Kitabı oxu: «Решение 20 задач 11-23 варианты ЕГЭ, математика, профиль, ФИПИ, 36 вариантов, 2027»

Глава 1

20 - 11 - 2027

Ивана Ильича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры*, то потребуется k кляссеров, причём 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется k+2 кляссеров и также 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше 150, но меньше 160 ячеек, а в маленьком больше 100, но меньше 120 ячеек.

1) Может ли k быть равно 3?

2) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

* Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.

Решение.

Обозначим S - общее количество монет у Ивана Ильича, а) Пусть k = 3.

Тогда учитывая вместимость больших кляссеров, S должно быть больше, чем 150·3 – 5 = 445 и меньше, чем 160·3 – 5 = 475.

Но учитывая вместимость маленьких кляссеров, S должно быть больше, чем 100·5 – 5 = 495 и меньше, чем 120·5–5= 595.

Получили, что S должно быть одновременно больше 495 и меньше 475. Значит, k не может быть равно 3.

2) Аналогично доказанному в пункте а), k не может быть равно 1 (тогда S должно быть одновременно больше 295 и меньше 155) и k не может быть равно 2 (тогда S должно быть одновременно больше 395 и меньше 315). Если А = 4, то, учитывая вместимость больших кляссеров, S должно быть больше, чем 150·4 – 5= 595, и меньше, чем 160·4 – 5 = 635; а учитывая вместимость маленьких кляссеров, Sдолжно быть больше, чем 100·6 – 5 = 595, и меньше, чем 120·6 – 5 = 715.Значит, при к = 4 получили, что 596 < S < 634.Чтобы условия задачи были выполнены, необходимо, чтобы S + 5 было кратно и k, и k+2. Наименьшее число, кратное и 4, и 6 из промежутка [601; 639], это 612.Значит, S = 607 и в большом кляссере 153 ячейки, а в маленьком – 102.

3) Предположим, что k > =8, то есть k= р + 8 , где р > =0 .Тогда, учитывая вместимость больших кляссеров, S должно быть больше, чем 150(р + 8) – 5 = 1195 + 150р и меньше, чем 160(р + 8) - 5 = 1275 + 160р. Но, учитывая вместимость маленьких кляссеров, S должно быть больше, чем 100(р + 10) –5 = 995 +100р и меньше, чем 120(р + 10) –5= 1195 + 120р. Получили, что 1195 +150р < S < 1195 + 120р, откуда р < 0. Значит, k <= 7.

Рассмотрим k = 7. Учитывая вместимость больших кляссеров, S должно быть больше, чем 150·7 – 5 = 1045, и меньше, чем 160·7 – 5 = 1115; а учитывая вместимость маленьких кляссеров, S должно быть больше, чем 100·9 – 5 = 895, и меньше, чем 120·9 – 5 = 1075. Значит, при k = 7 получили, что 1046 <= S <= 1074. Чтобы условия задачи были выполнены, необходимо, чтобы S + 5 было кратно и k, и k + 2 . Наибольшее число, кратное и 7, и 9 из промежутка [1051;1079], это 1071.

Значит, S = 1066 и в большом кляссере 153 ячейки, а в маленьком – 119.

Ответ: а) нет; б) 607; в) 1066.

Глава 2

20-12-2027

У Петра Львовича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры* то потребуется k кляссеров, причём 7 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется k + 3 кляссеров и также 7 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше 160, но меньше 170 ячеек, а в маленьком - больше 100, но меньше 120 ячеек.

а) Может ли k быть равно 4?

б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?

Пусть п - общее количество монет,

В - количество ячеек в большом кляссере, а b — количество ячеек в маленьком кляссере. По условию задачи:

1. n = k·В–7. 2. п = b·(k + 3)–7. 3. 160 < B < 170. 4. 100 < b < 120.

Из первых двух уравнений следует:

k· B–7= b·( k+3)–7 => B=(1+3/ k)· b.

1. Проверка возможности k = 4:

Если k = 4, то В = (1 + 3/4) · b = 1,75b.

Подставим минимальное и максимальное значения :

Если b = 101, то В = 1,75 · 101 = 176,75 (уже больше 170).

Поскольку b > 100, то В всегда будет больше 1,75 100 = 175. Это противоречит условию . Значит, k не может быть равно 4.

2. Нахождение возможных значений k.

Выразим отношение вместимостей: B/b = 1 + 3/k. Найдем границы для этого отношения max:

Bmax/bmin =169/101 = 1,673; Bmin/bmax = 161/119 = 1,353=>1,353< 1+3/k <1,673 решим для k: 3/k < 0,673 => k > 4,45; 3/k > 0,353, k <8,5 => k = 5,6,7,8.

Рассмотрим эти варианты и для каждого k, находим целые значения b и B, удовлетворяющие условию В = b(k+3)/k = 5 => B=1,6b. Если b=105, то В = 168 (подходит). Тогда п = 5 · 168 – 7 = 833.

При k= 6, В = 1,5b. Если b = 108, то В = 162 => n = 6·162 – 7 = 965; если b = 110, то В = 165. Тогда п = 6 · 165 –7 = 983; если b = 112, то В = 168, тогда п = 6 · 168 – 7 = 1001.

При k= 7: В=10B/7 => b кратно 7. Если b = 112, то В = 160 (не подходит В > 160). Если b = 119, то В = 170 ( не подходит, В < 170). При k = 8: B=11b/8, чтобы B , было целым, b кратно 8. Если b = 112, то B = 154 (мало). Других кратных 8 в интервале (100;120) нет. Наименьшее количество монет – 833 (k=5), наибольшее – 1001 (k=6).