Kitabı oxu: «Razonar y Conocer»

Introducción

El enunciado general de que la enseñanza debe tomar a su cargo el aprendizaje de los alumnos del razonamiento matemático constituye, sin duda, un avance respecto de una tradición educativa que sólo se planteaba como objetivo la enseñanza de los contenidos curriculares. Significa el reconocimiento de que aprender a razonar según las reglas legítimas del pensamiento matemático no es algo que se produzca de manera espontánea.

Nos proponemos discutir esta propuesta general, buscando profundizarla. Sin pretensión de ser exhaustivos, abordaremos diferentes líneas de análisis, que tienen en cuenta la relación del razonamiento con los conocimientos de los alumnos, los problemas ligados a la validez lógica y la verdad y la necesidad de tener en cuenta aspectos no sólo lógicos al interpretar los razonamientos de los alumnos.

En primer lugar, nos interesamos por poner en relieve que el razonamiento concebido como la producción de conocimiento nuevo a partir de conocimiento anterior deja suponer que este último es un dato a partir del cual se desencadena todo el proceso. La mayoría de las veces, sin embargo, razonar supone un conjunto de elecciones y anticipaciones que son posibles o no según los conocimientos del sujeto. Por otra parte, a partir de sus inferencias, los alumnos construyen conocimiento. Según sea la manera en que se regulen los procesos que afectan a la validez y a la verdad, resultarán los objetos, propiedades y significados que formen parte de sus conocimientos.

En segundo lugar, analizamos diversas vinculaciones entre validez y verdad que los alumnos realizan y que explican algunas de sus dificultades para razonar según las reglas del hacer matemático. Su comprensión del funcionamiento de los distintos modos de razonamiento, sus nociones de verdad, el grado de credibilidad que otorgan a los enunciados, los contextos en los cuales realizan los razonamientos, son algunos de los elementos que intervienen en sus procesos de validación y de control. Estos aspectos explican en parte por qué a menudo otorgan valor verdadero a una conjetura obtenida mediante un razonamientos no deductivo y valor falso a una conjetura obtenida por medio de un razonamiento deductivo, o valor verdadero contingente, pero no necesario.

Por último, presentamos algunos fenómenos que interfieren en los procesos de razonamiento: la forma en que los alumnos describen los objetos matemáticos, la relativa disponibilidad de los objetos de referencia de los enunciados, y las asociaciones que se producen por traducciones al lenguaje natural son aspectos que facilitan o dificultan la posibilidad de razonar en matemática, aunque no son específicamente problemas de razonamiento.

Estos análisis nos han conducido a la necesidad de pensar en la enseñanza del razonamiento no como un objeto (en sí mismo) sino en estrecha relación con los contenidos. Asimismo, nos han conducido a identificar que la responsabilidad didáctica en relación con el razonamiento debe asumir no sólo el problema de las propuestas de enseñanza, sino muy especialmente el desafío de lograr intervenciones docentes ajustadas a los razonamientos de los alumnos. Esto supone actuar al nivel del razonamiento y de los otros aspectos que forman parte de la complejidad de los procesos de razonamiento.

1 Inferir, conocer, significar

El primer médico que descubrió una relación constante entre una serie de manchas rojas en el rostro y el sarampión hizo una inferencia; pero tan pronto como esa relación se volvió convencional y fue registrada en los tratados de medicina, hubo una convención semiótica. Así pues, existe signo siempre que un grupo humano decide usar una cosa como vehículo de cualquier otra.

Umberto Eco (2000)

Al razonar, a partir de conocimientos disponibles, obtenemos nuevos conocimientos. A partir de verdades aceptadas o supuestas, inferimos verdades irrefutables o que tienen cierto grado de certeza.

En tan pocas palabras se condensa un mundo de relaciones entre nociones que a su vez son complejas: conocimiento (disponible, nuevo), verdad, certeza, irrefutabilidad, inferencia. En una perspectiva de enseñanza y de aprendizaje, nos interesará profundizar en los alcances y los límites de dichas relaciones, cosa que haremos a lo largo de este libro.

Como punto de partida, distinguiremos los conocimientos o significados de los que dispone un sujeto con anterioridad, de aquellos que obtiene mediante un razonamiento. La cita de Umberto Eco –extraída de un contexto en el cual está analizando una identificación planteada por la filosofía clásica entre significación e inferencia– la hemos elegido con ese propósito.

Eco propone corregir tal identificación (entre significación e inferencia) especificando que, por ejemplo, cuando se afirma que la presencia de manchas rojas en la cara de un individuo es signo de sarampión, se reconozca que se trata de una asociación reconocida y codificada sistemáticamente. En caso de que no haya una tal asociación previa, se trata de una inferencia.

En el ámbito escolar, por ejemplo, a menudo se utilizan conocimientos reconocidos y codificados en el marco de una clase (pequeña comunidad), y se producen –infieren– nuevos conocimientos. Esto, claro está, no sería importante de destacar si no fuera porque al poner la mirada en el razonamiento de los alumnos, tendremos acceso solamente a una parte del mismo, lo que llamaremos razonamiento producto: ese conjunto de oraciones que sirven a fines comunicativos (al profesor, a la clase), pero que no reflejan el proceso de razonamiento (Arsac, 1996). Como veremos, discriminar lo que es conocido y lo que es nuevo para un individuo a partir de (su) razonamiento producto no es para nada evidente: en el proceso de razonamiento, los alumnos han utilizado conocimientos que no explicitan en el razonamiento producto. Volveremos sobre esto en varias oportunidades.

Por el momento, intentamos destacar algunas dimensiones del aporte de Eco de interés para nuestro trabajo: la idea de novedad y la de signo, la idea de comunidad (que establece una convención), e implícitamente, ligada a lo anterior, la idea de comunidad (que acepta o legitima el conocimiento nuevo).

En ese sentido, en algunos momentos hablaremos de los saberes de la comunidad de matemáticos, en otros será apropiado considerar los saberes establecidos en el marco de una clase, y en otras hablaremos de los saberes de un sujeto individual. Nos encontraremos, claro está, con una red de interacciones entre estos distintos niveles.

En este libro nos interesaremos por cómo se legitiman los saberes en estas distintas comunidades. Se sobreentiende que como educadores buscamos que los alumnos se apropien de la forma de validación propia de la comunidad de matemáticos. Ahora bien, para ello, será importante identificar, comprender y hacer evolucionar las maneras con que los alumnos aceptan y validan sus conclusiones. En ese sentido, retendremos una distinción debida a Balacheff (1987), sobre todo en lo que concierne a la noción de prueba y de demostración, que explicita una comunidad de referencia.

Balacheff distingue entre explicación, prueba y demostración. Llama explicación a un discurso tendiente a hacer entendible el carácter de verdad, adquirido por un locutor, de una proposición o de un resultado. Llama prueba a una explicación aceptada por una comunidad dada en un momento dado. En el seno de la comunidad matemática, se aceptan pruebas que adoptan una forma particular, y que son las demostraciones: a partir de una serie de enunciados organizados según reglas determinadas, un enunciado es aceptado como verdadero, o bien es deducido de aquellos que le preceden con la ayuda de las reglas de deducción tomadas de un conjunto de reglas bien definidas.

Pasemos ahora a profundizar en la diferenciación entre signo e inferencia al pasar al terreno del aprendizaje. Más allá de los aspectos convenidos en la comunidadclase, será importante reconocer que cada individuo realiza asociaciones que, aunque no las reconozca y codifique sistemáticamente, funcionarán como signos

(para él). A partir de su práctica, sus reflexiones e interacciones, establecerá conexiones (conscientes o no) entre sus conocimientos y también establecerá criterios para legitimar los conocimientos nuevos. Por estas razones, será conveniente entonces reconocer una nueva comunidad: la comunidadalumno1.

Desde este punto de vista, diremos que cuando un individuo establece por primera vez una relación entre dos enunciados, está realizando una inferencia. En cambio, cuando dicha relación haya sido establecida ya (por ese individuo) hablaremos de interpretación, si uno de ellos es evocado o utilizado en relación con el otro. Dada esta diferenciación, de aquí en adelante diremos que las conclusiones que un sujeto obtiene mediante una inferencia se inscriben en la construcción de nuevo conocimiento, en la asignación de nuevos significados, etc.; y que al realizar una interpretación está utilizando conocimientos/significados anteriores. Y esto, independientemente del grado de explicitación, del grado de conciencia por parte del sujeto acerca de esos procesos, y aun cuando cualesquiera de ellos involucren otras asociaciones o inferencias en el ámbito de la resolución de un problema.

Estas primeras distinciones nos permitirán precisar la relación entre conocimiento, significación e inferencia que establecimos inicialmente, a través de profundizar las relaciones entre las “cosas conocidas” y “lo que llegamos a conocer” a partir de un razonamiento.

Veamos estas cosas a través de algunos ejemplos:

La primera vez que una persona debe demostrar que:

“Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo” deberá realizar un razonamiento deductivo que garantice que cualquiera sea el triángulo, las proposiciones “ser equilátero” y “ser equiángulo” tienen el mismo valor de verdad. A través de esa demostración la relación quedará establecida, por lo menos formalmente.

En este caso, la propiedad “Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo” constituye algo que la persona ha “llegado a conocer” gracias a una inferencia.

Muy diferente es el caso siguiente, en el que la persona utilizará la propiedad para resolver un problema. Es decir, la propiedad actuará como “algo conocido” que permitirá, al ser utilizado en un razonamiento, llegar a otro conocimiento.

Supongamos ahora que alguien tiene que decidir cuánto vale cada ángulo de un triángulo equilátero, y que plantee lo siguiente:

“Decir que un triángulo es equilátero es lo mismo que decir que es equiángulo,

y como la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera es 180º,

entonces, cada uno de los ángulos se obtiene dividiendo por 3, o sea, vale 60º.”

En este caso, el individuo ha realizado una interpretación –entre otras posibles– del dato (ser equilátero) y ha evocado la siguiente propiedad:

“Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo” para insertarla en un razonamiento deductivo.

Ahora bien, no es difícil notar que la propiedad evocada se relaciona no sólo con el “dato” sino con la “meta”, y que evocarla supone una anticipación de que la misma hace posible resolver el problema mediante un razonamiento deductivo.

Todo hace suponer que esta persona ha realizado una elección entre todas las propiedades (conocimientos, significaciones) disponibles.

Evidentemente, esta elección podría no haber resultado adecuada. A menudo nos encontramos con que los alumnos, para demostrar una propiedad, acuden a otras relaciones que son verdaderas, pero que no son fructíferas o no son eficaces, porque requieren de un tratamiento más sofisticado para llegar a la conclusión. Por ejemplo, alguien podría haber dicho: “ah, si es equilátero, entonces tiene sus tres lados iguales” o “ah, si es equilátero entonces las alturas, las medianas y las mediatrices se cortan en un mismo punto”.

Ahora bien, para que la propiedad sea elegida, el alumno deberá disponer de una red de significaciones que le permita anticipar la pertinencia de la misma para resolver el problema. Como veremos más adelante, sea su anticipación adecuada o no, el sólo hecho de elegir favorece la puesta en juego de elementos de control sobre el razonamiento y la conjetura obtenida.

También es cierto que a menudo la evocación de una propiedad (sea apropiada o no) no constituye una verdadera elección. Y esto por diversas razones. Una de ellas, es que el alumno puede conocer una única propiedad: por ejemplo, la definición (“un triángulo equilátero es un triángulo que tiene sus tres lados iguales”). Otra razón puede ser que el alumno no haga ninguna anticipación de cuál es el conocimiento que le permitirá resolver el problema. Entonces, entre todas las propiedades disponibles, tomará una al azar e intentará con ella llegar a una conclusión.

Decir que razonar es un proceso por el cual uno “parte de cosas conocidas para obtener algo que no conocía” es adecuado y a la vez esconde parte de la complejidad que acabamos de esbozar. Al analizar el razonamiento anterior:

“Decir que un triángulo es equilátero es lo mismo que decir que es equiángulo,

y como la suma de ángulos de un triángulo cualquiera es 180º,

entonces, cada uno de los ángulos se obtiene dividiendo por 3, o sea, vale 60º”

es correcto decir que de “algo conocido” (las premisas) se dedujo la conclusión, “lo que no se conocía”. Sin embargo, en el marco de la resolución del problema enunciado esto corresponde al razonamiento producto, y no expresa la totalidad del proceso de razonamiento de la persona que ha resuelto el problema. Hemos tratado de señalar en nuestro análisis un aspecto de la complejidad de dicho proceso: el del papel que juegan los conocimientos de la persona que realiza esta deducción.

Volveremos sobre esto en diferentes puntos de esta obra. Por el momento, invitamos a reflexionar sobre las relaciones entre conocimientos y capacidad para razonar que sugiere este análisis. Una de ellas, es que la capacidad de razonar no es independiente de los contenidos matemáticos en juego. Desde el punto de vista de la enseñanza, esto nos conducirá a discutir nuestra posición: no es conveniente pensar en el razonamiento matemático como un objeto (de enseñanza) en sí mismo, sino en estrecha conexión con los contenidos. Más aún, si en este libro abordamos el tema del razonamiento matemático, es porque consideramos que hay un nivel de generalidad desde el cual se puede hablar de los aspectos que atraviesan las diferentes ramas de esta área de conocimiento en relación con el razonamiento; es por eso que también hablaremos de racionalidad matemática. Sin embargo, reconocemos que las diferentes áreas de la matemática

(aritmética, geometría, álgebra, probabilidad, estadística, etc.) plantean problemas específicos respecto del razonamiento. Tanto los problemas generales como los específicos deberían ser abordados desde la enseñanza a fin de conducir a los alumnos en el desarrollo de la racionalidad matemática y el aprendizaje de los diferentes saberes de este dominio.

Algunas cuestiones de lógica y simbolización

Consideramos importante dar a conocer algunas decisiones relacionadas con la lógica de referencia, las definiciones y notaciones que el lector encontrará en esta obra.

En primer lugar, hemos elegido no adoptar una postura a favor ni del cálculo proposicional ni del cálculo de predicados en particular. Consideramos que ambos son fructíferos y se completan al analizar diferentes tareas y al modelizar los razonamientos de los alumnos, en el sentido de que cada uno de ellos permite ver algo que el otro cálculo deja en la sombra2.

Por otro lado, la mayor parte de las definiciones y símbolos utilizados han sido elegidos siguiendo la tradición de la enseñanza de la matemática.

Estas decisiones requieren algunas aclaraciones de partida. En primer lugar, las formas lógicas que presentaremos serán las del cálculo proposicional. Deberá tenerse en cuenta, sin embargo, que la mayor parte de los razonamientos que analizaremos no se adecuan al mismo, y que implícitamente estaremos utilizando, entonces, reglas del cálculo de predicados.

Por ejemplo, cuando un razonamiento como el siguiente sea considerado como ilustración de un razonamiento por modus ponens:

Si un número es par, entonces su cuadrado es par

4 es par

16 es par deberá tenerse en cuenta que al enunciado

“Si un número es par, entonces su cuadrado es par”

que es de la forma x (P(x)  Q(x))

se le ha aplicado la regla de ejemplificación universal del cálculo de predicados, obteniendo:

P(4)  Q(4)

y luego, se ha realizado el razonamiento por modus ponens de la lógica proposicional:

P(4)  Q(4)

P(4)

Q(4)

En segundo lugar, algunas aclaraciones en relación a la notación. Cuando escribamos, por ejemplo:

p  q deberá leerse: “se afirma p  q”.

De la misma manera, la descripción de un razonamiento de la forma:

p  q

p q

deberá leerse: “si se afirma p  q y se afirma p, entonces puede afirmarse q”.

En este sentido, una notación debida a Frege hubiera sido más apropiada. Frege introduce el símbolo “⊢”, que significa “se afirma lo que sigue”, por ejemplo:

⊢ p  q

⊢ p

⊢ q

lo que permite incluir formalmente tanto en los enunciados como en los razonamientos lo que aquí, siguiendo la tradición, supone recurrir al lenguaje natural.

Creemos que con estas aclaraciones no incurriremos en errores o ambigüedades. Sugerimos al lector tenerlas presentes a lo largo de la obra.

Razonamientos válidos/razonamientos no válidos

Los caballos baratos son raros Los caballos raros son caros

En consecuencia, los caballos baratos son caros

¿Qué significa que un razonamiento sea válido? Responder esta pregunta es volver al problema de la comunidad en la que dicho razonamiento tiene lugar. Como sugerimos anteriormente, la convención semiótica establecida por una comunidad supone la aceptación de una asociación. En relación con el ejemplo del sarampión, la asociación inferida por un médico (entre manchas rojas en la cara y el sarampión) fue luego validada según los métodos propios de la medicina.

En el terreno de la matemática, naturalmente, existen reglas de aceptación propias de la comunidad de matemáticos. Más allá de cómo se haya inferido una conjetura, para que la misma sea un resultado (teorema), debe ser sometida al test de aceptabilidad de la comunidad (actual) de matemáticos

(Arsac, 1990). Es decir, debe poder ser deducida de los axiomas o teoremas establecidos con anterioridad

En este libro, también siguiendo la tradición en matemática, identificaremos razonamiento válido con razonamiento deductivo3(Klimovsky, 1994), el que será definido de la siguiente manera:

Un razonamiento es válido si a partir de ciertos enunciados (las premisas) se deriva otro (la conclusión) de manera tal que siempre que las premisas son verdaderas, la conclusión también es verdadera.

Una manera equivalente es la siguiente:

Un razonamiento es válido si “la conjunción de las premisas” implica “la conclusión”.

E incluso otra manera:

Un razonamiento es válido si el condicional que tiene como antecedente la conjunción de las premisas, y como consecuente la conclusión, es una tautología.

Si bien se trata de definiciones equivalentes, conviene considerarlas porque ponen en evidencia aspectos que a menudo se confunden:

 La segunda def inición pone en relación el razonamiento válido con una relación de implicación

 La tercera pone en relación el razonamiento válido con un enunciado.

Creemos que adoptar estas diferentes formulaciones y pasar de una de ellas a la otra es importante para los alumnos, a fin de que distingan claramente la relación de implicación entre dos proposiciones p y q y el enunciado condicional (p  q).

Relaciones entre razonamiento válido y verdad

Una de las dificultades de los alumnos en relación con el reconocimiento de la validez de un razonamiento reside en vincular indebidamente la validez con la verdad. Las razones de ello son de diversa naturaleza: la fuerza del contenido sobre la forma en el análisis de la verdad y de la validez, la influencia del razonamiento y del lenguaje natural, la noción de verdad que manejan los alumnos, etc. Varios de estos aspectos serán abordados paulatinamente, como problemas generales de los distintos modos de razonamiento y como problemas específicos del razonamiento deductivo.

Comenzaremos aquí por lo que entendemos se origina en la interpretación misma de la definición de razonamiento válido, la negación de un enunciado que involucra una implicación (aquí lo que caracteriza un razonamiento inválido), y el hecho de que la validez de un razonamiento se establece mediante la forma y no mediante el contenido de los enunciados en juego.

Una de las manifestaciones más habituales de este problema reside en la dificultad para comprender que la conclusión de un razonamiento puede ser verdadera y el razonamiento no válido y que la conclusión puede ser falsa y el razonamiento válido.

Veamos un ejemplo en el cual la conclusión es verdadera y el razonamiento no válido.

Si un número es múltiplo de 4, entonces es múltiplo de 2

8 es múltiplo de 2

8 es múltiplo de 4

Si bien la conclusión es verdadera, no se deduce de las premisas (en el sentido antes definido), es decir que el razonamiento no es válido.

¿Cómo se decide que este razonamiento no es válido? Porque con un razonamiento de la misma forma podría ser que las premisas fueran verdaderas y la conclusión falsa. Esto se ve en el siguiente ejemplo:

Si un número es múltiplo de 4 entonces es múltiplo de 2

6 es múltiplo de 2

6 es múltiplo de 4

Veamos ahora un ejemplo que pone de manifiesto la otra dificultad, la de comprender que es posible obtener una conclusión falsa mediante un razonamiento válido:

Si un número es múltiplo de 4 entonces es múltiplo de 2

7 es múltiplo de 4

7 es múltiplo de 2

Este razonamiento es válido porque según su forma, si todas las premisas fueran verdaderas, la conclusión sería verdadera. Por ejemplo:

Si un número es múltiplo de 4 entonces es múltiplo de 2

8 es múltiplo de 4

8 es múltiplo de 2

Una de las consecuencias de este tipo de identificaciones entre validez y verdad es que:

 Si mediante una deducción los alumnos infieren una conclusión verdadera, lo interpretan como una prueba de que las premisas son verdaderas (porque no comprenden que a partir de premisas falsas y “razonando bien” se puede llegar a una conclusión verdadera).

 Como consecuencia directa de lo anterior, se observa la dificultad para comprender que el “método” para demostrar un teorema “a partir de la tesis” y deduciendo la hipótesis no constituye una demostración del teorema.

Una manera habitual de los profesores para mostrar que este método no resulta adecuado es a través de ejemplos en los cuales los alumnos saben de antemano que la tesis es falsa. Uno muy común, elegido por la fuerza que tendría para hacerlos revisar su método, a partir del desconcierto que provoca, es el siguiente.

El profesor sugiere:

“Vamos a suponer que nos proponemos demostrar que 0=1 y que para demostrarlo utilizamos el método propuesto por ustedes. Es decir, vamos a considerar que la tesis 0=1 es verdadera, y a razonar a partir de allí.”

A continuación, el profesor escribe:

Claramente, esto plantea una contradicción a los alumnos. Pero a diferencia de lo que el profesor cree o espera, al intentar resolverla, los alumnos no necesariamente ponen en cuestión el método de demostración “a partir de la tesis”, sino el proceso deductivo. Es decir, los alumnos “revisan” los pasos de tal proceso, intentando encontrar un error, porque persiste la idea de que si de premisas falsas llegaron a algo verdadero es porque4 la parte deductiva (lo que hemos llamado el razonamiento producto, el conjunto de oraciones escritas) tiene algún error.

A fin de ayudar a los alumnos a revisar todo el proceso y no solamente la parte deductiva, es interesante mostrar a continuación otro ejemplo de razonamiento con la misma forma. Considerando la congruencia módulo 2, un ejemplo podría ser:

Esto ayudará a los alumnos a buscar otra explicación, en la medida en que –por comparación– encontrarán elementos para darse cuenta de que no era el proceso deductivo el que estaba mal en el ejemplo anterior.

Este análisis nos conduce a pensar que si en principio la definición del razonamiento válido no parece crear confusión en sí misma, serios problemas aparecen cuando los alumnos a través de las distintas formulaciones deben interpretar lo que significa que un razonamiento no sea válido. Se trata nada más ni nada menos que de comprender cómo se niega un enunciado que involucra un condicional o una implicación (según la formulación que se adopte para definirlo).

Como ya anticipamos, más adelante abordaremos otros problemas relacionados con el razonamiento deductivo, que no son inherentes a su definición.