Kitabı oxu: «Principios de finanzas con excel.»

Capítulo 2El valor del dinero en el tiempo
1.Concepto General

Este capítulo trata el aspecto más básico en finanzas: valor futuro, valor presente, valor actual neto y tasa interna de retorno. Estos conceptos le dirán cuánto crecerá su dinero si lo deposita en un banco (valor futuro); cuál es el valor hoy de promesas de pago futuras (valor actual); cuál es el valor de una inversión (valor actual neto); y qué tasa de retorno obtiene de su inversión (tasa interna de retorno).

Los activos financieros y la planificación financiera siempre tienen una dimensión temporal. Presentamos ahora algunos ejemplos.

Deposita $100 en el banco hoy en una caja de ahorros, ¿cuánto dinero tendrá en tres años?

Deposita $100 en el banco hoy en una caja de ahorros y planea agregar $100 cada año por los próximos 10 años, ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta dentro de 20 años?

La empresa XYZ vendió recientemente un bono a su madre por $860. El bono le pagará a ella $20 anuales durante los próximos 5 años. En 6 años obtendrá un pago de $1020. ¿Ha pagado ella un precio justo por el bono?

Vuestra tía Sara está analizando si realizar una inversión, la cual tiene un costo de $1.000 y pagará $50 mensuales cada uno de los próximos 36 meses. ¿Debería hacerla o dejar su dinero en el banco, donde gana el 5 %?

Conceptos de finanzas tratados

Valor Futuro.

Valor Presente.

Valor Actual Neto.

Tasa Interna de Retorno.

Fondos de Pensión y ahorro y otros problemas de acumulación.

Funciones de excel utilizadas

Funciones de Excel: VF, VA, VNA, TIR, PAGO, NPER.

Buscar Objetivo.

2.Valor futuro

El valor futuro es el valor en alguna fecha futura de un pago (o pagos) hechos con anterioridad a dicha fecha. El valor futuro incluye el interés ganado sobre los pagos.

El valor futuro (VF) es un concepto que relaciona el valor en el futuro de una suma depositada en una cuenta bancaria hoy y a través del tiempo y dejada en la cuenta para generar intereses. Suponga, por ejemplo, que deposita $100 en la cuenta bancaria hoy y el banco le paga 6 % de interés al final de cada año. Si usted deja el dinero en el banco, tendrá $106 después de 1 año; $100 del depósito original + $6 de interés. Los $106 son el valor futuro después de 1 año del depósito inicial de $100 al 6 % anual de interés.

Ahora, suponga que deja el dinero en la cuenta por un segundo año: al final de dicho año, usted tendrá lo siguiente:

Los $112,36 son el valor futuro tras 2 años del depósito inicial de $100 al 6 % anual de interés. Otra manera de expresarlo es $112,36 = $100 * (1 + 6%)2:

Observe que el valor futuro utiliza el concepto de interés compuesto: el interés ganado en el primer año ($6) también gana interés el segundo año. Resumiendo:

El valor futuro de X $ depositado hoy en una cuenta que paga r % de interés anual y dejado en la misma por n años es: VF = X * (1 + r)n.

Notación

En este libro utilizaremos nuestra notación matemática más que la empleada por Excel. Dado que en Excel la multiplicación se indica mediante el asterisco, “*”, algunas veces escribiremos 6 % * $106 = $106,36, aunque no sea necesario. Del mismo modo, algunas veces escribiremos (1,10)3 como 1,10^3.

Los cálculos de valor futuro son fácilmente realizados en Excel.

Observe que el uso del carácter ^ es para indicar el exponente: en Excel (1 + 6%)2 se escribe como (1 + B3) ^ B4, donde la celda B3 contiene la tasa de interés y la celda B4 el número de años.

Podemos utilizar Excel para construir una tabla de cómo los valores futuros crecen con los años y luego utilizar las funciones gráficas de Excel para plasmar en una gráfica dicho crecimiento.

En la hoja de cálculo de abajo presentamos un cuadro y gráfico que muestra el valor futuro de $100 para las tres diferentes tasas de interés: 0,6 y 12 %. Como muestran las hojas, el valor futuro es muy sensible a la tasa de interés. Observe que cuando la tasa de interés es 0 %, el valor futuro no crece.

Nota sobre Excel

Observe que la fórmula en las celdas B9:B29 en la tabla tiene signo $ en las referencias, por ejemplo, =$B$2*(1+$B$3)^A9. Este uso de referencia absoluta en Excel se explica en el capítulo 17.

Terminología: ¿Qué es un año? ¿Cuándo comienza?

A pesar de que esta cuestión pueda parecer obvia, no lo es. Hay mucha confusión semántica sobre esta materia en los cursos y textos de finanzas.

A lo largo de este libro utilizaremos los siguientes sinónimos:

Para reiterar, los términos “año 0”, “hoy” y “comienzo del año 1” son sinónimos. Por ejemplo, $100 “a comienzos del año 2” es lo mismo que “$100 al final del año 1”. Si a usted le cuesta entender lo que alguien quiere decir, pida un gráfico, o mejor aún, una hoja de Excel.

Acumulación – Planes de ahorro y valor futuro

En el ejemplo anterior usted depositó $100 y lo dejó en el banco. Suponga que intenta realizar 10 depósitos anuales de $100 cada uno, con el primer depósito en el año 0 (hoy) y cada uno de los depósitos sucesivos al final de los años 1, 2,…, 9. El valor futuro de todos esos depósitos al final del año 10 le dice cuanto tendrá acumulado en su cuenta. Si usted está ahorrando para el futuro (sea para comprar un coche al finalizar la universidad o para financiar una pensión al finalizar su vida laboral), este es un cálculo importante e interesante.

Entonces, ¿cuánto tendrá acumulado al final del año 10? Hay una función de Excel para calcular esta respuesta que trataremos después. Por el momento plantearemos dicho problema en Excel y realizaremos los cálculos detalladamente, mostrando cuánto tendremos al final de cada año.

Para clarificar, analicemos un año en particular. Al final del año 1 (celda E5) usted tiene $106 en la cuenta. Esta es también la cantidad que habrá en la cuenta al comenzar el año 2 (celda B6). Si entonces deposita otros $100 y deja el total del dinero, $206, para generar intereses durante el año, ganará $12,36 de interés. Usted tendrá $218,36 = (106 + 100) * 1,06 al final del año 2.

Finalmente, vemos las columnas 13 y 14: al final del año 9 (celda E13) usted tiene $1.218,08 en la cuenta; esta es también la suma en la cuenta el comienzo del año 10 (celda B14). Entonces deposita $100 y los $1.318,08 resultantes generan $79,08 de intereses durante el año, acumulando $1.397,16 al final del año 10.

La función VF de Excel

La hoja de la sección anterior ilustra paso a paso la manera en la que el dinero se acumula en un plan típico. Para simplificar esta serie de cálculos, Excel tiene la función VF que computa el valor futuro de cualquier serie de pagos constantes. Esta función es ilustrada en la celda C16.

La función VF y los datos necesarios pueden computarse utilizando un cuadro de diálogo —una importante característica que viene con cada función de Excel—. La nota de Excel que sigue ilustra cómo generar el cuadro de diálogo para el cómputo de la celda C16. Si usted ya conoce cómo utilizar un cuadro de diálogo, aquí la indicamos para este ejemplo.

La función VF requiere ingresar la Tasa de interés, el Número de períodos, Nper, y el Pago anual. También puede indicar el Tipo, que le dice a Excel si el pago es realizado al comienzo del período (Tipo 1 como en nuestro ejemplo) o al final del período (Tipo 0)[1].

Nota sobre Excel

Funciones y cuadros de diálogo

La celda C16 del ejemplo previo contiene la función VF (B2, A14,-100,,1). En esta nota ilustramos el uso del cuadro de diálogo para la función VF para generar dicha función. La última parte de esta nota de Excel trata por qué el pago de $100 se ingresa en esta función como un número negativo. Esta es una particularidad de la función VF de Excel compartida por otras tantas funciones financieras de Excel.

Avanzando por el asistente de la Función

Suponga que se encuentra en la celda C16 y desea ingresar la función para valor futuro en la misma celda. Con el cursor en C16, mueva el ratón hacia el siguiente icono en la barra de herramientas.

Haciendo clic en el mismo icono se despliega el cuadro de diálogo que mostramos abajo. Elegimos la categoría funciones Financieras y nos desplazamos hacia abajo en la siguiente sección para posicionar el cursor en la función VF.

Haciendo clic en Aceptar se despliega el cuadro de diálogo de la función VF, que puede ser completado como se ilustra abajo.

Los cuadros de diálogo en Excel dan lugar a dos tipos de variables.

Las indicadas en Negrita deben completarse obligatoriamente - en la función VF son la Tasa de interés, el número de períodos, Nper, y el Pago. (siga leyendo para ver por qué hemos escrito el pago en negativo).

Las no indicadas en negrita son optativas. Por ejemplo, Tipo se refiere a cuando se realiza el pago y, por lo tanto, tiene solo dos opciones: -1 cuando el pago se efectúa al comienzo del período y 0 cuando se realiza al final del mismo. En el ejemplo de arriba hemos indicado un 1 para Tipo; lo que indica (como se explica en el cuadro de diálogo mismo) que el valor futuro se calcula para pagos efectuados al comienzo del período. Si hemos omitido dicha variable o puesto 0, Excel calcularía el valor futuro para una serie de pagos realizados al final del período; vea la subsección de la sección 2.1 titulada “Comienzos versus final del período” para una ilustración.

Observe que el cuadro de diálogo ya nos dice (aún antes de hacer clic en ACEPTAR) que el valor futuro de $100 anuales por 10 años capitalizados al 6 % es $1.397,16.

Una manera abreviada de desplegar el cuadro de diálogo

Si usted conoce el nombre de la función que quiere utilizar, puede directamente escribirla en la celda y luego hacer clic en el siguiente icono en la barra de herramientas:

Como se ilustra abajo, usted debe escribir: = VF (

Y luego hacer clic en el mismo icono anterior - Observe que hemos escrito un signo igual, el nombre de la función y luego hemos abierto paréntesis.

Aquí veremos cómo se ve la hoja de cálculo:

Observe en el texto que despliega Excel debajo de la celda C16: como se ilustra aquí, algunas versiones de Excel muestran el formato de la función cuando la escribe en la celda.

Otra alternativa

¡Usted no está obligado a utilizar un cuadro de diálogo! Si conoce el formato de la función, entonces directamente escriba los datos de sus variables y listo. En el ejemplo de la sección 2.1 podría haber escrito = VF (B2, A14, -100,, 1) en la celda. Presionando [Enter] daría la respuesta.

¿Por qué la variable pago es un número negativo?

En el cuadro de diálogo de la función VF hemos ingresado en el parámetro Pago, un número negativo, -100. La función VF tiene la particularidad (compartida por otras funciones financieras de Excel) de que un depósito positivo genera una respuesta negativa. No entraremos en la (¿extraña?) lógica que produce tal razonamiento: cuando nos encontramos con ella, directamente ingresamos un valor negativo.

Comienzos versus final del período

En el ejemplo anterior usted realizó depósitos de $100 a comienzos de cada año. En términos temporales, usted realizó los depósitos en los momentos 0, 1, 2, 3… 9. Aquí presentamos una manera esquemática de verlo, mirando el valor futuro de cada depósito al final del año 10.

Suponga que usted realizó 10 depósitos de $100 al final de cada año. ¿Cómo afectaría ello a la acumulación en la cuenta al final de los 10 años? El diagrama esquemático de abajo ilustra la temporalidad y acumulación de los pagos.

La acumulación en la cuenta es menor cuando se deposita al final de cada año que en el caso previo, en que se depositaba al comienzo de cada año. Cuando usted deposita al final de cada año, cada depósito permanece en la cuenta 1 año menos y, en consecuencia, gana 1 año menos de interés. En una hoja, se ve como sigue.

La celda C16 ilustra el uso de la fórmula de Excel VF para resolver el problema. Aquí presentamos el cuadro de diálogo de la función VF de la celda C16.

Cuadro de diálogo para VF con depósitos al final del período

En el ejemplo hemos omitido toda entrada en el campo Tipo. También podríamos haber puesto un 0 en el campo Tipo y obtenido el mismo resultado.

Algo de jerga financiera y la función VF de Excel

Una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales realizados por un período de tiempo específico. Ejemplos de anualidades hay por todos lados:

El dinero que los padres les dan al hijo para que estudie ($1.000 mensuales durante los próximos 4 años de universidad) es una anualidad con 48 pagos.

Los fondos de pensión a menudo conceden al beneficiario que se jubila un pago fijo durante el período en el que permanezca con vida. Esto es un poco más complicado porque el número de pagos es incierto.

Ciertos tipo de créditos son pagados en cuotas fijas, periódicas (generalmente mensuales, algunas veces anuales). Las hipotecas y créditos para estudiantes son dos ejemplos.

Una anualidad con pagos al final de cada período generalmente es denominado “anualidad regular”. Como usted podrá haber observado en esta sección, el valor de una anualidad regular se calcula con = VF (B2, A14, -100). Una anualidad con pagos al comienzo de cada año generalmente se denomina “anualidad adelantada” y su valor es calculado con la función de Excel = VF (B2, A14, -100,,1).

3.Valor actual

El valor actual es el valor hoy de un pago (o pagos) que serán realizados en el futuro.

Presentamos aquí un ejemplo: suponga que usted prevé recibir de su tío Miguel, cuyo compromiso es tan válido como el de un banco, $100 en tres años. Suponga que el banco paga el 6 % de interés por los depósitos de ahorros. ¿Cuál es el valor actual de los pagos futuros previstos? La respuesta es:

Si usted pone $83,96 en el banco hoy al 6 % anual de interés, entonces en 3 años tendría $100 (vea la “prueba” en las filas 8 y 9)[2]. El valor de $83,96 es también llamado el valor presente o valor actual de $100 en 3 años al 6 % de interés.

Para sintetizar,

El valor actual de X $ que se recibirán en n años cuando la tasa apropiada de interés es r % es:

La tasa de interés r es también conocida como “tasa de descuento”. Podemos utilizar Excel para crear una tabla que muestra cómo el valor actual decrece con la tasa de descuento. Como podrá ver, mayores tasas de descuento generan menores valores presentes.

3.1.¿Por qué el valor actual disminuye cuando la tasa de interés crece?

La tabla de Excel de arriba muestra que $100 que el tío Miguel le prometió a usted en 3 años valen hoy $83,96 si la tasa de descuento es 6 %, pero valen solo $40,64 si la tasa de interés es 35 %. La razón mecánica para ello es que calcular el valor actual de $100 significa dividir por un denominador menor que calcular el valor actual al 35 %:

La razón económica se relaciona al valor futuro: si el banco le paga el 6 % de interés por sus ahorros, usted tendría que depositar $83,96 hoy para ahorrar $100 en 3 años. Si el banco paga el 35 % de interés, entonces $40,64 de hoy crecerían a $100 en 3 años porque $40,64 * (1,35)3 = $100.

Lo que este breve análisis muestra es que el valor actual es inverso al valor futuro.

3.2.Valor actual de una anualidad

Recordemos que una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales. El valor actual de una anualidad le dice el valor hoy de todos los pagos futuros de la anualidad.

El valor actual de una anualidad de $ X al ser recibida al final de los años 1, 2, 3,… N cuando la tasa apropiada de descuento es r % es:

Ahora un ejemplo: suponga que le prometen $100 al final de cada uno de los próximos 5 años. Asumiendo que puede obtener un 6 % del banco, la promesa tiene un valor de $421,64 hoy.

El ejemplo anterior muestra tres maneras de obtener el valor actual de $421,24:

Puede sumar los valores actuales individuales. Eso se hizo en la celda C13.

Puede utilizar la función VA de Excel, la cual calcula el valor actual de una anualidad (celda C14).

Puede utilizar la función VNA de Excel (celda C15). Esta función calcula el valor actual de cualquier serie de pagos periódicos (ya se trate de pagos fijos, como en una anualidad, o de variables).

Le dedicamos subsecciones separadas para las funciones VA y VNA.

3.3.Valor actual de una perpetuidad

Una perpetuidad es una anualidad que continúa para siempre. En el apéndice 2.1 al final de este capítulo mostramos que:

El valor actual de una perpetuidad de X $ a ser recibidos al final de los años 1, 2, 3… cuando la tasa apropiada de descuento es r % es:

Suponga, por ejemplo, que a usted le ofrecen un pago de $100 anuales al final de cada año 1, 2, 3… Suponga que la tasa apropiada de interés es r = 5 %. Como la siguiente hoja muestra, el valor actual de esta perpetuidad es $2.000.

3.4.La función VA de Excel

La función VA calcula el valor presente de una anualidad (una serie de pagos iguales). Se ve muy parecida a la función VF antes tratada y como VF, también tiene la particularidad de que los pagos positivos dan resultados negativos (y ese es el motivo por el que se ingresa -100 en el Pago). Como en el caso de la función VF, Tipo denota si el pago es realizado al comienzo o al final del año. Dado que al final del año se toma por defecto, puede ingresarse 0 o deja Tipo en blanco (si el pago es al comienzo del período debe ingresarse 1 en el cuadro Tipo).

Cuadro de diálogo para la función VA

El cuadro “Resultado de la fórmula” en el cuadro de diálogo muestra que el resultado es $421,24.

3.5.La función VNA de Excel

La función VNA de Excel computa el valor presente de una serie de pagos. Los pagos no necesariamente deben ser iguales, a pasar de que en el actual ejemplo lo son. La habilidad de la función VNA para tratar con pagos no constantes la hace una de las funciones más útiles de las funciones financieras de Excel.

Cuadro de diálogo para la función VNA

La función VNA de Excel computa el valor presente de una serie de pagos. Puede ingresar los pagos separadamente (como Valor 1, Valor 2...) o —como se ilustra arriba—puede ingresarse un rango de pagos en el cuadro Valor 1.

Nota importante sobre terminología

Los profesionales de finanzas utilizan “VNA” (o “VAN” en español) para indicar “valor actual neto”, un concepto que explicaremos en la sección siguiente. La función VNA de Excel calcula el valor presente de una serie de pagos. Casi todos los profesionales y textos de finanzas llamarían al número calculado por la función VNA de Excel como VA. Es decir, el uso que hace Excel de VNA difiere del estándar utilizado en finanzas, el cual es explicado en la sección 2.3.

Haremos un uso extensivo de esta función a lo largo del libro. En el ejemplo actual, dado que los pagos son iguales, el resultado es el mismo ($421,24) si usamos la función VA que si utilizamos la función VNA.

3.6.Eligiendo una tasa de descuento

Hemos definido el valor actual de $ X a ser recibidos en n años como:

La tasa de interés r en el denominador de esta expresión es también conocida como “tasa de descuento”. ¿Por qué es 6 % una tasa de descuento apropiada para el dinero que le ha prometido el tío Miguel? El principio básico es elegir una tasa de descuento que sea apropiada al riesgo y durabilidad de los flujos de fondos que serán descontados. La promesa de $100 anuales del tío Miguel por los próximos 5 años se asume tan buena como un banco local, que paga 6 % por los depósitos de ahorros. Por lo tanto, 6 % es una tasa de descuento adecuada[3].

3.7.El valor actual de una “no anualidad” de flujos de fondos (o sea, no constantes)

El concepto de valor actual también puede aplicarse a una corriente no constante de flujos de fondos, significando flujos de fondos que no son iguales en cada período. Suponga que, por ejemplo, su tío Juan le ha prometido pagarle $100 al final del año 1; $200 al final del año 2; $300 al final del año 3; $400 al final del año 4; y $500 al final del año 5. Eso no constituye una anualidad y, por lo tanto, no puede ser solucionada con la función VA. Pero podemos hallar el valor presente de dicha promesa futura mediante la función VNA.

El ejemplo muestra que el valor actual de la promesa de pago del tío Juan durante los próximos 5 años es $1.214,69:

Nota de Excel

La función VNA le permite ingresar hasta 29 pagos directamente en el cuadro de diálogo de la función. Ahora, se incluye una ilustración para el ejemplo anterior.

4.Valor actual neto

El valor actual neto (VAN) de una corriente de pagos futuros es el valor actual menos la inversión inicial requerida para obtener los flujos de fondos futuros. El VAN = VA de los flujos de fondos futuros - inversión inicial. El VAN de una inversión representa el incremento en riqueza que se obtiene si realiza la inversión.

Presentamos un ejemplo basado en la hoja de cálculo de página anterior. ¿Pagaría usted $1.500 hoy para obtener una serie de pagos futuros como los de la serie B5: B9? Ciertamente, no —solo valen $1.214,69—, entonces ¿por qué pagar $1.500? Si le piden pagar $1.500, el VAN de su inversión sería:

Si usted paga $1.500 por esa inversión, estaría pagando $285,31 de más por la inversión y se empobrecerá en dicha suma. ¡Es un mal negocio!

Por otro lado, si a usted le ofrecen el mismo flujo de fondos futuros a $1.000, usted aprovecharía la propuesta porque estaría pagando $214,69 menos por la inversión que su valor:

En este caso, la inversión le haría $214,69 más rico. Como dijimos antes, el VAN de una inversión representa el incremento en su riqueza si realiza la inversión.

En síntesis:

El valor actual neto (VAN) de una serie de flujos de fondos se utiliza para tomar decisiones de inversión. Una inversión con VAN positivo es una buena inversión y una con VAN negativo es mala inversión. Una inversión con VAN igual a cero es un “juego justo” —el valor futuro de los flujos de fondos compensa exactamente el costo inicial de la inversión—.

El valor actual neto es una herramienta básica de análisis financiero. Es utilizada para determinar si una inversión en particular debe ser emprendida; en los casos en que podamos llevar adelante solo una de entre varias alternativas, es la herramienta de decisión para elegir cuál emprender.

A continuación, otro ejemplo de VAN: usted encontró una inversión interesante —si paga $800 hoy a una caja de créditos local, dicha empresa le promete pagarle $100 al final del año 1; $150 al final del año 2; $200 al final el año 3; $250 al final del año 4; y $300 al final del año 5. Usted considera que dicha caja de crédito es tan digna de su confianza como un banco, que actualmente paga 5 % de interés. La hoja siguiente muestra el VAN de dicha inversión de $800.

La plantilla muestra que el valor de la inversión —el VAN de los pagos, incluyendo el pago inicial de - $800— es $44,79:

A una tasa de descuento del 5 %, usted debería llevar a cabo la inversión, dado que su VAN es $44,79; que es positivo.[4]

Nota de Excel

Como se mencionó antes, el nombre de la función VNA de Excel no se corresponde con el uso estándar de término valor actual neto en finanzas4. En finanzas, el valor presente generalmente se refiere al valor actual de una corriente futura de flujos de fondos, en el ejemplo anterior, el valor actual es:

Los profesionales de finanzas utilizan VAN para representar el valor actual de la corriente de pagos futuros menos el costo de la inversión inicial, en el ejemplo anterior esto es $844,79 - $800 = $44,79. En este libro utilizaremos el término VAN para expresar su verdadero significado en finanzas. La función de Excel VNA aparecerá siempre en negrita. Esperamos que no origine confusión.

4.1.VAN depende de la tasa de descuento

Veamos el ejemplo de la caja de crédito de la página anterior y usemos Excel para crear una tabla que muestre la relación entre tasa de descuento y VAN. Como muestra el gráfico, a mayor tasa de descuento, menor es el VAN de la inversión.

Observe que hemos resaltado una tasa de descuento en especial: cuando la tasa de descuento es 6,6965 %, el valor actual neto de la inversión es cero. La tasa de 6,6965 % se refiere a la tasa interna de retorno (TIR). Para tasas de descuento menores que la TIR, el VAN es positivo y para tasas de descuento mayores que la TIR, el VAN es negativo. Trataremos la TIR con mayor detalle en la sección 2.5.

4.2.Utilizando VAN para seleccionar entre inversiones

En los ejemplos analizados hasta el momento hemos utilizado VAN solo para decidir si llevar a cabo una inversión en particular, pero VAN también puede usarse para seleccionar entre inversiones mutuamente excluyentes. Observe la hoja de cálculo siguiente: usted dispone de $800 para invertir y le han ofrecido elegir entre las alternativas A y B. La hoja muestra que, a una tasa del 15 %, la inversión A tiene un VAN de $219,06 y la B tiene un VAN de $373,75. Si las inversiones no son mutuamente excluyentes, usted querría invertir en ambas porque cada una de ellas tiene un VAN positivo. Pero si se ve forzado a elegir solo una inversión, debería elegir la alternativa B porque tiene un mayor VAN. La alternativa A incrementará su riqueza en $219,06, mientras que la alternativa B incrementará su riqueza en $373,75.

Terminología - ¿es una tasa de descuento o una tasa de interés?

En algunos de los ejemplos precedentes hemos utilizado tasa de descuento en lugar de tasa de interés para describir la tasa usada en el cálculo de VAN. Como verá en los capítulos siguientes de este libro, la tasa que se usa en el cálculo de VAN tiene mucho sinónimos: tasa de descuento, tasa de interés, costo de capital, costo de oportunidad; esos son solo unos cuantos de los nombres para la tasa que aparece en el denominador del VAN:

En síntesis,

Al utilizar VAN para seleccionar entre dos inversiones mutuamente excluyentes con VAN positivo, elegimos la inversión con mayor VAN.

5.Tasa Interna de Retorno (TIR)

La tasa interna de retorno (TIR) de una serie de flujos de fondos es la tasa de descuento que hace el valor actual neto de los flujos de fondos igual a cero.

Antes de explicar en profundidad (en la sección siguiente) la TIR, explicamos cómo calcularla. Volvamos al ejemplo anterior: si usted paga $800 hoy a una caja de crédito local, el dueño le ofrece pagarle $100 al final del año 1; $150 al final del año 2; $200 al final del año 3; $250 al final del año 4 y $300 al final del año 5. Descontando esos flujos de fondos a la tasa r, el VAN puede escribirse como:

En las celdas B16: B32 de la hoja de cálculo de abajo calculamos el VAN para varias tasas de descuento. Como ve, en algún lugar entre r = 6 % y r = 7 %, el VAN se torna negativo.

En la celda B13 usamos la función de Excel TIR para calcular la tasa de descuento exacta a la cual el VAN se torna igual a cero. La respuesta es 6,6965 %; a esa tasa de descuento, el VAN de los flujos de fondos es igual a cero (observe la celda B12). Podemos utilizar el cuadro de diálogo para la función TIR de Excel.

Cuadro de diálogo para la funcion tir de excel

Observe que no hemos utilizado la segunda opción (Estimar) para calcular nuestra TIR. Trataremos esta opción en el capítulo 5.

5.1.¿Cuál es el significado de la TIR?

Suponga que puede obtener 6,6965 % de interés en el banco y suponga que quiere ahorrar hoy para obtener para usted mismo el flujo futuro de fondos del ejemplo anterior:

Para obtener $100 al final del año 1, debería poner su valor presente en el banco hoy:

Para obtener $150 al final del año 2, debería poner su valor presente en el banco hoy.

Y así sucesivamente (vea el cuadro siguiente).

La cantidad total que debería ahorrar es $800, exactamente el costo de esta oportunidad de inversión. Eso es lo que significa cuando decimos que:

La TIR es la tasa de interés compuesta que usted gana en una inversión.

5.2.Utilizando TIR para tomar decisiones de inversión

La TIR se utiliza generalmente para toma de decisiones de inversión. Suponga que a su tía Carmen le ha ofrecido su bróker la siguiente inversión: por un pago de $1.000, una compañía financiera de buena reputación le pagará a ella $300 al final de cada uno de los próximos 4 años. La tía Carmen actualmente obtiene un 5% en su depósito de ahorros bancario. ¿Debería ella retirar su dinero del banco para llevar a cabo la inversión? Para responder esa pregunta, calculamos la TIR de la inversión y la comparamos con la tasa de interés del banco:

La TIR de la inversión, 7,71 %, es mayor que el 5 % que Carmen puede obtener en su inversión alternativa (la cuenta bancaria). Por lo tanto, debería llevar a cabo la inversión.

En síntesis,

Al utilizar TIR para toma de decisiones de inversión, una inversión con TIR mayor que la tasa de interés alternativa es una buena inversión y si la tasa de interés es menor que la tasa de interés alternativa, entonces es una mala inversión.

5.3.Utilizando TIR para elegir entre dos inversiones

Podemos también utilizar la tasa interna de retorno para seleccionar entre dos inversiones. Suponga que a usted le han ofrecido dos inversiones. Ambas alternativas A y B con un costo de $1.000, pero con diferentes flujos de fondos. Si usted está utilizando la TIR para toma de decisiones de inversión, entonces elegirá la inversión con mayor TIR. Se presenta un ejemplo a continuación.

Deberíamos elegir la inversión A, ya que es la de mayor TIR.

En síntesis,

Al utilizar TIR para seleccionar entre dos inversiones comparables, se debe elegir la inversión que tenga la mayor TIR. Ello asume que: (1) ambas inversiones tienen una TIR mayor que la tasa alternativa y (2) las inversiones son de riesgo comparable.

Usando van y tir para toma de decisiones de inversión

En este capítulo hemos desarrollado dos herramientas, VAN y TIR, para toma de decisiones de inversión. También hemos tratado dos tipos de decisiones. Ahora presentamos un ejemplo:

En el capítulo 4 trataremos en forma adicional la implementación de estas dos reglas junto a dos problemáticas de decisión.

6.¿Qué significa la TIR? Tablas de créditos y amortización de inversiones

En la sección anterior dimos un ejemplo simple de lo que pretendemos expresar cuando decimos que la TIR es la tasa de interés compuesta que usted gana de un activo. En esta corta oración subyace un montón de aplicaciones financieras: cuando los profesionales de finanzas discuten sobre la “tasa de retorno” de una inversión o la “tasa de interés efectiva” de un crédito, casi siempre se están refiriendo a la TIR. En esta sección exploraremos algunas significaciones de la TIR. Prácticamente, el capítulo 3 al completo se dedica a este asunto.

6.1.Un ejemplo simple

Suponga que adquiere un activo por $200 hoy y suponga que dicho activo le pagará a usted $300 en 1 año. Entonces la TIR del activo es 50 %. Para verlo, recuerde que la TIR es la tasa de interés que hace el VAN cero. Dado que:

ello implica que el VAN será cero cuando:

Resolviendo esta ecuación obtenemos que r = 50 %.

Presentamos ahora otra manera de pensar sobre esta inversión y su TIR de 50 %:

En el momento 0 usted paga $200 por la inversión.

En el momento 1, los $300 que paga la inversión cancelan los $200. Los restantes $100 representan el 50 % de retorno sobre los $200 de inversión inicial. Esta es la TIR.

La TIR es la tasa de retorno de una inversión; es la tasa que paga, a lo largo de la vida del activo, la inversión inicial en el mismo. Y paga intereses sobre los saldos pendientes de la inversión.

6.2.Un ejemplo más complejo

Exponemos ahora un ejemplo más complicado, el cual ilustra el mismo punto. Esta vez se compra un activo cuyo costo es $200 y su flujo de fondos es $130,91 al final del año 1 y $130,91 al final del año 2. A continuación, nuestro análisis de la TIR sobre esta inversión.

La TIR de la inversión es 20 %. Observe cómo la hemos calculado —simplemente hemos introducido en la celda B2 la fórmula = TIR ({-200; 130, 91; 130, 91}) (si usted utiliza este método para calcular la TIR en Excel, debe poner los flujos de fondos entre paréntesis).

Utilizando la TIR del 20 %, $40 (= 20 % * $200) del pago del primer año es interés y los $90,91 restantes son el repago de la inversión. Otro modo de pensar en los $40 es considerar que para adquirir el activo, usted entrega al vendedor el costo de $200. Cuando él le paga $130,91 al final del año 1; $40 (20 % * $200) son de interés —o sea, su beneficio por haber entregado a alguien para que use su dinero—. Los $90,91 restantes son una devolución parcial del dinero entregado.

Ello deja como saldo pendiente al comienzo del segundo año $109.09. De los $130.91 que paga la inversión al final del segundo año, $21,82 (= 20 % * 109.09) es interés y el resto, (exactamente $109,09) es repago del principal.

El saldo de la inversión al comienzo del año 3 (año siguiente al que la inversión termina de ser pagada) es cero.

Como en el primer ejemplo de esta sección, la TIR es la tasa de retorno sobre la inversión, definida como la tasa que repaga sobre la vida del activo la inversión inicial en el mismo y los intereses sobre los saldos pendientes de la inversión inicial.

Utilizando valor futuro, valor actual neto y tasa interna de retorno del resto del capítulo

En las restantes secciones aplicaremos los conceptos aprendidos en el capítulo para resolver varios problemas habituales:

Secciones 2.7 – 2.9. Ahorrando para el futuro

Sección 2.10. Pagando un crédito de cuotas constantes de capital e interés

Sección 2.12. ¿Cuánto tiempo lleva cancelar un crédito?

7.Cálculo del pago “fijo” anual de un préstamo – función PAGO de Excel

Usted acaba de graduarse y tiene que pagar en 10 años un préstamo de $100.000 que pidió para sus estudios. El préstamo tiene una tasa de interés anual de 10 % y su pago es constante, en el sentido de que paga la misma cantidad cada año. ¿Cuánto tiempo le llevará cancelar su préstamo?

Suponga que llamamos X al monto que paga anualmente. Entonces, el X correcto se caracterizará porque el valor actual de todos los pagos será igual al monto del préstamo:

Reescribiendo el lado derecho, puede ver que:

A continuación, todo esto en una hoja de Excel.

En la celda B6 utilizamos la función PAGO de Excel, que efectúa el cálculo del pago del préstamo directamente (vea el cuadro de diálogo de abajo).

7.1.Tablas de amortización de préstamos

“Amortizar” significa pagar algo a través del tiempo. Una tabla de amortización de préstamo muestra cómo el pago de un préstamo se subdivide entre interés y repago del capital inicial. A continuación, presentamos el ejemplo anterior, con la tabla de amortización adjunta (filas 9-18).

Cuando ponemos todos los pagos en una tabla de préstamos (filas 9-18 de la siguiente hoja de cálculo) se puede ver la subdivisión de cada pago de fin de año entre interés sobre el saldo remanente del capital al comienzo del año y repago del capital. Si usted debe efectuar pagos de impuestos, la columna D es deducible a efectos impositivos; mientras que la columna del repago del capital no lo es (columna E).

8.La función PAGO puede resolver problemas de valor futuro

La función PAGO puede también ser utilizada para calcular el pago anual requerido para obtener una determinada suma de dinero en el futuro. Tal como demuestra la siguiente hoja, si usted deposita $5.087,87 anualmente al comenzar cada año durante 10 años, acumulará $100.000 al 12 % de interés.

En la celda B20 realizamos este cálculo en un solo paso, mediante la función PAGO de Excel.

El cuadro de diálogo para la celda B20 se muestra abajo.

9.Ahorrando para el futuro – compramos un coche para Mario

Mario tiene el ojo puesto en un coche que cuesta $20.000. Desea adquirirlo en 2 años. Planea abrir una cuenta bancaria y depositar X $ hoy y X $ en 1 año. Los saldos en la cuenta ganarán un 8 %. ¿Cuánto necesita Mario depositar para alcanzar $20.000$ en 2 años? En esta sección se lo mostraremos.

Para financiar un consumo futuro con un plan de ahorro, el valor actual neto de todos los flujos de fondos debe ser cero. En la jerga financiera, el consumo futuro planeado es totalmente financiado si el valor actual neto de los flujos de fondos es cero.

Para verlo, comencemos con una representación gráfica de lo que ocurre.

En el año 2 Mario tendrá acumulado X * (1,08)2. Esto debe financiar los $20.000 del coche, por lo que:

Ahora, reste los $20.000 de ambos lados de la ecuación y divida por (1,08)2:

Si usted deseara resolver esta ecuación, encontraría que X = $8.903,13. Para financiar completamente la adquisición futura del coche, Mario debe depositar $8.903,13 hoy y otros $8.903,13 en 1 año a partir de ahora. Si él deposita eso, el VAN de sus pagos es cero:

Solución con Excel

Por supuesto, esta solución es fácilmente alcanzada utilizando Excel:

Si Mario deposita $8.903,13 en los años 0 y 1, entonces la acumulación en la cuenta al comienzo del año 2 será exactamente $20.000 (celda B7). El VAN de todos los pagos (celda B9) es cero.

En la siguiente sección trataremos tres métodos para resolver el problema de ahorro de Mario.

10.Resolver los problemas de ahorro de Mario – tres soluciones

Podemos resolver el problema de Mario mediante cualquiera de los 3 métodos: prueba y error, usando Buscar Objetivo de Excel o la función PAGO de Excel. Cada uno de estos tres métodos se ilustra en esta sección.

10.1.Método 1: prueba y error

Usted puede “jugar” con la hoja de cálculo, ajustando la celda B2 hasta que la celda C9 sea igual a cero. Por ejemplo, si pone $5.000 en la celda B2 observará que el VAN en la celda C9 es negativo, indicando que Mario está ahorrando demasiado poco.

Si pone 10.000$ en la celda B2, la celda C9 será positiva: ello indica que la respuesta está en algún lugar entre 5.000 y 10.000. Mediante prueba y error usted puede llegar a la respuesta correcta.

10.2.Método 2: usar la función Buscar Objetivo de Excel

Buscar objetivo es una función de Excel que busca un número específico en una celda ajustando el valor de otra celda (para una revisión sobre el uso de Buscar Objetivo, vea el capítulo 21). Para resolver el problema de Mario, podemos usar Buscar Objetivo para hacer que la celda C9 sea igual a 0. En el menú de Excel 2007 se selecciona Datos l Herramientas de Datos l Análisis Y Si l Buscar Objetivo.

Habiendo elegido Buscar Objetivo veremos el cuadro de diálogo que aparece a continuación:

Y al hacer clic en Aceptar, Buscar Objetivo encontrará la solución de $8.903,13.

10.3.Método 3: usar la función PAGO de Excel

La función PAGO de Excel puede resolver directamente el problema de Mario, como se ilustra en la siguiente hoja:

El cuadro de diálogo para esta función se presenta a continuación:

11.Ahorrar para el futuro – problemas más complejos

En esta sección presentamos 2 versiones más complicadas que el problema de Mario de la sección 2.8.

Comenzamos intentando determinar si los padres de una niña pequeña están ahorrando suficiente dinero para su educación universitaria. A continuación el problema:

El día en que Nerea García cumplió 10 años sus padres decidieron depositar $4.000 en una cuenta bancaria para su hija. Ellos pretenden depositar $4.000 adicionales en la cuenta cada año el día de su cumpleaños de 11, 12… hasta el de 17.

Todos los saldos bancarios generan un 8 % de interés.

El día del cumpleaños de 18, 19, 20 y 21, sus padres sacarán $20.000 para pagar la universidad.

¿Son los $4.000 anuales suficientes para cubrir los aranceles universitarios previstos? Podemos resolver fácilmente este problema en una hoja.

Observando la columna de saldo al final del año en la columna E, los $4.000 no son suficientes —Nerea y sus padres se quedarán sin dinero en algún momento entre el cumpleaños 19 y 20[5]—. Al final de su carrera universitaria habrá $34.817 “en descubierto” (celda E18). Otra forma de verlo es observar el cálculo de VAN en la celda C20: como vimos en la sección anterior, un plan que combina depósitos / extracciones está completamente financiado cuando el VAN de todos los pagos / extracciones es cero. En la celda C20 se comprueba que el VAN es negativo – El plan de Nerea es subfinanciado.

¿Cuánto deberán ahorrar los padres de Nerea cada año? Hay muchas maneras de responder a esta pregunta, en las cuales se profundizará más adelante. Estos métodos son básicamente iguales que los tratados para resolver el problema de Mario presentado en la sección anterior, pero para que quede completo vamos a presentarlos nuevamente.

11.1.Método 1: prueba y error

Asumiendo que usted ha puesto las fórmulas correctas en la hoja, puede “jugar” con la celda B3 hasta que la celda E18 o la celda C20 sean igual a cero. Haciéndolo podemos ver que los padres de Nerea deberían haber planeado depositar $6.227,78 anualmente.

Note que el VAN de todos los pagos (celda C20) es cero cuando la solución es alcanzada. Los pagos futuros son totalmente financiados cuando el VAN de todos los flujos de fondos es cero.

11.2.Método 2: usar Buscar Objetivo de Excel

Podemos usar Buscar Objetivo para hacer que la celda E18 sea cero. Tras pulsar en Datos l Herramientas de Datos l Análisis Y Si l Buscar Objetivo, se completa el cuadro de diálogo.

Cuando se hace clic en Aceptar, Buscar Objetivo busca la solución. El resultado es el mismo que antes: $6.227,78.

11.3.Método 3: usar las funciones VA y PAGO de Excel

Podemos usar VA de Excel y la función PAGO para resolver este problema directamente, como se ilustra en la siguiente hoja.

Explicación: la celda B9 es el valor actual de los aranceles universitarios al comenzar los 18 años de edad. La función PAGO computa el pago anual requerido tal que el valor futuro de los pagos (capitalizados al 8 % durante 8 años) sea igual a $71.541,94.

Podemos, por supuesto, integrar la función VA en la función PAGO, de modo que la solución sea aún más simple.

11.4.Planes de pensiones

El problema de ahorro de los padres de Nerea es exactamente el mismo que el que enfrenta un individuo que pretende ahorrar para su retiro. Suponga que Joe tiene 20 años hoy y desea comenzar a ahorrar de modo que cuando tenga 65 pueda disponer durante 20 años de $100.000 para retirar anualmente. Adaptando la hoja previa, obtenemos lo siguiente.

En la tabla, en las filas 12-27 usted ve el poder del interés compuesto: si Joe comienza a ahorrar a la edad de 20 años para su retiro, un depósito de $2.540,23 crecerá para proveerle de sus $100.000 necesarios de jubilación durante 20 años a partir de la edad de 65 años. Por otro lado, si comienza a ahorrar a la edad de 35 años, necesitará $8.666,90 anuales.

12.¿Cuánto tiempo lleva pagar un préstamo?

Usted está interesado en pedir un préstamo de un banco al 10 % de interés. El monto máximo que usted puede pagar es $250 por año. ¿Cuánto tiempo le llevará pagar el préstamo? Hay una función de Excel que responde a esta pregunta, la cual le mostraremos enseguida. Primero, vamos a desarrollarlo en forma analítica de modo que podamos entender la pregunta. En la hoja de abajo vemos la tabla del préstamo como la vista en la sección 2.5.

Como puede observar de la fila 12, el año 6 es el primer año en el cual el retorno del capital al final del año es mayor que el capital al comienzo del año. Por lo tanto, en algún momento entre los años 5 y 6 usted habrá cancelado el préstamo.

La función NPER de Excel, como se ilustra en la celda B22, provee una respuesta exacta a la pregunta.

Cuadro de diálogo para la función NPER

Al igual que la funciones PAGO, VA y VF tratadas en algún lugar de este capítulo, la función NPER requiere que el monto se ingrese en negativo para obtener una respuesta positiva.

13.Resumen

En este capítulo se han tratado los conceptos básicos del valor del dinero en el tiempo:

Valor Futuro (VF): el monto que usted acumula en alguna fecha futura por los depósitos realizados en el presente.

Valor Actual (VA): el valor hoy de flujos de fondos anticipados en el futuro.

Valor Actual Neto (VAN): el valor hoy de una serie de pagos futuros, incluyendo el costo de adquirir dichos flujos de fondos.

Hemos hecho grandes esfuerzos para destacar la diferencia entre el concepto financiero de VAN y la función de Excel VNA. La función de Excel VNA calcula el valor presente de los flujos de fondos futuros, mientras que el concepto en finanzas de VAN computa el valor presente de los flujos de fondos menos el flujo de fondos inicial.

Tasa Interna de Retorno (TIR): la tasa de interés compuesta que paga una serie de flujos de fondos, incluyendo el costo de su adquisición.

NPER: el número de períodos para pagar una inversión.

También se han mostrado las funciones de Excel (VF, VA, VNA, TIR, y NPER) que realizan estos cálculos y analizado algunas de sus particularidades. Finalmente, le hemos indicado cómo realizar estos cálculos mediante fórmulas.

1 Los ejercicios 2 y 3 al final del capítulo ilustran ambos casos.

2 En realidad, 100 / (1,06)3 = 83,96193, pero hemos configurado Inicio l Celdas l Formato l Formato de Celdas l Número para mostrar solo dos decimales.

3 Hay más por decir sobre la selección de una tasa de descuento, pero posponemos su tratamiento hasta los capítulos 5 y 6.

4 Hay una larga historia sobre esta confusión y no comienza con Microsoft. La primera hoja de cálculo – —Visicalc— (por error) utilizó el VNA en el mismo sentido en que Excel aún lo hace hoy en día, esta confusión fue copiada desde entonces por todos los demás programas de cálculos: Quattro y Excel.

5 Al final del cumpleaños 19 de Nerea (fila 16), hay $8.668,35 en la cuenta. Al final del año siguiente, hay un saldo negativo en la cuenta.

Ejercicios de repaso y autoevaluación

1.Usted ha depositado $600 en al banco y prevé dejarlos por 10 años. Si el banco le paga un 15 % de interés por año, ¿cuánto dinero tendrá usted al final de los 10 años?

2.Su generosa abuela ha anunciado que ha abierto una cuenta bancaria para usted con un depósito de $10.000. Más aún, ella prevé efectuar nueve regalos similares más, al final de este año, el año próximo, etc. Si la cuenta bancaria paga un 8 % de interés, ¿cuánto dinero tendrá usted acumulado al final de 10 años (1 año después del último regalo)?

Sugerencia: resuelva este problema de dos maneras, como se muestra abajo: a) tome cada importe y calcule su valor futuro en el año 10 (como se ilustra en las celdas C4:C13) y luego súmelos; b) use la función VF de Excel. Tenga en cuenta que en este caso los importes se realizan al comienzo del año (usted deberá ingresar “1” en el campo Tipo como se describe en la sección 2.1).

3.Su tío ha anunciado que le dará $10.000 anualmente a usted, al final de cada uno de los próximos 4 años (él es menos generoso que su abuela...). Si la tasa de interés correspondiente es del 7 %, ¿cuál es el valor actual de dicha promesa? (Si usted va a utilizar VA para resolver este problema, tenga presente que la opción Tipo es 0 u omitida).

4.¿Cuál es el valor actual de una serie de cuatro pagos, cada uno de $1.000, al ser efectuados al final de los años 1, 2, 3 y 4? Asuma que la tasa de interés es 14 %.

Sugerencia: resuelva este problema de dos maneras, como se indica en las filas 9 y 10 de abajo.

5.Belleza y Salud Corporación (BYS) ha anunciado un título revolucionario: si usted le paga a BYS $1.000 ahora, obtendrá $150 al final de cada uno de los próximos 15 años. ¿Cuál es la TIR de dicha inversión?

Sugerencia: resuelva este problema de dos maneras: una, utilizando la función TIR de Excel y la otra, usando la función TASA (como se ilustra abajo).

6.Tecno Comunicación (TC) tiene un título especial para vender: usted le paga $1.000 a TC y la empresa le devolverá $100 al final del primer año, $200 al final del año 2,... $1.000 al final del año 10.

a.Calcule la TIR de esa inversión.

b.Diseñe una tabla de amortización para la inversión.

7.Usted está pensando en comprar un bono con un valor nominal de $1.000 emitido por las autoridades de Desarrollo Ibérico. El bono pagará $120 de interés al final de cada uno de los próximos 5 años. Al final del año 6, pagará $1.120 (esto es, $1.000 de su valor nominal más el interés). Si la tasa de interés correspondiente es 7 %, ¿cuál es el valor actual de los pagos futuros del bono?

8.Luisa Flores cumplió 55. Luisa planea jubilarse en 10 años y posee actualmente $500.000 en su fondo de pensión. Basándose en el patrón de longevidad de su familia, ella asume que vivirá durante 20 años más pasada la edad de retiro y durante cada uno de esos años ella quiere retirar $100.000 del fondo de pensión. Si la tasa de interés es

5 % anual, ¿cuándo dinero tendrá que ahorrar anualmente Luisa durante los próximos 10 años? Asuma que el primer depósito al fondo de pensión será hoy, seguido de nueve depósitos adicionales anuales; y el retiro a partir de la edad de 65 será al comienzo de cada año.

Utilice la hoja siguiente (los números no son correctos) y Buscar Objetivo para encontrar la respuesta.

9.Resuelva el problema anterior utilizando las funciones VA y PAGO y la plantilla siguiente:

10.Si usted deposita $10.000 hoy, Union Bank le ofrece pagarle $50.000 al cabo de 10 años. ¿Cuál es la tasa de interés?

11.Asuma que la tasa de interés es del 5 %, ¿cuál de los siguientes tiene mayor valor?

a.$5.000 hoy.

b.$10.000 al final de 10 años.

c.$9.000 al final de 4 años.

d.$300 por año a perpetuidad (lo que significa para siempre), con el primer pago al final de este año.

12.Usted recibe un bono de $15.000 por parte de su nuevo empleador y decide invertirlo durante 2 años. Su banco le ofrece dos alternativas, ambas requieren un compromiso durante los dos años. La primera de ellas le genera intereses por 8 % anual por año, durante ambos años. La segunda alternativa genera el 6 % para el primer año y 10 % para el segundo. El interés se capitaliza en forma anual. ¿Cuál debería usted elegir?

13.Su sueldo anual es de $100.000. Le ofrecen dos opciones como indemnización: la primera alternativa es un pago de 6 meses de sueldo ahora. La opción 2 consiste en un pago anual de $6.000 para usted o sus herederos a perpetuidad (el primer pago al final de este año). Si la tasa de retorno requerida es 11 %, ¿qué opción debería elegir usted?

14.Hoy es su cumpleaños número 40. Usted espera retirarse a la edad de 65 y las tablas actuariales sugieren que usted vivirá hasta los 100 años. Usted planea mudarse a Canarias cuando se jubile, estima que le costará $200.000 efectuar tal traslado (al cumplir los 65) y que sus gastos anuales serán $25.000 por año a partir de entonces. Usted espera obtener una tasa del 7 % sobre sus ahorros.

a.¿Cuánto dinero necesitará haber ahorrado en el momento de su jubilación?

b.Usted ya cuenta con $50.000 ahorrados. ¿Cuánto necesitará ahorrar al final de cada año, durante los próximos 25 años, para estar en condiciones de afrontar el plan de jubilación previsto?

c.Si usted no cuenta con ningún ahorro en el momento y no está en condiciones de comenzar a ahorrar durante los próximos 5 años (es decir, su primer ahorro lo efectuará al cumplir 45 años), ¿cuánto deberá ahorrar por año a partir de entonces para estar en condiciones de afrontar el plan jubilatorio?

15.Usted ha invertido $10.000 en un nuevo fondo de inversiones que le reportan $1.500 al final de los próximos 10 años. ¿Cuál es la tasa de interés compuesta ofrecida por el fondo? (Sugerencia: resuelva este problema de dos maneras: usando la función TIR de Excel y usando la función TASA).

16.John cumple 13 años hoy. Su decisión en el día del cumpleaños es comenzar a ahorrar para comprar un coche cuando tenga 18 años. El coche cuesta $15.000 hoy y espera que el precio crezca al 2 % por año.

John ha escuchado que un banco local ofrece una cuenta de ahorro que paga un interés del 5 % anual. Él planea realizar 6 depósitos de $1.000 c/u en la cuenta (el primer depósito será efectuado hoy); y utilizará los fondos de la cuenta el día de su cumpleaños de 18 como anticipo para la compra del automóvil, financiando el resto con la agencia.

Él espera que la agencia le ofrezca las siguientes condiciones de financiamiento: siete pagos iguales anuales (siendo el primero de ellos un año después de tomar posesión del coche) y una tasa de interés anual de 7 %.

a.¿Cuánto deberá financiar John con la agencia de coches?

b.¿Cuál será el valor de la cuota que deberá pagar anualmente a la agencia?

17.Mary ha completado recientemente sus estudios universitarios en la Universidad Europea de Madrid y está planeando cursar un programa MBA dentro de 4 años. El coste del curso será de $20.000 por año durante los 2 años de duración, que deben pagarse al comienzo de cada año. Además, Mary desea jubilarse dentro de 15 años a partir de ahora y recibir una pensión de $60.000 anuales durante 20 años; siendo el primer pago dentro de 15 años a partir de ahora. Mary puede prestar y tomar prestado todo lo que quiera a la tasa del 7 %, compuesta anual. Para financiar sus gastos, Mary ahorrará dinero al final de los años 0-3 y al final de los años 6-14.

Calcule la cantidad constante de pesos que Mary debe tener al final de cada uno de esos años para cubrir todos sus gastos (cuota del MBA y jubilación). (Ayuda: puede ser útil utilizar Buscar Objetivo).

Nota: Solo para eliminar dudas, aquí le mostramos los flujos de fondos:

18.Usted es el gerente financiero de Termination Inc. Su empresa tiene 40 empleados y cada uno gana $40.000 por año. Los salarios crecen a una tasa del 4 % anual. Comenzando a partir del año próximo y cada dos años desde entonces, 8 empleados se retiran y no se contrata ninguno nuevo. La empresa tiene vigente un programa de jubilaciones, bajo el cual los empleados que se jubilan perciben una suma anual igual a su salario anual en el momento de la jubilación. La expectativa de vida es de 20 años tras la jubilación y la pensión anual se paga a fin de año. La tasa de rendimiento sobre las inversiones es del 10 %. ¿Cuál es el valor total de su deuda por jubilaciones?

19.Usted tiene 30 años de edad y está considerando cursar un MBA. Acaba de cobrar su sueldo anual de $50.000 y espera que este crezca al 3 % anual. Los graduados de MBA generalmente ganan $60.000 tras su graduación, con salarios creciendo a la tasa del 4 % anual.

El programa MBA que usted está considerando es de jornada completa, de 2 años de duración y cuesta $20.000 anuales, los cuales se pagan al final de cada año lectivo. Usted quiere jubilarse a los 65 años de edad. La tasa de interés aplicable es 8 %[1]. ¿Es conveniente para usted dejar su trabajo y cursar el MBA (ignore impuesto a las ganancias)? ¿Cuál es la tasa interna de retorno del BMA?

20.Usted tiene 55 años de edad y quiere comenzar a ahorrar para su jubilación. Estos son los parámetros:

Usted pretende realizar un depósito hoy y al comienzo de cada mes, durante los próximos 19 años (es decir, en su cumpleaños de 55, 56... 64).

A partir de los 65 y hasta los 84, usted quiere retirar $50.000 al año (no tiene planes a partir de entonces).

La tasa de interés es 12 %.

a.¿Cuánto dinero debería depositar usted en cada uno de los años iniciales para financiar por completo las extracciones?

b.Si usted comienza a ahorrar a la edad de 45, ¿cuál es su respuesta?

c.(Más difícil). Configure una fórmula para el monto de los depósitos de modo que pueda resolverlo para varias edades de comienzo. Realice un análisis de sensibilidad que muestre la cantidad de dinero que usted precisa ahorrar, como función de la edad a la que comienza a ahorrar.

21.Los padres de Nerea deciden comenzar a ahorrar para sus estudios universitarios, al cumplir ella 10 años. Depositarán $4.000 ese mismo día y así hasta su cumpleaños de 17 años.

A usted se le pide que programe la siguiente hoja: asuma que el banco le paga a los padres de Nerea el 8 % sobre los saldos positivos en la cuenta, pero le cobra un 10 % sobre saldos negativos. Si los padres de Nerea necesitan retirar $20.000 al año desde su cumpleaños de 18 hasta el de 21, ¿cuánto dinero adeudarán al banco al comenzar el año 22? (el año posterior a que Nerea termine la universidad).

Nota de Excel: para configurar esta hoja necesitará utilizar la función SI de Excel (si no está familiarizado con esta función, vea el capítulo correspondiente).

22.Una inversión de $10.000 está previsto que pague $250 al final de cada año a perpetuidad. ¿Cuál es la TIR de la inversión? (No hay ninguna función de Excel que responda esta pregunta – ¡use la lógica!).

23.En la hoja de abajo calculamos el VF de 5 depósitos de $100, siendo el primero de ellos efectuado en el momento 0. Como se indica en la primera sección de este capítulo, este cálculo también puede llevarse a cabo utilizando la función = VF (Tasa, períodos, -pago, 1).

a.Demuestre que también puede calcularlo haciendo = VF (Tasa, períodos, -pago) * (1 + interés)

b.¿Puede explicar por qué = VF (r, 5, -100, 1) = VF (r, 5, -100) * (1 + r)?

24.Abner y Maude tienen más de 80 años. Están pensando en vender sus casas por $500.000 y mudarse a un complejo de apartamentos para la tercera edad. El apartamento les costará $50.000 al año y se pagan por adelantado.

a.Si pueden ganar el 6 % anual por el dinero producido de la venta de su casa y viven durante 10 años más, ¿cuánto dinero podrán dejarle a sus nietos como herencia?

b.¿Cuánto es lo máximo que pueden vivir con el dinero producido de la venta de su casa antes de quedarse sin dinero?

25.¿Cuál sería su respuesta a la pregunta anterior si la tasa de interés es 7 % y 5 %?

26.Michael está reconsiderando sus hábitos de consumo, tratando de ver la manera de ahorrar dinero. Se da cuenta de que puede ahorrar $2 al día consumiendo café normal en lugar de uno especial en el bar. Dado que adquiere una taza de café cada día laborable, ello representa $10 a la semana, y $520 al año.

a.Si Michael tiene 25 años de edad ahora y prevé jubilarse a los 65, ¿cuánto dinero habrá acumulado por el ahorro en el café? Asuma que la tasa de interés anual es 4 % y que el ahorro de $520 ocurre al final de cada año.

b.Michael se ha asombrado por la respuesta a la parte (a) de este ejercicio. Se ha dado cuenta de que tiene hábitos impropios y ha elaborado una lista de posibles ahorros para ver cuánto más rico podría ser a la edad de 65. ¿Cuáles son las recompensas a la austeridad de Michael?

1 Lo que significa que el MBA es una inversión, tal como cualquier otra. Dado que en otras inversiones usted puede ganar un 8 % por año; el MBA debe ser comparado contra dicho estándar.

Capítulo 3¿Cuánto cuesta? TIR y el valor del dinero en el tiempo
1.Concepto general

En el capítulo 2 hemos introducido las herramientas básicas de análisis financiero —valor presente (VA), valor actual neto (VAN) y tasa interna de retorno (TIR) —. En los capítulos 3-7 utilizaremos estas herramientas para contestar preguntas básicas:

¿Cuál es su valor? Presentado con un activo —que puede ser una acción, un bono, una inversión inmobiliaria, un ordenador, o un coche usado— querríamos saber cómo valuar este activo.

Las herramientas financieras utilizadas para responder esta pregunta están mayormente relacionadas con el concepto de valor actual (VA) y valor actual neto (VAN). El principio básico es que el valor de un activo es el valor actual de sus flujos futuros de fondos. Comparando este valor actual con el precio del activo se comprueba si deberíamos comprarlo. En el capítulo 2 se han tratado los conceptos de VA y VAN y regresaremos a ellos y sus aplicaciones en el capítulo 4.

¿Cuánto cuesta? Suena como una pregunta inocente. Después de todo, usted conoce generalmente el precio de una acción, bono, bien inmueble, o coche usado que está tratando de valuar, pero muchas alternativas de financiamiento interesantes dependen del costo del interés relativo de cada alternativa. Por ejemplo, ¿debería pagar en efectivo un vehículo o pedir prestado para pagarlo (y de ese modo realizar una serie de pagos a través del tiempo)? ¿Debería usted contratar un leasing por el ordenador que quiere adquirir o comprarlo directamente? ¿O quizás pedir dinero al banco para comprarlo? Son claramente cuestiones de costo —usted querrá elegir la alternativa que le cueste menos—.

Las herramientas utilizadas para la segunda pregunta — ¿cuánto cuesta?— se derivan en general del concepto de tasa interna de retorno (TIR). Este concepto, introducido en el capítulo 2, mide la tasa de interés compuesta de una serie de flujos de fondos. En este capítulo le mostraremos que la tasa de retorno, cuando es adecuadamente utilizada, puede usarse para medir el costo de las alternativas de financiamiento. El principal concepto presentado en este capítulo es la tasa de interés efectiva anual (TEA), un concepto basado en la TIR anualizada que usted puede usar para comparar alternativas de financiamiento.

Conceptos financieros tratados

Tasa de Interés efectiva anual (TEA).

Tasa interna de retorno (TIR).

Tasa de rendimiento anual (TRA).

Tablas de préstamos.

Temas de hipotecas.

Comprar o contratar leasing.

Funciones de excel utilizadas

TIR.

PAGO, PAGOINT, PAGOPRIN.

Tasa.

VNA.

VA.

Exp.

Ln.

SUMA.

Buscar Objetivo.

2.No crea en las tasas de interés publicadas – Tres ejemplos

Para sentar las bases e ir aumentando la complejidad de los ejemplos expuestos a lo largo del capítulo comenzaremos con tres ejemplos simples. Cada ejemplo muestra por qué las tasas de interés publicadas no son necesariamente representativas del costo.

Los tres ejemplos de esta sección serán de utilidad para introducir el concepto de TEA.

La tasa de interés efectiva anual (TAE) es la tasa interna de retorno anualizada (TIR) de los flujos de fondos de cualquier convenio de crédito o título.

2.1.Ejemplo 1: pedir prestado al banco

En finanzas, el “costo” generalmente hace referencia a una tasa de interés: “estoy pidiendo un préstamo del banco West Hampton por su baja tasa — ¡West Hampton cobra 8 % en lugar del 9 % del banco East Hampton! —. Esto es algo que todos entendemos: el 8 % de interés conlleva menores pagos que el 9 % de interés.

Pero ahora considere las siguientes alternativas. Usted desea pedir $100 por 1 año y ha investigado tanto en los bancos West Hampton como East Hampton:

Banco West Hampton presta al 8 % de interés. Si usted pide $100 hoy, deberá devolver $108 en 1 año.

Banco East Hampton desea prestarle cualquier cantidad que usted desee al 6 %, pero tiene un “costo de otorgamiento” del 4 %, lo que significa que por cada $100 que usted pide, recibirá solo $96, aunque deberá pagar interés sobre los $100[1].

Obviamente, el costo del préstamo del banco West Hampton es 8 %. Pero, ¿es más barato o más caro que el del banco East Hampton? Usted razona del siguiente modo: para recibir hoy $100 en mano del banco East Hampton, deberá pedir $104,17; después de que ellos deduzcan su costo del 4 %, le dejarán $100 en mano, que es exactamente lo que usted precisa (96 % *104,17 = 100). Al final del año, usted le adeudará al banco East Hampton $104,17 + 6 % de interés = $110,42. Por lo que la tasa real de interés que le estarán cobrando (la tasa de interés efectiva anual):

Esto hace las cosas más fáciles; el préstamo al 8 % del banco West Hampton (TEA = (%) es realmente más barato que el préstamo del banco East Hampton (TEA = 10,42 %).

Observe en este ejemplo que la TEA es solo una TIR ajustada por el costo de otorgamiento de créditos del banco East Hampton. La TEA es siempre una tasa de interés, pero generalmente con algún tipo de ajuste.

La lección del ejemplo 1: cuando calcule el costo de las alternativas de financiamiento, usted debe incluir las comisiones, aun cuando el prestador (en nuestro caso el banco West Hampton) eluda el tema.

2.2.Ejemplo 2: interés mensual versus interés anual

Usted desea adquirir un ordenador por $1.000. Usted no dispone de dinero, por lo que deberá financiarlo pidiendo un préstamo de $1.000. Dispone de dos alternativas de financiamiento:

Su banco le prestará dinero al 15 % anual de interés. Cuando usted le consulta al banco qué significa eso, ellos le contestan que le darán $1.000 hoy y le cobrarán $1.150 al cabo de 1 año.

La compañía financiera Shark Loan también le prestaría $1.000. Su aviso publicitario dice “14,4 % de interés anual (TNA) sobre una base mensual”. Cuando usted le pregunta qué significa eso, resulta que Shark Loan carga 1,2 % mensualmente. Ellos le explican que...

Ello significa que cada mes Shark Loan suma 1,2 % al saldo pendiente del crédito al final del mes anterior:

Al final del año, usted le adeudará a Shark Loan $1.153,89.

Dado que esta cantidad es mayor que los $1.150 que usted le debería al banco, sería preferible el préstamo bancario.

La tasa de interés efectiva anual (TEA) de cada préstamo es la tasa de interés anualizada que se cobra sobre el crédito. El banco le cobra un 15 % anualmente y el préstamo de Shark Loan le cuesta

15,39 % por año:

Las celdas C9 y C10 muestran otra forma de calcular el 15,39 % de TAE cobrada por Shark Loan. Celda C9 computa la tasa mensual cobrada por Shark Loan de 1,2 % y la celda C10 anualiza esta tasa:

Entonces, hay dos modos de calcular la TEA:

TEA = 15,39% =		Celda C6
		Celda C10

La lección del ejemplo 2: la tasa nominal anual (TNA) no siempre refleja correctamente el costo del endeudamiento. Para computar el verdadero costo, calcule la tasa de interés efectiva anual (TEA).

2.3.Ejemplo 3: un préstamo “sin interés”

Usted está adquiriendo un coche usado cuyo precio es de $2.000. Tiene dos opciones de financiamiento:

La agencia de coches le explica que si usted paga al contado obtiene un 15 % de descuento. En tal caso pagará $1.700 por el coche hoy. Dado que ahora usted no dispone de ningún dinero, tiene la intención de pedir los $1.700 a su tío Frank, que le cobra un 10 % de interés.

Por otro lado, la agencia de coches le ofrece “financiamiento 0 %”: usted no paga nada hoy y puede pagarle a la agencia el valor completo del coche a fin de año.

Entonces, usted tiene dos alternativas: el financiamiento 0 % de la agencia y la tasa de interés de 10 % de su tío Frank. ¿Cuál es más barata?

Un poco de razonamiento demostrará que la agencia le está cobrando una tasa de interés efectiva anual (TEA) de 17,65%: su “financiamiento 0%” esencialmente implica un crédito de $1.700 con un pago a fin de año de $2.000:

La TEA del tío Frank es 10 %: él le prestará $1.700 y usted deberá devolverle solo $1.870. Por lo tanto, la mejor opción para usted es pedírselo prestado a él.

La lección del ejemplo 3: ¡los créditos gratuitos no lo son normalmente! Para calcular el costo de un crédito “gratis”, calcule la TEA de los flujos de fondos diferenciales.

3.Calcular el costo de un préstamo hipotecario

Ahora que se han sentado las bases, procederemos con una serie de ejemplos más complejos. Comenzamos con un préstamo hipotecario. Una vivienda es generalmente el activo más valioso que tiene un individuo. Financiar una vivienda con un crédito hipotecario es algo que casi todos los lectores de este libro realizarán a lo largo de su vida. Calcular el costo de un crédito hipotecario es, por consiguiente, un ejercicio muy útil. En este capítulo, el crédito hipotecario será uno de los ejemplos que usaremos para ilustrar los problemas que se encuentran al calcular el costo de los activos financieros.

3.1.Un préstamo hipotecario simple

Comenzamos con un ejemplo simple. Su banco le aprobó un préstamo hipotecario de $100.000, a ser pagado durante 10 años al 8 % de interés. Por simplicidad, asumimos que los pagos del préstamo son anuales[2]. El banco calcula el pago anual en $14.902,95, utilizando la función PAGO de Excel.

La función PAGO calcula la anualidad (un pago periódico constante) que cancela el préstamo:

Cuadro de diálogo para la función pago

El cuadro de diálogo para la función PAGO: Tasa es la tasa de interés del préstamo, Nper es el número de períodos que se pagan y Va es el capital del préstamo. Como se vio en el capítulo 2, si el capital del préstamo se escribe como un número positivo, Excel presenta el pago como un número negativo; para evitarlo, escribimos Va como un número negativo.

Podemos sintetizar todo ello en una plantilla de Excel:

La TEA de este préstamo hipotecario particular es simplemente la tasa interna de retorno de sus pagos. Dado que los pagos del crédito son anuales, la TIR de la celda B20 está ya en términos anuales.

3.2.El banco cobra “puntos de hipoteca”

Al igual que en el ejemplo anterior, usted pidió un préstamo hipotecario de $100.000 en el banco. Ellos se lo autorizaron y le explicaron que debería pagar $14.902,95 por año durante los próximos 10 años. Sin embargo, cuando usted llega al banco se da cuenta de que este le ha deducido “1,5 puntos” de su préstamo, lo que significa que solo recibe $98.500 ($100.000 menos 1,5 %). Su pago, sin embargo, continúa estando basado en el capital de $100.000. Usted se da cuenta inmediatamente de que este préstamo hipotecario es más caro que el tratado en la subsección anterior. La pregunta es: ¿cuánto más caro es? Calculando la TEA sobre el préstamo hipotecario podemos contestar esta pregunta. El cálculo de abajo muestra que realmente está pagando 8,34 % de interés anualmente.

Observe que la TEA de 8,34 % es la TIR de la corriente de pagos, consistente en el capital real actual ($98.500) versus los pagos reales que está efectuando ($14.902,95). A continuación, el cálculo:

Al final de cada año, usted debe informar a Hacienda del monto de intereses pagados sobre el préstamo hipotecario. Dado que este interés es un gasto a efectos impositivos, es importante calcularlo correctamente. Para calcular el interés, precisamos una tabla del préstamo que distribuya cada pago anual entre interés y repago del capital (vea la sección 2.5). Esta tabla es a veces denominada “tabla de amortización” (“amortizar” significa pagar con una serie de pagos periódicos).

La columna D de la tabla indica el gasto por intereses a propósitos impositivos. Si usted reporta los gastos impositivos en su declaración de impuestos, esta es la cantidad que estará autorizado a informar.

Observe que la porción de intereses del pago anual de $14.902,95 se hace cada vez menor a través de los años, mientras que la porción de repago del capital (que no es un gasto deducible a efectos impositivos) se hace cada vez mayor.

3.3.Calculando los pagos individuales con PAGOINT y PAGOPRIN

La tabla de arriba ofrece la idea intuitiva que hay detrás de una tabla de préstamos y la asignación entre interés y capital de cada pago. El interés y repago del capital se pueden computar directamente usando las funciones de Excel PAGOINT y PAGOPRIN. Esto se ilustra abajo[3].

A continuación, el cuadro de diálogo para PAGOINT de la celda D11 (la sintaxis para PAGOPRIN) es similar. Observe que Período indica el período específico para el cual el interés es calculado:

4.Préstamos hipotecarios con pagos mensuales

Continuamos con los ejemplos de préstamos hipotecarios de la sección 2.3. Esta vez presentamos el concepto de pagos mensuales. Suponga que usted obtiene un préstamo hipotecario de $100.000 con un 8 % de interés, a pagar mensualmente, y suponga que usted debe cancelar el préstamo en 1 año (12 meses)[4]. Muchos bancos interpretan la combinación de 8 % de interés anual y “a pagar mensualmente” como que el interés mensual sobre el préstamo es:

A esto se le llama normalmente “interés compuesto mensual”, a pesar de que el uso de este término no es uniforme. Para calcular el pago mensual del préstamo hipotecario utilizamos la función PAGO de Excel:

La TIR del préstamo hipotecario del ejemplo se calculó usando la función TIR de Excel (celda B21). En nuestro caso, la función TIR dará una tasa de interés mensual de 0,667 %. Ya lo sabíamos porque:

5.Préstamo hipotecario: un ejemplo más complejo

Como vimos en la sección 3.1., muchos préstamos hipotecarios tienen “gastos de otorgamiento” o “puntos de descuento” (esto último en general es conocido directamente como “puntos”). Todos estos gastos y comisiones reducen el monto inicial que le da a usted el banco, sin reducir el monto sobre el cual el banco computa su cuota (sueña engañoso, ¿o no?).

Como ejemplo, considere el préstamo a 12 meses de arriba con un 8 % de interés anual, a pagar mensualmente, pero con un gasto de otorgamiento de 0,5 % y 1 punto. Ello significa que realmente usted obtiene $98.500 ($100.000 menos $500 por los gastos de otorgamiento y $1.000 por los puntos), pero su cuota mensual sigue siendo $8.698,84:

La TIR mensual (celda B23) es la tasa de interés que hace el valor actual de los pagos mensuales iguales a los $98.500 recibidos:

TEA = 11,41 % = (1 + 0,9044 %) 12-1 es el costo anualizado de los pagos del préstamo hipotecario.

Como puede ver en la celda B26, la función TASA de Excel también calcula la TIR mensual que hemos obtenido en la celda B23.

Nota de excel: calculando la tir mensual con la función tasa

La función TASA calcula la TIR de una serie de pagos constantes (en la jerga financiera es “fijos”), de modo que el valor actual sea igual al VA indicado. Observe que en la función TASA los signos de los pagos (indicados en Pago) y el Va de esos pagos deben ser diferentes. Esta es una característica que TASA comparte con funciones de Excel como PAGO y VA, tratadas en el capítulo 2.

5.1.Préstamos hipotecarios de plazos más largos

Suponga que el préstamo hipotecario del ejemplo anterior tiene un plazo de 30 años (es decir: 360 = 30 * 12 cuotas). Cada cuota sería de $733,76 y la TEA sería de 8,4721 %:

Hemos utilizado PAGO para calcular la cuota y TASA, para calcular la tasa de interés mensual. La TEA se calculó de la manera tradicional, es decir, capitalizando los pagos mensuales.

Observe que el efecto de los gastos iniciales sobre la TEA del préstamo hipotecario decrece a medida que el plazo aumenta:

Para el préstamo a 1 año tratado previamente, el 1,5 % de gasto inicial incrementaba la TEA del préstamo de 8 % a 11,41 %.

Para el préstamo a 30 años, el mismo gasto inicial incrementa la TEA de 8 % a 8,4721 %.

La razón por la que los gastos tienen un menor efecto para el segundo préstamo es que ellos se distribuyen sobre un plazo mucho más largo.

6.¿Adquirir o contratar un leasing?

Esta sección utiliza los conceptos de valor actual y tasa interna de retorno para explorar la ventaja relativa del contrato de leasing versus la adquisición de un activo. Como usted observará, la elección entre contratar un leasing y comprar, básicamente se reduce a seleccionar la alternativa más económica de los dos métodos de financiamiento.

Resulta conveniente repasar la terminología: un contrato de leasing es un contrato de alquiler (o renta); en nuestro ejemplo serán generalmente para equipamiento (trataremos un leasing de ordenadores y uno de coches), pero el análisis para bienes inmuebles es virtualmente el mismo. La parte que recibe el activo y lo utiliza se denomina “tomador” o “adquirente” y el dueño del activo es el “dador” o “proveedor”.

6.1.Un ejemplo simple de leasing

Usted necesita un ordenador nuevo, pero no puede decidir si comprarlo o “alquilarlo”. El ordenador cuesta $4.000. El dador es una compañía de leasing de ordenadores vecina que le ofrece un contrato de leasing por $1.500 anuales. Las condiciones que pone el proveedor son que usted realice cuatro pagos de $1.500: el primer pago al comenzar el contrato (momento 0) y los pagos siguientes al final de los años 1, 2 y 3. En base a la experiencia anterior, usted sabe que mantendrá su nuevo ordenador por aproximadamente 3 años. Un dato adicional: usted puede pedir un préstamo de su banco al 15 %.

Esta es una hoja con los flujos de fondos para el leasing y para la compra:

Para decidir si es preferible “alquilar”, descontamos los flujos de fondos de ambas alternativas a la tasa bancaria del 15 %. Escribimos los desembolsos como números positivos, de modo que el VA en fila 12 es el valor actual de los costos. Como puede ver en la celda B12, el VA de los costos del leasing es: $4.924,84, que es una cantidad mayor que los $4.000 que cuesta adquirir el ordenador. Por ello, usted prefiere la compra, que es menos costosa.

Hay otra manera de hacer el mismo cálculo. Calculamos la TIR de los flujos de fondos diferenciales, substrayendo los flujos de fondos correspondientes al leasing de los flujos de fondos de la adquisición en cada uno de los años:

El leasing del ordenador es equivalente a pagar $1.500 por el ordenador en el año 0 y tomar un préstamo por $2.500 de la compañía de leasing. El “préstamo” se abona en 3 cuotas iguales de $1.500 con una TIR de 36,31 %. Dado que usted puede pedir dinero al banco al 15 %, usted preferirá comprar el ordenador con dinero prestado por el banco (al 15 %) en lugar de “pedir prestado” $2.500 a la compañía de leasing, que le cobra el 36,31 %.

En la hoja de abajo, usted puede ver otra manera de tratar el mismo punto. Si pide prestado $2.500 al banco al 15 %, debería pagarle $1.094,94 al año durante los próximos 3 años (asumiendo que el banco fije un esquema de cuotas constantes). Esto es sustancialmente menor que los $1.500 que el dador del leasing le pide por el mismo préstamo.

6.2.¿Qué hemos asumido respecto del leasing versus adquisición?

El ejemplo de leasing que hemos tratado anteriormente ilustra el espíritu del análisis comprar/alquilar. El ejemplo contiene algunas cuestiones que vale la pena destacar:

No hay impuestos: cuando las empresas contratan un leasing de equipamiento, los pagos del leasing son un gasto a efectos impositivos; cuando estas empresas adquieren activos, la amortización de los activos es un gasto a efectos impositivos. Ello añade cierta complicación al análisis; el caso del leasing con impuestos será tratado en el capítulo 5.

Equivalencia operativa entre compra y leasing: en nuestro análisis no hemos preguntado si usted necesita el ordenador; hemos asumido que ha respondido a esta pregunta afirmativamente, de modo que solo el método de adquisición es la incógnita. Nuestro análisis también asume que cualquier mantenimiento o reparación que se precise efectuar sobre el ordenador será sufragado por usted, ya compre o “alquile” el ordenador.

No hay valor residual: hemos asumido que el activo (en este caso, el ordenador) no tiene ningún valor al finalizar el término del contrato de leasing.

Exploraremos el último punto brevemente. Suponga que usted cree que el ordenador tendrá un valor de $800 al finalizar los 3 años. Entonces —como se muestra abajo—el flujo de fondos de la adquisición cambia, de modo que ser dueño del ordenador le da un flujo de fondos positivo de $800 en el año 3[5]. El costo de comprar un ordenador se reduce (el valor actual es 3.304) y la alternativa de leasing se torna aún menos atractiva que la adquisición. Otra perspectiva es ofrecida al mirar la TIR de los flujos de fondos diferenciales, que es ahora 45,07 % (celda B23)[6].

7.Ejemplo de leasing automóvil

Aquí presentamos un ejemplo más realista (y complicado) sobre leasing: usted ha decidido tener un coche nuevo. Puede tanto comprarlo como “alquilarlo” (contratar un leasing). Si decide comprarlo, puede financiarlo con un préstamo bancario al 3 %. Los datos relevantes se presentan en la hoja que sigue, pero se resumen aquí:

El precio al público sugerido del fabricante (PPSF) para el coche es $24.550, pero usted ha podido negociar un precio de $22.490 con el agente[7]. En la jerga del negocio de leasing automóvil, los $22.490 se conocen como “precio base”. A este precio deben sumársele los “gastos de envío” de $415, de modo que usted termina pagando $22.905 si adquiere el coche. Este costo representa el costo alternativo si decide comprar en lugar de “alquilar”.

El agente le ha ofrecido las siguientes condiciones para el leasing:

Usted paga $1.315 al comenzar el leasing. El agente le explica que ello cubre el total de los $415 de “gastos de envío”, más $450 de “comisiones de adquisición”, y $450 de depósito de garantía. El depósito de garantía le será reintegrado al final del leasing.

Usted pagará $373,43 por mes durante los próximos 24 meses. En el mes 24 usted recibe su depósito de garantía de $450 nuevamente.

Usted garantiza que el coche tendrá un valor residual de $13.994 al final del contrato. El agente estimó este valor en el 57 % del PPSF. Esto significa es que si el coche vale menos de $13.994 al final de los 24 meses, el adquirente (usted) compensa la diferencia[8]. El pago final del leasing asociado a este valor residual puede escribirse como:

Pago final del leasing	13.994 – valor de mercado	Si el valor de mercado < 13.994
	0	De otro modo

Otra forma de escribir este pago es: Max (13.994 – valor de mercado, 0). La notación Max (A,B) significa que usted paga el mayor de A o B. Y, convenientemente, Max es también una función de Excel.

El valor residual resulta un factor importante en la comparación del leasing versus adquisición. Más adelante, dedicaremos más tiempo a ello. Por el momento, asumamos que usted considera que el coche valdrá $15.000 al final de los 2 años, por lo que su último pago del leasing es cero:

Pago final por valor residual del leasing = Max (13.994 – valor de mercado, 0) = Max (13.994 – 15.000, 0) = Max (-1.006 , 0) = 0

Todos los costos se listan en la columna C de la siguiente hoja. Para evaluar estos costos mire la columna D, que muestra los costos asociados con la compra del coche. Hay solo dos: el precio de compra inicial del coche ($22.490 + gastos de envío de $415 = $22.905) y lo que usted anticipa que será el valor de mercado del automóvil al finalizar el contrato de leasing (en el ejemplo de abajo, usted considera que el coche realmente valdrá $15.000). Dado que hemos usado la convención de hacer que los costos sean números positivos, los flujos de fondos positivos de la venta del coche serán números negativos.

Este último número tiene una explicación: si usted “alquila” su pago final es:

Pago final del leasing = renta del último mes – reintegro del depósito de garantía + Pago final por valor residual. = 373,43 – 450 + Max (13.994 – valor de mercado, 0)

Si su estimación es acertada y el valor de mercado real es de $15.000, entonces su ultimo “pago” es -$76,57 (significa que usted recibirá $76,57 de reintegro de la compañía de leasing).

La columna E de la hoja resta los flujos de fondos del “alquiler” de la compra. Inicialmente, el leasing le hace ahorrar $21.590; en los meses 1-23 el leasing le cuesta $373,43 más que la compra y al final del mes 24 el leasing le cuesta $14.923,43 más que la compra.

La TIR mensual de los flujos de fondos diferenciales es 0,44 %, lo que da una TEA de 14,36 % (celdas E44 y E45).

¿Debería usted comprar o “alquilar”? Depende de su costo alternativo de financiamiento. Si puede financiar con un banco por menos del 5,39 %, entonces debería comprar el coche; de lo contrario, el leasing es una operación apropiada. En nuestro caso, usted puede financiar mediante banco al 3 % (celda E48), por lo que usted debería comprar el coche con un préstamo bancario en lugar de contratar un leasing.

7.1.El rol del valor residual

El valor residual del coche es muy importante en la determinación del costo del leasing. Para ilustrarlo utilizamos la herramienta Datos l Herramientas de Datos l Análisis Y Si l Tabla de datos de Excel (vea capítulo 20) para desarrollar una tabla de análisis de sensibilidad que muestre la TEA y la decisión de comprar/alquilar como función del valor residual estimado del coche:

Como muestra la tabla de datos, el leasing es preferible si usted piensa que el valor real del coche al final del término del leasing será bajo en relación al valor residual de $13.994. El leasing está basado en la “reventa” del coche al agente en $13.994; si usted piensa que el coche valdrá mucho más, entonces le estará vendiendo al agente con pérdida y le resultará más beneficioso comprar el coche y venderlo por su cuenta[9]. El valor de mercado de equilibrio —el valor de mercado estimado para el cual le es indiferente “alquilar” el coche o financiarlo con el banco al 3 %— se encuentra en algún punto entre $14.000 y $14.500; en ese punto la TAE del leasing es 3 %; que es igual al costo de financiamiento alternativo[10].

7.2.Financiar la compra del coche con préstamo bancario: ¿más barato o más caro?

En nuestro análisis precedente hemos concluido que el costo anual del leasing a 2 años (celda E45) tiene una TEA de 5,39 %. Por lo tanto, es razonable que si usted puede obtener un préstamo más barato del banco, debería pedir el préstamo y utilizar el dinero para adquirir el coche. Sin embargo, suponga que el banco le ofrece un préstamo al 3 % (con capitalización mensual, de modo que la tasa de interés mensual es 3 % / 12 = 0,25 %) y suponga que tenemos la misma cantidad para financiar (es decir, el coche cuesta $22.905 menos el pago inicial de $1.315). La hoja de abajo muestra que los pagos mensuales de este préstamo bancario son mucho mayores que los del leasing:

Ahora, esto entraña cierta confusión: pedir prestado al banco al 3 % para comprar el coche implica un pago mensual mayor ($927,96) que el pago mensual del leasing ($373,43). Recién en nuestro análisis del leasing en la página anterior concluimos que una tasa bancaria de 3 % es preferible antes que la TEA de 5,39 % del leasing. Para resolver esta aparente contradicción, hay que recordar que las diferencias entre ambos—el préstamo y el leasing— es el valor residual incorporado en el contrato de leasing: este valor residual esencialmente es una garantía que usted, el adquirente, extiende al proveedor y que reduce sus pagos mensuales en el leasing e incrementa su participación en el valor residual del coche. Comparado con el préstamo bancario, el leasing le genera menores pagos en compensación por asumir el riesgo de garantizar el valor residual del coche. No hay un almuerzo gratis.

Para comprobar que el préstamo es realmente más barato, asuma que pide un préstamo aparte del banco para financiar los $15.000 de valor residual del coche en 2 años:

Podemos ahora dividir el precio de compra de $22.905 en 2 partes:

El costo total de $8.777,47 es el costo de utilizar el coche los próximos 2 años. De esta suma, usted debe pagar una suma inmediata de $1.315, lo que deja $7.462,47 para financiar. Si se financia esta suma con un leasing el costo será de $373,43 al mes, mientras que financiando con el préstamo bancario costará $320,75 al mes:

El préstamo bancario es más barato. Resumimos nuestra lógica en la Figura 3.1.

Reflexión sobre el leasing o préstamo bancario para coches

Explicación: el costo del coche es $22.905. Usted estima el valor residual del coche en $15.000 en 2 años, que tiene un valor actual de $14.127,53. El costo de usar el coche 2 años es, por lo tanto, $8.777,47. Si usted “alquila” el automóvil tendrá que hacer un pago inicial de $1.315.

Asuma que usted financia el costo remanente de $7.462,47 con un préstamo bancario. Este préstamo le costará a usted $320,75 al mes, comparado con los $373,43 al mes para el leasing. Es entonces más barato financiar con préstamo del banco.

8.Capitalización más de una vez al año y la TEA

Suponga que a usted le cobran intereses sobre una base mensual pero quiere calcular el costo anual de los intereses. A continuación, el ejemplo: el Banco XYZ dice que carga intereses con una tasa nominal anual (TNA) de 18 % por los saldos de su tarjeta de crédito, con “intereses calculados mensualmente”. Suponga que lo que el banco le dice es que le carga 1,5 % mensual por los saldos pendientes al comienzo del mes. Para determinar lo que ello significa en la práctica, debería consultarse a sí mismo “si tengo un saldo pendiente de $100 durante 12 meses, ¿cuánto adeudaré al final del período de 12 meses? Si lo planteamos en Excel, obtenemos lo siguiente:

Al finalizar los 12 meses usted debería $119,56 - los $100 de saldo inicial más $19,56 de interés. Las celdas B19 y B20 muestran 2 maneras de calcular la tasa de interés efectiva anual:

En la celda B19, tomamos el saldo final que resulta de los $100 de saldo inicial en la tarjeta de crédito y dividimos por el saldo inicial para calcular el interés:

En la celda B20 tomamos la tasa de interés mensual y la capitalizamos:

TEA = (1 + tasa de interés mensual)12-1

TEA = (1,015)12-1 = 19,56 %

8.1.TNA y TEA

Por ley del Congreso (“The Federal Truth in Lending Act” – “Ley de Prestamos”) quienes efectúan préstamos están obligados a especificar la tasa nominal anual (TNA) cargada en los préstamos. Desafortunadamente, la Ley de Préstamos no indica cómo debe computarse la TNA y el uso el término por parte de quienes otorgan préstamos no es uniforme. A pesar de que “TNA” es la denominación legal designada para ayudar al usuario a entender el verdadero costo del endeudamiento, algunas veces la TNA es la tasa de interés efectiva anual (TEA), pero en otros casos —como en el ejemplo de la tarjeta de crédito de esta sección— la TNA es algo diferente. El resultado es muy confuso.

8.2.La TEA y la cantidad de períodos de capitalización por año (n)

En el ejemplo precedente, la compañía de tarjeta de crédito toma su interés “anual” de 18 % y lo transforma en 1,5 % de interés mensual. Como vimos, la TEA resultante es 19,56 %.

En la figura 3.2. calculamos el efecto del número de períodos de capitalización sobre la TEA.

La TEA crece con el número de períodos de capitalización. La TEA es:

Cuando lo hacemos en Excel, vemos que la TEA crece a medida que el número de períodos de capitalización se incrementa. Para una cantidad muy grande de períodos de capitalización, la TEA se aproxima al límite de 19,722 % (celda C20 abajo en la siguiente hoja).

Hay dos cuestiones importantes que deben subrayarse sobre el cómputo de la TEA:

Mientras el número de períodos de capitalización por año (n) crece, la TEA se incrementa en:

La tasa a la cual la TEA crece se torna menor a medida que el número de períodos de capitalización aumenta. Hay muy poca diferencia entre la TEA cuando el interés se capitaliza 36 veces por año (TEA = 19,668 %) y la TEA cuando capitalizamos 365 veces por año (TEA = 19,716 %).

LA TASA DE INTERÉS EFECTIVA ANUAL (TEA) Y EL NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓNLa tasa de interés anual es 18 %
Número de períodos de capitalización por año	Fórmula de TEA	TEA (%)
1	(1+18 %) – 1	18
2 (capitalización semestral)		18,81
4 (capitalización trimestral)		19,252
12 (capitalización mensual)		19,562
24 (capitalización quincenal)		19,641
52 (capitalización semanal)		19,685
365 (capitalización diaria)		19,716
Figura 3.2. La TEA cuando la tasa de interés anual de 18 % se capitaliza varias veces por año.

9.Capitalización y descuento continuos (contenido avanzado)

En la celda C20 hemos computado el límite de la TEA cuando el número de períodos de capitalización se torna muy elevado. Este límite se llama capitalización continua. Para n períodos de capitalización por año:

Cuando el número de períodos de capitalización n se torna demasiado alto, la TEA sea aproxima a er-1. El número e = 2,7182818285904 es la base de logaritmos naturales y está incluida en la función Exp( ) de Excel. En la jerga de finanzas, erT se denomina valor futuro con capitalización continua después de T años a la tasa de interés anual r.

En la hoja de abajo usted podrá ver la diferencia entre el valor futuro con capitalización discreta y valor futuro con capitalización continua.

Cuando el número de períodos de capitalización se vuelve muy elevado, la diferencia entre el interés con capitalización discreta y continua se torna muy reducido.

9.1.El factor de capitalización continua

En el capítulo 2 vimos que el valor futuro y valor presente están estrechamente relacionados:

La siguiente hoja sintetiza estas relaciones:

9.2.Un ejemplo real de tarjeta de crédito

El interés con capitalización continua puede parecer un concepto etéreo —altamente teórico— pero es muy útil. El ejemplo de esta subsección muestra cuán ventajoso puede ser el interés con capitalización continua. La tarjeta de crédito de la Universidad del Estado de Columbia de la imagen siguiente carga un interés penal anual (TNA) del 27,99 %[11]. El paréntesis del aviso deja en claro que la empresa realmente carga un 0,07669 % por día sobre los saldos pendientes. Esta tasa se calcula tomando el 27,99 % y dividiéndolo por el número de días por año:

Tasa de Interés anual (TNA) para compras	10,99 % (0,03011 %) Tasa de Interés Diaria (TID)
Otras tasas anuales	TNA para adelantos en efectivo: 14,99 % (0,04107 % TID)Tasa Penal: 27,99 % (0,07669 TID)

Si usted mantiene un saldo de $100 a lo largo del año, usted adeudará 100 * (1,007668)365 a fin de año[12]. Como la hoja demuestra, ello se traduce en 32,286 % TEA (celda B5).

Como usted puede ver en la celda B6, esencialmente el mismo interés puede ser calculado usando capitalización continua. Desde un punto de vista de cálculo, capitalizar en forma continua es más simple que capitalizar en forma discreta una tasa diaria de interés.

Capitalización continua en este libro

Raramente utilizamos capitalización continua en este libro. Utilizamos capitalización discreta, pero ocasionalmente puntualizamos mediante nota al pie, cómo sería el cálculo con capitalización continua de una expresión discreta.

9.3.Retornos con capitalización continua

En subsecciones pasadas hemos medido capitalización discreta versus continua. En esta sección, mostramos cómo medir tasas de retorno discretas versus continuas. Suponga que una inversión crezca desde X en el momento 0 a Y en el momento T. Entonces, la tasa de retorno anual capitalizada en forma discreta sobre la inversión es:

La tasa de retorno anual con capitalización continua está dada por:

En el ejemplo de abajo, una inversión de $100 crece a $200 en un período de 4 años[13]. La hoja calcula tanto los retornos con capitalización discreta como continua.

La tasa de retorno con capitalización discreta (celda B6) es 18,92 %; esto se prueba en la celda B10, en que mostramos que 200=100*(1+18,92%)4. En otras palabras, a lo largo de los 4 años el valor futuro de $100 con capitalización discreta al 18,92 % es $200.

La tasa de retorno con capitalización continua (celda B7) es 17,33 %; esto se prueba en la celda B11, en que mostramos que 200=100*exp(17,22%*4). A lo largo de los 4 años el valor futuro de $100 con capitalización discreta al 17,32 % es $200.

Observe que para usted será indiferente elegir un retorno anual de 18,92 % con capitalización discreta que un 17,32 % con capitalización continua. Sobre un plazo de tiempo determinado, ¡ambas tasas hacen que una inversión inicial crezca hasta el mismo resultado final!

10.Resumen

En este capítulo hemos aplicado el valor del dinero en el tiempo (VA, VAN, y TIR) a un número de problemas relevantes:

Encontrar la tasa de interés efectiva anual (TEA): esta es la tasa de interés compuesta anual implícita en un activo financiero específico; desde otra perspectiva se puede decir que es la TIR anualizada. Hemos aportado un número de ejemplos —leasing, préstamos hipotecarios, tarjetas de crédito— todos los cuales ilustran que la única manera de evaluar el costo de financiamiento es calculando la TEA.

El efecto de períodos de capitalización no anuales: muchas tasas de interés son calculadas sobre una base mensual e incluso diaria. La TEA requiere que anualicemos esas tasas de interés de modo que podamos compararlas. Cuando el número de períodos de capitalización se vuelve muy elevado (como nuestro ejemplo de la Universidad el Estado de Columbia), la TEA = er, donde e= 2,7182818285904 (calculada con =Exp( ) y r es la tasa de interés publicada.

1 Estos cargos son comunes en muchos tipos de préstamos bancarios, especialmente hipotecarios. Son obviamente una manera de incrementar el costo del préstamo y confundir al cliente.

2 En el mundo real, los pagos son probablemente mensuales; vea el ejemplo en la Sección 3.3.

3 Observe que PAGOINT y PAGOPRIN funcionan solo cuando la cuota del préstamo es constante.

4 La mayoría de los préstamos hipotecarios son, por supuesto, por un plazo mucho mayor. Pero 12 meses nos permiten ajustar el ejemplo cómodamente en una hoja. Más adelante consideraremos plazos más largos, pero el principio será el mismo.

5 Observe que estamos escribiendo los flujos de fondos negativos (como el costo de adquisición del ordenador) como números positivos, por lo que debemos escribir los flujos de fondos positivos como números negativos.

6 Una advertencia: estamos tratando al valor residual del ordenador como si tuviera la misma certidumbre que el resto de los flujos de fondos, cuando claramente es menos cierto. La literatura financiera tiene una solución técnica para esto: buscamos el equivalente cierto del valor residual. Por ejemplo, puede ser que esperemos que el valor residual sea de $1.200, pero que —reconociendo la incertidumbre de obtener dicho valor— tratemos ese importe como equivalente a obtener $800 de valor residual con certeza.

7 El “precio al público sugerido del fabricante” (PPSF) es el precio que el fabricante sugiere como apropiado para el coche. En realidad, es una especie de precio ficticio oficial y constituye la base para la negociación entre el agente y el adquirente. En nuestro ejemplo, el PPSF es utilizado en el cálculo el valor residual, pero el precio real pagado por el coche es menor.

8 Según www.edmunds.com: “los pagos finales del leasing son generalmente razonables, a menos que el coche tenga 100.000 millas y chocolate derretido en la tapicería. Las agencias e instituciones financieras quieren que usted les compre otro coche nuevamente y pueden ser indulgentes en relación al exceso de millas o desgaste anormal. Después de todo, si lo atosigan con un grupo de gastos falsos usted no se mantendrá como un cliente leal, ¿o sí? Pero tenga en mente que si usted lleva su negocio a otra parte, estará recibiendo facturas por neumáticos usados, restos de pintura, golpes en las puertas, etc.”.

9 Algunas compañías de leasing actualmente le dan la opción de comprar el coche por el valor residual al finalizar el contrato. Ello efectivamente fija la TEA del leasing, dado que si el automóvil vale más que el valor residual, usted siempre puede comprarlo al valor residual y revenderlo en el mercado.

10 El valor residual exacto que a usted le resultará indiferente es $14.134.

11 ¿Qué es una tasa de interés penal? Como el sitio web explica: “si usted paga tarde, todas las tasas pueden cambiar hacia la misma que la tasa de interés penal”. En otras palabras, si usted demora en el pago, la tasa penal se aplica sobre todos los saldos pendientes.

12 Note la pequeña discrepancia entre nuestro Excel y el aviso de Visa: 27,99 % / 365 = 0,0766849 %. Por las reglas generales de redondeo, ello debería ser redondeado a 0,07668 %, pero la visa de la Universidad del Estado de Columbia agrega el extra ¡0,0001%! Como ellos dicen: “todo ayuda un poco”.

13 La función de Excel Ln computa el logaritmo natural de un número. Si Ln(a) = b, entonces eb=a.

Ejercicios de repaso y autoevaluación

1.Usted está evaluando comprar el último modelo de sistema estéreo. El vendedor del negocio “The stereo world” le ofrece dos formas de pago. Usted puede pagar $10.000 ahora o puede aprovechar su oferta especial de “compre ahora y pague dentro de un año”, en cuyo caso usted pagará $11.100 en 1 año. Calcule la tasa de interés efectiva anual (TEA) de la propuesta del vendedor.

2.Usted tiene dos opciones de pago para un nuevo lavavajillas: puede hace un pago de $400 hoy, o $70 durante los 6 próximos meses, siendo hoy el primer pago. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual (TEA) de la segunda opción?

3.Su adorable esposa ha decidido regalarle una aspiradora para su cumpleaños (ella siempre apoyándolo en sus hobbies...). Ella llamó a su mejor amigo, que es gerente de un negocio de venta de electrodomésticos y él le sugirió las dos siguientes formas de pago: $100 hoy o 12 cuotas mensuales de $10 c/u, comenzando hoy. ¿Cuál es la TIR mensual y la TEA de la forma de pago en cuotas?

4.Su banco le ha ofrecido un crédito hipotecario de $100.000. No hay “puntos” que se descuenten en el otorgamiento, ni otros gastos extra que se descuenten (lo que significa que usted recibe los $100.000 íntegros). El crédito se debe pagar en 10 cuotas anuales, con una tasa de interés del 12 % anual.

a.Calcule los pagos anuales del crédito

b.¿Cuál es la TEA del crédito?

5.Su banco le ha ofrecido un crédito hipotecario a 20 años de plazo, por $100.000. El banco cobra 1,5 “puntos” y gastos administrativos de $750, descontándose ambos en el otorgamiento. Los pagos son anuales y la tasa de interés es del 10 % anual, calculada sobre el monto total del crédito (es decir, $100.000).

a.Calcule la cuota anual del crédito.

b.Calcule la TEA.

c.Diseñe una tabla de amortización del crédito que muestre el monto de interés que puede descontar de impuestos cada año.

6.Su banco le ha ofrecido un préstamo hipotecario de $100.000 a 10 años de plazo, con pagos mensuales. El banco le cobra 1,5 “puntos” y gastos de administración de $750, ambos descontados en el momento del otorgamiento. Los pagos mensuales son calculados en base a una tasa de interés anual del 12 % sobre el monto total del crédito (es decir, $100.000).

a.Calcule los pagos mensuales del préstamo, diseñe la tabla de amortización y estime la TEA.

b.¿Cambiaría la TEA del préstamo si el plazo del mismo es 6 años?

c.Calcule el monto total de interés pagado en cada año durante la vigencia del préstamo. Puede basarse en su respuesta de la tabla amortización o investigar el uso de la función de Excel Pago.Int.Entre.

7.Usted compró el primer piso de un edificio por $250.000 y planea alquilarlo a comercios. Su banco le ofrece un crédito hipotecario con las siguientes condiciones:

El crédito es por la suma total de $250.000.

El crédito se pagará en cuotas mensuales iguales durante 36 meses, comenzando dentro de 1 mes.

La tasa de interés anual es 8 %, compuesta en forma mensual, lo que significa:

Usted debe pagarle al banco un gasto de otorgamiento de $1.500 y 1 “punto”, que se descuentan al comienzo.

a.¿Cuál es la cuota mensual que le pagará al banco?

b.¿Cuál es la TEA del préstamo?

c.Diseñe una tabla de amortización que muestre la cantidad de interés que puede reportar a efectos impositivos cada mes.

8.Su banco le ofrece un préstamo hipotecario a 5 años de plazo, por $100.000. El banco le cobra un interés de 1,5 puntos y gastos administrativos de $750; ambos descontados en el otorgamiento. Si la tasa de interés es del 12 % compuesta mensualmente (es decir, 1 % por mes):

a.Calcule los pagos mensuales del crédito hipotecario.

b.Calcule la TEA.

c.Diseñe una tabla de amortización que muestre el importe de interés que puede reportarse a efectos impositivos cada mes y utilícela para calcular el monto de interés anual que se reporta impositivamente.

9.Usted está considerando la adquisición de un activo que tiene una vida útil de 3 años y cuesta $15.000. Como alternativa a dicha compra, puede adquirirlo a través de un leasing por $4.000 al año (cuatro pagos iguales, el primero de ellos pagadero el día en que se firma el contrato). Si usted puede pedir prestado de su banco a la tasa del 10 %, ¿debería usted contratar el leasing o comprar?

10.Usted está evaluando adquirir un activo cuya vida útil es 3 años y cuesta $2.000. Como alternativa a su compra, puede contratar un leasing por $600 anuales (cuatro pagos anuales, el primero de ellos hoy). Su banco le puede prestar dinero al 15 %.

a.¿Debería usted comprar o alquilar?

b.¿Cuál es la máxima cantidad que estaría dispuesto a pagar en concepto de leasing?

11.Usted está evaluando comprar un activo o contratar un leasing sobre el mismo, con los siguientes flujos de fondos:

a.Calcule el valor actual de la compra versus leasing. ¿Cuál es conveniente?

b.¿Cuál es la máxima cantidad que estaría dispuesto a pagar en concepto de leasing?

12.Usted prevé comprar un nuevo pc. Su precio en los negocios de electrónica es $1.800, pero su vecino le ofrece en leasing el mismo ordenador por un pago mensual de $70 por un período de 24 meses; siendo el primer pago hoy mismo. Asumiendo que puede vender el ordenador al final de los 2 años por $500 y la tasa de interés en el mercado es 20 %, ¿debería usted comprar o contratar el leasing?

13.Usted está evaluando compra o contratar leasing para un coche. Los detalles de cada método de financiación se indican abajo. El leasing es por 24 meses. ¿Qué debería usted hacer?

14.Usted está evaluando comprar un nuevo coche, muy caro. Los detalles para un leasing por 48 meses se indican abajo:

a.Si su costo de financiamiento alternativo es 6 %, ¿debería usted comprar o alquilar?

b.Si usted financia la compra con un préstamo bancario al 6 %, ¿cuál debería ser el pago mensual del préstamo?

c.Como su estimación del valor residual (celda B14) es mayor, ¿es más ventajosa la compra o el leasing? Explíquelo.

15.Usted está considerando comprar un coche lujoso. El precio de lista del automóvil es $99.000. La agencia le ha ofrecido dos alternativas para comprarlo:

Puede comprarlo por $90.000 en efectivo y obtener un descuento de $9.000.

Puede comprarlo por el precio de lista de $99.000. En este caso la agencia le pide $39.000 como pago inicial y los otros $60.000 “en un crédito a tasa cero”, a ser pagado en cuotas iguales durante 36 meses.

Como alternativa, su banco le ofrece un préstamo para la compra del coche a una tasa de interés del 10 %; capitalizable mensualmente (es decir, 10 %/12 por mes).

Decida cómo comprar el coche: préstamo bancario, préstamo a tasa cero con la agencia o pago en efectivo.

16.A usted le han ofrecido dos tarjetas de crédito:

La tarjeta N°1 cobra un 19 % de interés anual, sobre una base mensual.

La tarjeta N°2 cobra un 19 % de interés anual, sobre una base semanal.

La tarjeta N°3 cobra un 18,9 % de interés anual, sobre una base diaria.

Haga un ranking de las tarjetas en base a la TEA.

17.Usted planea colocar $1.000 en alguna alternativa de ahorro durante 5 años. Puede escoger entre varias alternativas. ¿Cuánto dinero dispondrán en cada alternativa al cabo de los 5 años?

a.Bellon Bank ofrece el 12 % de interés anual, capitalizable una vez al año.

b.WNC Bank ofrece el 11 % de interés anual, capitalizable dos veces al año.

c.Plebian Bank ofrece el 10 % de interés anual, capitalizable mensualmente.

d.Byfus Bank ofrece el 11,5 % de interés anual, capitalizable en forma continua.

18.Asumiendo que la tasa de interés es 5 %, capitalizable en forma semestral, ¿cuál de las siguientes alternativas es más valiosa?

a.$5.000 hoy

b.$10.000 al final de 5 años.

c.$9.000 al final de 4 años.

d.$450 al final de cada año (a perpetuidad), comenzando en 1 año.

19.Usted planea poner $10.000 en alguna alternativa de ahorro durante 2 años. ¿Cuánto dinero tendrá al final de los 2 años en cada una de las siguientes alternativas?

a.Recibir un 12 % de interés anual, capitalizado en forma mensual.

b.Recibir un 12,5 % de interés anual, capitalizado en forma anual.

c.Recibir un 11,5 % de interés anual, capitalizado en forma diaria.

d.Recibir un 10 % de interés anual en el primer año y 15 % en el segundo año, capitalizado en forma anual.

20.Michael Smith tenía problemas: estaba desempleada y viviendo de su pensión por incapacidad mensual de $1.200. Su deuda de tarjeta de crédito de $19.000 amenazaba con desbordar ese ingreso escaso. Cada mes que demoraba el pago, la tarjeta de crédito le cobraba un 1,5 % sobre saldo. Su único activo era su casa, sobre la cual tenía una deuda hipotecaria de $67.000.

Michael recibió una llamada telefónica de Uranus Financial Corporation: la compañía le ofrecía refinanciar su hipoteca. El representante de Urano le explicó que, con el incremento en los valores de las propiedades, su casa podía ser refinanciada por $90.000. Dicha cantidad le permitiría pagar sus deudas de tarjeta de crédito e incluso le quedaría algo de dinero.

Algunos datos adicionales:

La nueva hipoteca sería por 25 años y con una tasa de interés anual del 9,23 %. Se pagaría en cuotas mensuales iguales durante dicho período, en base a una tasa de interés mensual de 9,23 %/12=0,7617 %. La comisión sobre la hipoteca es de $8.000.

No hay penalidades por el pago de los $67.000 de la actual hipoteca.

Responda las siguientes preguntas:

a.¿Cuál será el nuevo monto que deberá pagar Michael por la nueva hipoteca?

b.Tras pagar sus deudas de tarjeta de crédito, ¿cuánto dinero le quedará a Michael?

c.¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual (TEA) del crédito hipotecario de Uranus?

21.Una nota impresa en el resumen de la tarjeta de crédito del dueño, incluía el siguiente párrafo:

Tasa de interés anual para adelantos en efectivo:

Su tasa de interés anual para adelantos en efectivo es la tasa Prime más 14,99 %, pero dicha tasa de adelanto en efectivo nunca será menor que 19,99 %. El 1 de agosto de 2004, dicha TASA DE INTERÉS ANUAL PARA ADELANTOS fue 19,99 %, que corresponde a una tasa diaria periódica de 0,0548 %. Una tasa diaria periódica es la tasa anual correspondiente, dividida en 365.

El 1 de agosto de 2004: ¿cuál es la tasa de interés efectiva anual (TEA) cargada por la tarjeta de crédito sobre saldos en efectivo?

22.WindyRoad es una compañía de inversiones que posee dos fondos de pensión. El Dull Fund invierte en aburridos bonos de empresas y el Lively Fund lo hace en compañías de “alto riesgo, alto rendimiento”. El rendimiento de ambos fondos en el período de 5 años 2001-2005 se presenta a continuación.

a.Suponga que usted invierte $100 en cada uno de los fondos al comienzo del 2001. ¿Cuánto dinero tendría al final del 2005?

b.¿Cuál es la TEA pagada por cada uno de los fondos durante el período de 5 años 2001-2005?

c.¿Hay alguna conclusión que pueda sacar de este ejemplo?

23.(Avanzado)

a.Calcule el rendimiento anual compuesto de Dull Fund y Lively Fund (del ejercicio anterior) para cada uno de los años 2000-2005. ¿Cuál es el rendimiento promedio continuo de cada fondo según esto?

b.Suponga que usted ha invertido $100 en cada uno de los dos fondos a comienzos del 2001. Demuestre que la cantidad total que tendría en cada fondo (ver ejercicio 22.a) puede escribirse como:

Observe cómo así se vuelve más sencillo el cálculo.

Capítulo 4Introducción al presupuesto de capital
1.Concepto general

Presupuesto de Capital es la jerga de finanzas para el proceso de decidir si emprender un proyecto de inversión. Dos conceptos estándares se utilizan en presupuesto de capital: valor actual neto (VAN) y tasa interna de retorno (TIR). Tras ser presentados en el capítulo 2 ambos conceptos, este capítulo se ocupa ahora de su aplicación a presupuesto de capital. A continuación, se indican algunos de los contenidos tratados:

¿Debería usted emprender un proyecto en específico? Llamamos a esto la decisión “Sí o No” y mostramos cómo tanto VAN como TIR responden a esta pregunta.

Ranking de proyectos: si usted tiene varias inversiones alternativas y solo debe elegir una, ¿cuál sería?

¿Debería utilizar TIR o VAN? Algunas veces los criterios de TIR y VAN dan distintos resultados ante la disyuntiva “Sí o No” y al ranking de proyectos. Veremos por qué ocurre y qué criterio debería ser utilizado para presupuesto de capital (si hay desacuerdo).

Costos irrecuperables. ¿Cómo deberíamos tratar los costos incurridos en el pasado?

Los costos de oportunidades perdidas.

Valor de recupero y valor final.

Incorporación de impuestos en el proceso de valuación. Este tema es tratado brevemente en la sección 4.8. Luego se profundizará más en los capítulos 7 – 9.

Conceptos financieros tratados

TIR.

VAN.

Ranking de proyectos utilizando VAN y TIR.

Valor final.

Impuestos y cálculo de flujos de fondos.

Costo de oportunidades perdidas.

Costos irrecuperables.

Funciones de excel utilizadas

VAN.

TIR.

Tabla de Datos.

2.La regla del VAN para evaluar inversiones y proyectos

En los capítulos precedentes hemos presentado los conceptos básicos de VAN y TIR y sus aplicaciones a presupuesto de capital. Comenzamos este capítulo resumiendo cada una de esas reglas, las reglas del VAN en esta sección y las reglas del TIR en la siguiente.

A continuación, un resumen de los criterios de decisión para inversiones implícitos en el valor actual neto (VAN):

Regla para decidir si un proyecto específico es conveniente: suponga que estamos considerando un proyecto que tiene flujos de fondos CF0, CF1,…, CFN. Suponga que la tasa apropiada de descuento para este proyecto es r. Entonces, el VAN del proyecto será:

Regla: un proyecto conviene por el criterio del VAN si VAN > 0.

Regla del VAN para decidir entre dos proyectos mutuamente excluyentes: suponga que intenta decidir entre los dos proyectos A y B, cada uno de los cuales puede alcanzar el mismo objetivo. Por ejemplo, su empresa necesita una máquina nueva y la elección es entre las máquinas A y B (o quizás ninguna, pero lo que sabe es que no comprará ambas). En la jerga financiera estos proyectos son “mutuamente excluyentes”.

Suponga que el proyecto A tiene flujos de fondos de CF0A, CF1A,…, CFNA y del proyecto B los flujos de fondos son de CF0B, CF1B,…, CFNB.

Regla: el proyecto A es preferible al proyecto B si:

La lógica de la regla del VAN presentada es que el valor actual de los flujos de fondos del proyecto:

Es el valor económico actual del proyecto. Es decir, si hemos elegido correctamente la tasa de descuento r para el proyecto, el VA es el valor al que deberíamos poder vender el proyecto en el mercado[1]. El valor actual neto es el incremento en la riqueza producido por el proyecto, por lo que VAN > 0 significa que el proyecto agrega a nuestra riqueza:

Un ejemplo inicial

Para dejar sentadas las bases, asumamos que usted está intentando decidir si emprender uno de los proyectos. El proyecto A conlleva la adquisición de una máquina costosa que produce mejores productos a menores costos. La máquina del proyecto A cuesta $1.000 y, si es adquirida, usted anticipa que el proyecto generará flujos de fondos de $500 por año durante los próximos 5 años. La máquina del proyecto B es más barata, cuesta $800, pero produce menores flujos de fondos anuales, $420, durante los próximos 5 años. Asumiremos que la tasa de descuento correcta es 12 %.

Suponga que aplicamos el criterio del VAN para los proyectos A y B.

Ambos proyectos son convenientes porque cada uno tiene un VAN positivo. Si debemos elegir entre ambos, el proyecto A es preferible respecto del proyecto B porque tiene un mayor VAN.

Función van de excel versus la definición en finanzas de van

Reiteramos nuestra nota de Excel del capítulo 2: la función VNA de Excel computa el VA de los flujos futuros de fondos; ello no corresponde a la noción financiera de VAN, que incluye el flujo de fondos inicial. Para calcular el concepto de VAN de finanzas en la hoja, debemos incluir el flujo de fondos inicial. Por lo tanto, en la celda B12, el VAN se calcula como =B5+VNA($B$2;B6:B10) y en la celda C12este cálculo es =C5+VNA($B$2;C6:C10)

3.La regla de la TIR para evaluar inversiones

Una alternativa a la utilización del criterio del VAN para presupuesto de capital es utilizar la tasa interna de retorno (TIR). Recordemos del capítulo 2 que la TIR se define como la tasa de descuento para la cual el VAN es igual a cero. Es la tasa de retorno compuesta que usted obtiene de una serie de flujos de fondos.

A continuación, presentamos dos reglas de decisión para utilizar la TIR en presupuesto de capital:

Regla de la TIR para decidir si una inversión en particular es conveniente: suponga que estamos considerando un proyecto que tiene los flujos de fondos CF0, CF1,..., CFN.

TIR es la tasa de interés tal que…

Regla: si la tasa de descuento apropiada para el proyecto es r, usted debería aceptar el proyecto si su TIR > r y rechazarlo si TIR < r.

La lógica que subyace en la TIR se centra en que la TIR es la tasa de retorno compuesta que usted obtiene del proyecto. Dado que r es la tasa de retorno requerida del proyecto, se concluye que si TIR > r, usted obtiene más de lo que requiere.

Regla para decidir entre dos proyectos que compiten entre sí: suponga que usted intenta decidir entre dos proyectos mutuamente excluyentes, A y B (significando que ambos proyectos alcanzan el mismo objetivo y usted elegirá como máximo uno de los proyectos). Suponga que el proyecto A tiene flujos de fondos de CF0A, CF1A,…, CFNA y del proyecto B los flujos de fondos son de CF0B, CF1B,…, CFNB.

Regla: el proyecto A es preferible al proyecto B si TIR (A) > TIR (B).

Nuevamente la lógica es clara: dado que la TIR nos dice la tasa de retorno compuesta del proyecto, si elegimos entre dos proyectos usando la regla de la TIR, preferiremos mayores tasas compuestas de retorno.

Aplicando la regla de la TIR para los proyectos A y B obtenemos:

Ambos proyectos A y B son convenientes, dado que cada uno tiene una TIR > 12 %, que es nuestra tasa de descuento relevante. Si debemos elegir entre los dos proyectos usando el criterio de la TIR, el proyecto A es preferible, dado que tiene una mayor TIR.

4.VAN o TIR. ¿Cuál utilizar?

Podemos resumir las reglas de TIR y VAN de la siguiente manera:

	“Sí o No”Eligiendo si emprender o no un proyecto de inversión en particular	“Ranking de Proyectos”Comparando dos proyectos mutuamente excluyentes
Criterio del VAN	El proyecto debería ser aceptado si su VAN > 0	El proyecto A es preferible al proyecto B si VAN (A) > VAN (B)
Criterio de la TIR	El proyecto debería ser aceptado si su TIR > r, donde r es la tasa de descuento apropiada.	El proyecto A es preferible al proyecto B si TIR (A) > TIR (B)

Tanto las reglas del VAN como las de la TIR son lógicas. En muchos casos su decisión de inversión —emprender un proyecto o no, o cuál de los dos proyectos que compiten seleccionar— será la misma tanto si utiliza VAN como TIR. Hay algunos casos, sin embargo (como los proyectos A y B ilustrados más arriba), en que el VAN y la TIR dan respuestas diferentes. En nuestro análisis de valor actual neto el proyecto A ganó porque su VAN era mayor que el del proyecto B. En nuestro análisis con TIR de los mismos proyectos, ganó el B porque tuvo una TIR mayor que la de A. En tales casos siempre deber ser utilizado el VAN para decidir entre proyectos. La lógica es que si los individuos están interesados en maximizar su riqueza, deberían utilizar el VAN, que mide el incremento en la riqueza proveniente de la implementación del proyecto.

5.El Criterio “Sí – No”: ¿cuándo las TIR y VAN ofrecen la misma respuesta?

Considere el siguiente proyecto: el flujo de fondos inicial de -$1.000 representa el costo del proyecto hoy y los restantes flujos de fondos de los años 1 – 6 son proyectados. La tasa de descuento es 15 %.

El VAN del proyecto es $172,13, lo cual significa que el valor actual de los flujos de fondos futuros proyectados ($1.172,13) es mayor que los $1.000 de costo del proyecto. Por lo tanto, el proyecto es conveniente.

Si se representa en una gráfica el VAN del proyecto podemos ver que la TIR —el punto en que la curva de VAN cruza al eje x— es muy cercano a 20 %. Como puede ver en la celda B15, la TIR real es 19,71 %.

¿Aceptar o rechazar? ¿Deberíamos emprender el proyecto?

Está claro que el proyecto de arriba es conveniente:

Su VAN > 0, por lo que según el criterio del VAN debería ser aceptado.

Su TIR de 19,71 % > tasa de descuento del proyecto de 15 %, por lo que acorde al criterio de la TIR el proyecto merecería ser emprendido.

Un principio general

Podemos inducir un principio general a partir del ejemplo:

Para proyectos convencionales, es decir, aquellos con un flujo de fondos inicial negativo y subsecuentes flujos de fondos no negativos (CF0 < 0, CF1 ≥ 0, CF2 ≥ 0,…, CFN ≥ 0), los criterios de VAN y TIR llevan a la misma decisión “sí o no”. Si el criterio de VAN indica un “sí”, entonces lo mismo hará el criterio de la TIR (y viceversa).

6.¿TIR y VAN producen el mismo ranking de proyectos?

En la sección precedente vimos que para proyectos convencionales, VAN y TIR dan la misma respuesta “Sí o No” respecto de si invertir en un proyecto. En esta sección veremos que VAN y TIR no necesariamente dan el mismo ranking para los proyectos, aun cuando los mismos sean convencionales.

Suponga que tenemos dos proyectos y podemos elegir invertir solo en uno. Estos proyectos son mutuamente excluyentes: son formas de alcanzar el mismo objetivo y, por lo tanto, deberíamos escoger solo uno. En esta sección trataremos el uso de TIR y VAN para hacer un ranking de proyectos. Para resumir nuestros resultados antes de comenzar conviene tener presente lo siguiente:

Hacer ranking de proyectos mediante TIR y VAN puede llevar a resultados posiblemente contradictorios. Si se utiliza el criterio del VAN podemos llegar a elegir uno, mientras que con el criterio de la TIR elegiríamos el otro proyecto.

Cuando existe conflicto entre TIR y VAN, el proyecto con mayor VAN es preferible. Esto es, el criterio del VAN es el criterio correcto a ser utilizado para presupuesto de capital. No se trata de impugnar el criterio de la TIR, el cual es a menudo muy útil; sin embargo, VAN es preferible a TIR porque indica el incremento de riqueza que produce el proyecto.

Un ejemplo

A continuación presentaremos los flujos de fondos para los proyectos A y B. Ambos proyectos tienen el mismo costo inicial de $500, pero presentan diferentes patrones de flujos de fondos. La tasa de descuento relevante es 15 %.

Comparando proyectos mediante TIR: si utilizamos la regla de la TIR para elegir entre los proyectos, entonces B es preferible antes que A, dado que su TIR es mayor.

Comparando proyectos mediante VAN: ahora la elección es más complicada. Cuando la tasa de descuento es 15 % (como se ilustra arriba), el VAN del proyecto B es mayor que el del proyecto A. En tal caso, TIR y VAN están de acuerdo: ambos indican que el proyecto B debería ser elegido. Ahora suponga que la tasa de descuento es 8 %; en este caso el ranking que hacen VAN y TIR están en conflicto.

En este caso, debemos resolver el conflicto entre el ranking basado en VAN (en que es preferible A) y entre el ranking basado en TIR (en que es preferible B). Como dijimos en la introducción de este capítulo, la solución a este asunto es que debería elegir en base al VAN. Exploraremos los motivos para ello después, pero primero trataremos una cuestión técnica.

6.1.¿Por qué VAN y TIR generan rankings diferentes?

A continuación construimos una tabla y gráfico que muestran el VAN para cada proyecto como función de la tasa de descuento.

A partir del gráfico usted puede observar por qué se producen los rankings contradictorios:

El proyecto B tiene una mayor TIR (27,38 %) que el proyecto A (19,77 %). (Recuerde que la TIR es el punto en el cual la curva de VAN corta el eje X).

Cuando la tasa de descuento es baja, el proyecto A tiene mayor VAN que el proyecto B, pero cuando la tasa de descuento es alta, el proyecto B tiene mayor VAN. Hay un punto de intersección (en la sección subsiguiente usted verá que dicho punto es 8,51 %) que marca los rangos de acuerdo / desacuerdo.

El VAN del proyecto A es más sensible a los cambios en la tasa de descuento que el proyecto B. La razón para ello es que los flujos de fondos el proyecto A están más distribuidos en el tiempo que los del proyecto B; otra forma de decir esto es que el proyecto A tiene sustancialmente mayor parte de sus flujos de fondos en fechas más distantes que el proyecto B.

Resumiendo:

	Tasa de descuento < 8,51 %	Tasa de descuento = 8,51 %	Tasa de descuento > 8,51 %
Criterio del VAN	Es preferible A:VAN (A) > VAN (B)	Indiferente entre A y B:VAN (A) = VAN (B)	Es preferible B:VAN (B) > VAN (A)
Criterio de la TIR	B siempre es preferible antes que A porque:TIR (B) > TIR (A)

6.2.Calculando el punto de intersección

El punto de intersección —que dijimos antes que es 8,51 %— es la tasa de descuento a la cual el VAN de los dos proyectos es igual. Un poco de manipulación de fórmulas le demostrará que el punto de intersección es la TIR de los flujos de fondos diferenciales. Para ver lo que ello significa, considere el siguiente ejemplo:

La columna D del ejemplo contiene los flujos de fondos diferenciales, la diferencia entre los flujos de fondos del proyecto A y del proyecto B. En la celda D45 utilizamos la función TIR de Excel para calcular el punto de intersección.

Un apunte de teoría (que puede ser omitida): para ver por qué el punto de intersección es la TIR de los flujos de fondos diferenciales, suponga que para alguna tasa r, VAN (A) = VAN (B):

Restando y reordenando se demuestra que r debe ser la TIR de los flujos de fondos diferenciales:

¿Qué usar: TIR o VAN?

Volvamos al ejemplo inicial y supongamos que la tasa de descuento es 8 %.

En este caso sabemos que hay desacuerdo entre VAN (que llevaría a elegir el proyecto A) y la TIR (por la cual elegiríamos el proyecto B). ¿Cuál es correcto?

La respuesta a esta pregunta es que deberíamos —para el caso en que la tasa de descuento es 8 %— elegir mediante el VAN (es decir, elegir el proyecto A). Este es solo un ejemplo del principio general tratado en la sección 3: usar el VAN es siempre preferible porque el VAN es la riqueza adicional que obtiene, mientras que la TIR es la tasa de retorno compuesta. El supuesto económico es que los consumidores maximizan su riqueza, no su tasa de retorno.

¿Hacia dónde va este capítulo?

Hasta ahora, en este capítulo hemos tratado principios generales de selección de proyectos utilizando los criterios de TIR y VAN. Las secciones siguientes tratan algunos temas específicos:

Ignorar costos irrecuperables y utilizar flujos de fondos marginales (sección 4.7.)

Incorporación de impuestos y ahorro fiscal en los cálculos de presupuesto de capital (sección 4.8.)

Incorporar el costo de oportunidades perdidas (sección 4.10.)

Incorporar valor de recupero y valor final (sección 4.12.)

7.Principio de presupuesto de capital: ignore los costos irrecuperables y considere solo los flujos de fondos marginales

Este es un principio general de presupuesto de capital y evaluación de proyecto: ignore los flujos de fondos que usted no puede controlar y preste atención solo a los flujos de fondos marginales, los resultados de las decisiones financieras que usted aún puede tomar. En la jerga de finanzas, ignore los costos irrecuperables, costos en que usted ya ha incurrido y, por lo tanto, no están afectados por las decisiones futuras de presupuesto de capital.

A continuación, un ejemplo: usted recientemente ha comprado una parcela de tierra y construido una casa en ella. Su intención era vender la casa inmediatamente, pero se ha dado cuenta de que la casa está mal construida y no puede ser vendida es su estado. La casa y el terreno le costaron $100.000 y un constructor amigo local le ha ofrecido efectuar las reparaciones necesarias por $20.000. Su asesor inmobiliario estima que aún con estas reparaciones nunca podrá vender la casa por más de $90.000. ¿Qué debe usted hacer? Hay dos enfoques para responder esta pregunta:

Mi padre siempre decía “no tires dinero bueno sobre el malo”. Si este es su enfoque, no hará nada. Esta actitud se tipifica en la columna B de abajo, que muestra que si efectúa las reparaciones estará perdiendo el 25 % de su dinero.

Mi madre era profesora de finanzas y decía “no llores por la leche derramada. Mira solo los costos marginales”. Esto parece mucho más adecuado. En la columna C de abajo usted verá que efectuando las reparaciones obtendrá un 350 % de rentabilidad sobre sus $20.000.

Por supuesto que su padre se equivocaba y su madre tenía razón (algo que ocurre habitualmente): aun cuando cometió algunos errores tremendos (en primer lugar, nunca debería haber construido la casa), lo más sensato es que usted —a estas alturas— ignore los costos irrecuperables de $100.000 y efectúe las reparaciones necesarias.

8.Principio de presupuesto de capital: no olvide el efecto de los impuestos. La inversión en un condominio de Sally y Dave

En esta sección trataremos la problemática de presupuesto de capital que tienen Sally y Dave, dos graduados de escuelas de negocios que están analizando adquirir un condominio y alquilarlo para obtener una renta.

Utilizamos el condominio de Sally y Dave para enfatizar el lugar relevante que ocupan los impuestos en el proceso de presupuesto de capital. Nadie necesita que le digan que los impuestos son muy importantes[2]. En el proceso de presupuesto de capital, los flujos de fondos que serán descontados son los flujos de fondos después de impuestos. Posponemos el tratamiento completo de esta materia hasta los capítulos 6 y 7, en que se definirá el concepto de flujos de fondos libres (free cash flow). Por el momento, nos concentramos en algunos principios obvios, que ilustramos con un ejemplo de la inversión en el condominio de Sally y Dave.

Sally y Dave —recién salidos de la escuela de negocios con algo de dinero para gastar— están considerando construir un condominio elegante para alquilarlo. El condominio costará $100.000 y (en este ejemplo, al menos) están planeando adquirirlo íntegramente en efectivo. A continuación, se incluyen algunos datos adicionales:

Sally y Dave estiman que podrán alquilar el condominio por $24.000 anuales. Deberán pagar impuestos a la propiedad por $1.500 por año y estiman gastos adicionales de $1.000 anuales.

Todo el ingreso del condominio debe ser informado impositivamente en su declaración. Actualmente, Sally y Dave tienen una tasa de impuesto de 30 % y piensan que dicha proporción continuará en el futuro.

Su contable les explicó que pueden amortizar el costo total del condominio en 10 años, en cada año pueden cargar $10.000 de amortización contra el ingreso del condominio[3]. Esto significa que ellos esperan pagar $3.450 de impuestos por año si compran el condominio y lo alquilan y tienen una renta neta de $8.050 del mismo.

¿Qué es amortización?

Para calcular los impuestos que adeudan, Sally y Dave tienen que deducir los gastos de sus ingresos. Los impuestos se calculan sobre la base de beneficios después de impuestos (= ingresos - gastos - amortización - intereses). Cuando Sally y Dave obtienen la renta de su condominio, este es el ingreso —dinero obtenido de su activo—. Cuando Sally y Dave hacen un pago para reparar una cañería en su condominio, esto es un —un costo de hacer negocios—.

El costo del condominio no es un ingreso ni un costo. Es una inversión de capital, dinero pagado por un activo que será utilizado por muchos años. Las leyes impositivas indican que cada año pueden deducirse del ingreso parte de las inversiones de capital (“gastadas”, en la jerga contable). Ello reduce el impuesto pagado por el dueño del activo y tiene en cuenta el hecho de que el mismo tiene una vida útil limitada.

Hay muchos métodos de amortización en uso. El más simple es amortización en línea recta. En este método, la amortización anual del activo es un porcentaje de su costo inicial. En el caso de Sally y Dave, por ejemplo, hemos especificado que el activo se amortiza en 10 años. Ello resulta en un gasto de amortización anual de:

En algunos casos, la amortización se toma sobre el valor del activo menos su valor de recupero: si usted considera que el activo tendrá un valor de $20.000 al final de su vida (esto es el valor de recupero), entonces la amortización en línea recta sería de $8.000:

Amortización en línea recta = con valor de recupero

Amortización acelerada

A pesar de que históricamente los gastos de amortización estuvieron relacionados con la vida útil del activo, en muchos casos esta conexión se ha perdido. Bajo las leyes impositivas de EE. UU., por ejemplo, un activo cuya clasificación indica una vida amortizable de 5 años (camiones, coches y algún equipamiento informático en esta categoría) serán amortizados en 6 años (si 6) al 20 %, 32 %, 19,2 %, 11,52 %, 11,52 % y 5,76 % en cada uno de los años 1,2,...,6. Observe que este método acelera los gastos por amortización —más de una sexta parte de la amortización se toma anualmente en los años 1-3 y menos después—. Dado que —como mostraremos en el texto siguiente— la amortización finalmente ahorra impuesto, ello beneficia al dueño del activo, quien ahora puede descontar más de la amortización en los primeros años de la vida del activo.

8.1.Dos formas de calcular los flujos de fondos

En la hoja previa usted observó que el beneficio neto de Sally y Dave fue $8.050. En esta sección usted verá que los flujos de fondos generados por el condominio son mucho mayores que ello. Todo eso tiene que ver con la amortización: dado que la amortización es un gasto a efectos impositivos pero no una salida de caja, los flujos de fondos de la renta del condominio son diferentes, por lo que, aun cuando los beneficios netos del condominio sean $8,50, los flujos de fondos anuales son $18.050, usted debe sumar nuevamente la amortización al beneficio neto para obtener el flujo de fondos generado por la explotación.

En el cálculo de arriba, hemos sumado nuevamente la amortización al beneficio neto para obtener el flujo de fondos.

El flujo de fondos de un activo (el monto de dinero generado por un activo durante un período en particular) se computa tomando el beneficio neto (también llamado beneficio después de impuestos o a veces solo “beneficio”) y sumando nuevamente los gastos que no generaron salida de caja como la amortización[4].

8.2.Ahorro fiscal

Hay otra manera de calcular el flujo de fondos, la cual implica el tratamiento del ahorro fiscal. El ahorro fiscal es el ahorro generado en los impuestos por el hecho de poder reportar un gasto a propósitos impositivos.

De manera generalizada, el ahorro fiscal directamente reduce el costo efectivo de un gasto. En el ejemplo precedente, dado que Sally y Dave pueden descontar los $1.500 de sus impuestos a la propiedad a efectos impositivos, el costo impositivo después de impuestos de los impuestos a la propiedad es:

El ahorro fiscal de $450 (30 % * $1.500) ha reducido el costo de los impuestos a la propiedad.

La amortización es un caso especial de gasto que no genera salida de caja, que genera ahorro fiscal. Un poco de análisis le demostrará que los $10.000 de amortización del condominio generan $3.000 de efectivo. Dado que la amortización reduce el reporte impositivo de Sally y Dave, cada peso de amortización les hace ahorrar $0,30 (30 centavos) de impuestos, sin costarle nada a ellos en efectivo (los $0,30 proceden de que la tasa impositiva de Sally y Dave es 30 %). Por ello, los $10.000 de amortización valen $3.000 en efectivo. Estos $3.000 de ahorro fiscal son un flujo de fondos para Sally y Dave.

En la hoja de abajo calculamos el flujo de fondos en dos etapas:

Primero calculamos el beneficio neto de Sally y Dave ignorando la amortización (celda B29). Si la amortización no fuera gasto a efectos fiscales, el beneficio neto de Sally y Dave sería $15.050.

Luego sumamos a este valor el ahorro fiscal de $3.000. El resultado (celda B32) nos da el flujo de fondos para el condominio.

8.3.¿Es rentable la inversión en el condominio de Sally y Dave? Conclusión preliminar

En este punto Sally y Dave pueden llegar a una conclusión preliminar en relación al VAN y TIR de la inversión en el condominio. Asumiendo una tasa de descuento de 12 % y asumiendo que solo tendrán el condominio por 10 años, el VAN de la inversión en el condominio es $1.987 y su TIR, 12,48 %.

8.4.¿Es rentable la inversión en el condominio de Sally y Dave? Incorporando valor de venta final en los cálculos

Un poco de razonamiento sobre la hoja previa revela que hemos dejado de lado un factor importante: el valor del condominio al final del horizonte de 10 años. En finanzas, el valor de un activo al final del horizonte de inversión es llamado su valor de venta final o valor de recupero. En la hoja anterior hemos asumido que el valor de venta final del condominio es cero, pero tal supuesto es inverosímil.

Para efectuar un mejor cálculo sobre su inversión, Sally y Dave deberán efectuar un supuesto sobre el valor de venta final del condominio. Suponga que asumen que al final de los 10 años podrán vender el condominio por $80.000. La ganancia imponible relativa a la venta es la diferencia entre el precio de venta del condominio y su valor en libros en ese mismo momento —el precio inicial menos la suma de todas las amortizaciones desde que Sally y Dave lo adquirieron—. Dado que Sally y Dave han estado amortizando el condominio en $10.000 por año durante el período de 10 años, su valor en libros al final de los 10 años será cero.

En la celda E10 de abajo, usted puede ver que la venta del condominio por $80.000 generará un flujo de fondos de $56.000.

Para computar la tasa de retorno de la inversión en el condominio de Sally y Dave, pusimos todos los números juntos.

Asumiendo que la tasa de descuento de 12 % es la tasa correcta, la inversión en el condominio es conveniente: su VAN es positivo y su TIR excede a la tasa de descuento[5].

Valor en libros versus valor de venta final

El valor en libros de un activo es su costo de compra inicial menos la amortización acumulada. El valor de venta final de un activo es el que se asume será su valor de mercado en el momento en que usted “deje de anotar flujos de fondos del activo”, puede parecer una definición extraña de valor de venta final, pero habitualmente cuando efectuamos cálculos de valor actual para un activo de larga vida útil (como el condominio de Sally y Dave o las valuaciones de empresas que trataremos en el capítulo 6 y 7), anotamos solo una limitada cantidad de flujos de fondos.

Sally y Dave son renuentes a efectuar predicciones sobre las rentas y gastos del condominio más allá de un horizonte de 10 años. Pasado este punto, ellos dudan de la precisión de las estimaciones que puedan efectuarse, por eso anotan flujos de fondos por 10 años y el valor de venta final es su mejor estimación sobre el valor del condominio al final del año 10. “Analicemos la rentabilidad del condominio si lo mantenemos durante 10 años y lo vendemos”.

Esto es lo que queremos decir cuando afirmamos que “el valor de venta final es lo que valdrá el activo cuando terminemos de anotar flujos de fondos”.

Impuestos: si Sally y Dave aciertan en su estimación del valor de venta final, ellos deberán considerar los impuestos. Las leyes impositivas para la venta de un activo específico indican que la cuenta impositiva se calcula sobre la ganancia sobre el valor en libros. Por ello, en el caso del ejemplo de Sally y Dave,

Valor de venta final – impuestos sobre la ganancia respecto del valor libro = Valor de venta final – tasa de impuesto * (valor de venta final – valor libros) = 80.000 – 30 % * (80.000 – 0) = 56.000

8.5.Hacer algunos análisis de sensibilidad (contenido avanzado)

Un análisis de sensibilidad puede mostrar cómo varía la TIR de la inversión en el condominio en función de la renta anual y el valor de venta final. Utilizando Tabla de Datos de Excel (vea capítulo 20) construimos un análisis de sensibilidad.

Los cálculos en la tabla de datos no son tan sorprendentes: para una renta dada, la TIR es mayor cuanto mayor es el valor de venta final y para un valor de venta final dado, la TIR es mayor a mayor renta.

8.6.Construir la tabla de datos[6]

Aquí mostramos cómo se organiza la tabla de datos:

Construimos una tabla con los valores de ventas finales en la columna del lado izquierdo y las rentas en la fila de arriba.

En el extremo superior izquierdo de la tabla (celda B40), referenciamos al cálculo de la TIR de la hoja del ejemplo (este cálculo se encuentra en la celda B36).

En este momento, la tabla se ve así:

Utilizando el ratón, marcamos toda la tabla. Utilizamos el comando Datos l Análisis y Sí l Tabla de Datos.

Podemos ahora completar las referencias del ejemplo original.

El cuadro de diálogo le dice a Excel que repita el cálculo de la celda B36, haciendo variar el valor de la renta en la celda B6 y el valor de venta final en celda E6. Presionando Aceptar se hace el resto.

9.Presupuesto de capital y valor de recupero

En el ejemplo del condominio de Sally y Dave nos hemos centrado en el efecto de los gastos que no implican salidas de caja sobre los flujos de fondos: contables y autoridades impositivas computan los beneficios sustrayendo cierto tipo de gastos de las ventas, aun cuando tales gastos no impliquen salidas de caja. Para calcular los flujos de fondos, volvemos a sumar tales gastos que no implicaron salidas de caja a los beneficios contables. Hemos demostrado que dichos gastos que no conllevan salidas de caja generan ahorro fiscal, generan fondos ahorrando impuestos.

En el ejemplo de esta sección consideraremos un caso de presupuesto de capital en el cual una empresa vende su activo antes de que se encuentre completamente amortizado. Mostramos que el valor en libros del activo a la fecha de venta final crea ahorro fiscal y vemos el efecto de tal ahorro fiscal en la decisión de presupuesto de capital.

A continuación, un ejemplo. Su empresa analiza adquirir una máquina nueva. Estos son los datos:

La máquina cuesta $800.

Durante los próximos 8 años (la vida de la máquina) la máquina generará ventas anuales de $1.000.

El costo anual de mercancía vendida (CMV) es $400 por año y otros costos; las ventas, generales y gastos administrativos (SG&A) suponen $300 por año.

La amortización de la máquina es lineal durante los 8 años (es decir, $100 por año).

Al final de los 8 años, el valor de recupero de la máquina (o valor de venta final) es cero.

La tasa impositiva de la firma es 40 %.

La tasa de costo de descuento de la empresa para proyectos de este tipo es 15 %.

¿Debería la empresa adquirir la máquina? A continuación, se muestra el análisis en Excel.

Observe que en primer lugar calculamos el estado de resultados (P&L) para la máquina (celdas B12:B18) y luego convertimos dicho resultado en un cálculo de flujos de fondos (celdas B21:B23). El flujo de fondos anual es $220. Las celdas F7:F15 muestran la tabla de flujos de fondos y la celda F17 da el VAN del proyecto. El mismo el positivo y deberíamos por ello adquirir la máquina.

9.1.Valor de recupero – una variante del tema

Suponga que la empresa puede vender la máquina por $300 al final del año 8. Para estimar el flujo de fondo producido por dicho valor de recupero, debemos hacer la distinción entre valor en libros y valor de mercado.

Valor en libros	Un concepto contable: el valor en libros de una máquina es su costo inicial menos la amortización acumulada (la suma de las amortizaciones efectuadas sobre la máquina, desde la adquisición). En nuestro ejemplo, el valor en libros de la máquina en el año 0 es $800, en el año 1 es $700... y al final del año 8 es cero.
Valor de mercado	El valor de mercado es el precio al que la máquina puede ser vendida. En nuestro ejemplo, el valor de mercado de la máquina al final del año 8 es $300.
Ganancia imponible	La ganancia imponible de la máquina al momento de la venta es la diferencia entre el valor de mercado y el valor en libros. En nuestro caso, la ganancia imponible es positiva ($300), pero también puede ser negativa (vea el ejemplo al final de este capítulo).

A continuación, el cálculo de VAN incluyendo el valor de recupero:

Preste atención al cálculo del flujo de fondos del valor de recupero (celda B30) y el cambio en el flujo de fondos del año 8 (celda F15).

9.2.Un ejemplo más

Suponga que cambiamos el ejemplo levemente:

Las ventas anuales, SG&A, CMV y la amortización son tal como se especificaron en el ejemplo original. La máquina también será amortizada en 8 años linealmente.

Sin embargo, pensamos vender la máquina al final del año 7 a un valor estimado de recupero de $450. Al final del año 7 el valor en libros de la máquina es $100.

Así es como se verá nuestro cálculo ahora.

Nótense los sutiles cambios respecto al ejemplo anterior:

El flujo de fondos del valor de recupero es

En nuestro ejemplo, esto es $310 (celda B30).

Otra manera de escribir el flujo de fondos del valor de recupero es esta:

Utilizando este ejemplo, usted puede ver el rol que juegan los impuestos aún si vendemos la máquina con pérdida.

Suponga que, por ejemplo, la máquina es vendida en el año 7 por $50, que es menos que su valor en libros:

En este caso, la ganancia imponible negativa (celda B28, la jerga normalmente utilizada es “pérdida según libros”) produce un “ahorro fiscal”, los impuestos negativos de -$20 de la celda B29. Este ahorro fiscal es en realidad una reducción en su impuesto total, atribuible a los $50 de pérdida de la celda B28. Se agrega al valor de mercado para producir un flujo de fondos del valor de recupero de $70 (celda B30). Por ello, aun vendiendo un activo con pérdida, puede producir un flujo de fondos positivo.