisse entwerten die Mathematik nicht, sie schärfen unseren Blick darauf, was die Mathematik aussagen kann und was nicht. Dass wir nicht alles beweisen können, mindert nicht die Zuverlässigkeit des bereits Bewiesenen. Wenn uns die Astronomie sagt, dass es viele Sterne gibt, die wir niemals sehen können, weil uns ihr Licht niemals erreichen wird, dann entwertet das auch nicht unser Wissen über die Sterne, die wir bereits kennen. Wir verstehen dadurch nur besser, auf welches Wissen wir in Zukunft hoffen dürfen und warum manches für immer im Dunkeln bleiben wird.

SCHMUTZIGE GLÄSER UND REINE WAHRHEIT

Wie der Wiener Kreis nach der perfekten Philosophie suchte, wie man mysteriöse Strahlen entdeckt, die es gar nicht geben kann, und warum man eine Nobelpreisidee auch mal mit Taubenmist verwechseln kann: Naturwissenschaft ist immer auf Beobachtungen angewiesen, aber unsere Beobachtungen sind niemals perfekt.

Selten zuvor war eine Küche von so klugen Leuten geputzt worden. Den Nobelpreisträger Niels Bohr hatte man zum Geschirrspülen abkommandiert, der Nobelpreisträger Werner Heisenberg war für den schmutzigen Herd zuständig. Es war das Jahr 1933, mehrere Physiker verbrachten einen gemeinsamen Skiurlaub auf einer Almhütte und hatten die Hausarbeit untereinander aufgeteilt.

Als Niels Bohr das Geschirr spülte, wurde ihm klar, dass Geschirrspülen eigentlich eine ziemlich merkwürdige Angelegenheit ist: Man nimmt ein schmutziges Tuch und wäscht damit in schmutzigem Wasser das schmutzige Geschirr – und trotzdem kommt auf wundersame Weise am Ende etwas Sauberes heraus. Bohr blickte auf die blitzblanken Gläser und meinte: „Wenn man das einem Philosophen sagen würde, er würde es nicht glauben!“

Das erinnerte stark an die wissenschaftsphilosophischen Probleme, die von den Physikern auf der Almhütte damals diskutiert wurden: Auch die Wissenschaft ist oft eine schmutzige Angelegenheit. Man führt ungenaue Experimente durch und verwendet unklare Begriffe, um inexakte Ergebnisse zu erklären. Und trotzdem kann man dann am Ende auf wundersame Weise die Regeln der Natur in ihrer glänzenden Klarheit durchschauen.

Die Frage ist nur: Genügt uns das? Darf man sich in der Naturwissenschaft mit Unklarheiten zufriedengeben, solange das Endergebnis einigermaßen sauber aussieht?

In der Mathematik hat man es einfacher. Dort kann man hoch komplizierte Aussagen perfekt beweisen, mit unerbittlicher Endgültigkeit, sodass an ihrer Wahrheit absolut kein Zweifel mehr besteht. Wäre es dann nicht vielleicht möglich, die gesamte Wissenschaft mit dieser Präzision zu betreiben? Können wir die strengen Regeln der Logik auch in alle anderen Forschungsbereiche hineintragen, um überall unantastbare Wahrheiten zu erschaffen, denen einfach jeder zustimmen muss?

Der Wiener Kreis

Dieser große Traum von der perfekten Wissenschaft wurde in Wien heftig diskutiert, in den 1920er- und 1930er-Jahren. Rund um Philosophen wie Moritz Schlick oder Rudolf Carnap hatte sich der „Wiener Kreis“ zusammengefunden, eine Gruppe wissenschaftlich und philosophisch interessierter Intellektueller. Auch der junge Kurt Gödel war oft mit dabei. Man traf sich im mathematischen Seminar der Universität Wien in der Boltzmanngasse und arbeitete gemeinsam an einer logischen, rationalen, wissenschaftlichen Weltanschauung.

Mit großer Bewunderung blickte man im Wiener Kreis auf die großen Fortschritte in der Mathematik, die möglich geworden waren, weil man auf Basis einfacher Grundannahmen nach klaren, logischen Regeln vorging. In der Philosophie hingegen schien es keine vergleichbaren Fortschritte zu geben. Immer noch stritt man über Fragen, die auch Jahrhunderte zuvor bereits diskutiert worden waren: Was können wir wissen? Wie gelangen wir zu neuer Erkenntnis? Wie lässt sich aus Einzelbeobachtungen auf allgemeingültige Gesetze schließen?

Musste man das nicht als Hinweis darauf sehen, dass in der Philosophie etwas grob falschlief? Wenn sich die Philosophie offenbar nicht von der Stelle bewegte – musste man dann vielleicht ihre Grundannahmen neu überdenken? Musste man die logischen Werkzeuge der Philosophie vielleicht einfach mal ordentlich zurechtpolieren?

Wichtig schien es den Philosophen des Wiener Kreises vor allem, wissenschaftliche Aussagen klar und eindeutig von unwissenschaftlichen zu trennen. Das ist nicht immer ganz einfach. Es gibt Beispiele für zweifellos wissenschaftliche Aussagen – etwa das zweite Newton’sche Gesetz „Kraft ist Masse mal Beschleunigung“. Wenn es uns gelingt, uns darauf zu einigen, was wir unter „Kraft“, „Masse“ und „Beschleunigung“ verstehen, dann sagt uns dieser Satz ganz klar, wie wir diese Größen ineinander umrechnen können. Der Satz „Die Demokratie ist die gerechteste aller Herrschaftsformen“ hingegen ist ein komplizierterer Fall. Was Demokratie ist, lässt sich vielleicht noch definieren. Aber wie können wir „Gerechtigkeit“ messen und vergleichen?

Und dann gibt es auch Sätze, die mit Wissenschaft überhaupt nichts zu tun haben: „Alles Seiende wird durchdrungen von einer allgegenwärtigen kosmischen Energie, die jeden von uns mit dem Universum verbindet – und das Universum mit uns.“ Das ist grammatikalisch richtig, aber was soll es bedeuten? Hier kommen zwar die Begriffe „Energie“ und „Universum“ vor, die ein bisschen wissenschaftlich klingen, aber der Satz hat keine echte Aussage. Er ist genauso informativ wie „Trallala, hopsasa!“ oder „Sehen wir nach, ob sich die Zahl fünf nächsten Dienstag salzig angehört hat.“ Aber warum ist das so und woran können wir erkennen, welche Sätze sinnvollen Inhalt haben und welche nicht?