Kitabı oxu: «Теория вероятностей. 3 часть»

Содержание:

1. Классическое определение вероятности.

2. Геометрическое определение вероятности.

3. Примеры решения задач на классическую вероятность.

4. Примеры решения задач на геометрическую вероятность.

5. Примеры решения задач на формулу Бернулли.

6. Подготовка к выводу формулы Бернулли.

7. Вывод формулы Бернулли.

Классическое и геометрическое определение вероятности.

Случайным событием называют такой результат наблюдения или эксперимента, который при соблюдении данного комплекса условий может произойти; а может не произойти.

Событием называют результат наблюдения (опыта, эксперимента).

Частота случайного события - это отношение количества появлений интересующего события к количеству испытаний (наблюдений).

Частота случайного события позволяет лишь приближённо оценить вероятность случайного события.

Чем больше проводится испытаний, тем точнее будет оценка вероятности случайного события по его частоте.

Оценку вероятности по частоте случайного события называют статистической вероятностью случайного события.

Вероятность обозначают буквой Р.

Это первая буква французского слова probabilite (вероятность).

События обозначаются большими заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, D, …, H

1. Классическое определение вероятности.

Численная мера степени объективной возможности наступления события, называется вероятностью события.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий; и единственно возможны; и несовместны (не могут появиться в одном и том же опыте одновременно).

Эти исходы называются элементарными исходами (случайными шансами).

Случай (исход) называется благоприятным событию А; если появление этого случая влечёт за собой появление события А.

Классическое определение вероятности.

Вероятность события А равна отношению числа случаев благоприятствующих ему, к общему числу случаев (исходов).

P (A) = m / n

P (A) - вероятность события А.

n - число всех исходов.

m - число благоприятных исходов.

Свойства вероятностей событий.

1. Вероятность любого события заключена между нулём и единицей (не больше нуля и ни меньше единицы).

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Р (∅) = 0

1. Из этих свойств, следует, что количество всех исходов n, всегда больше или равно количества благоприятных исходов.

0 ≤ Р(А) ≤ 1

0 % ≤ Р(А) ≤ 100 %

Количество благоприятных исходов m больше или равно нулю.

2. Если n = n;

Количество благоприятных случаев и количество всех исходов равны, то это вероятность достоверного события; и она равна единице.

События, вероятности которых очень велики (близки к единице) называются практически достоверными.

3. Если m = 0;

Количество благоприятных исходов равно нулю, то это вероятность невозможного события; и она равна нулю.

P (∅) = 0 / n = 0

События, вероятности которых очень малы (близки к нулю) называются практически невозможными.

Пример 22. 8

По статистике в городе Одессе в течение лета количество солнечных дней в среднем равно 70.

Оцените вероятность того, что приехав летом в Одессу на один день, гость застанет пасмурную погоду.

Решение:

Всего летом 3 месяца июнь, июль, август.

30 дней, 31 день, 31 день.

Посчитаем количество всех дней лета.

30 + 31 + 31 = 92 дня.

Солнечных дней семьдесят, а пасмурных равно:

92 - 70 = 22 дня.

Запишем формулу для вычисления частоты.

А - событие, что день пасмурный.

Р (А) = М - это частота.

n - это все испытания.

m - появление интересующего события.

P (A) = M = m / n

P (A) = M = 22 / 92 = 11 / 46

Ответ: 11 / 46

Пример 22. 9

Из большой партии лампочек выбрали 1 000, среди которых оказалось пять бракованных.

Оцените вероятность купить бракованную лампочку.

Решение:

n = 1 000 - все лампочки (все испытания; все исходы)

m = 5 - появление интересующего события (благоприятные исходы).

P (A) = M = m / n

P (A) = 5 / 1 000 = 0, 005

Ответ: 0, 005

Пример один.

На карточках изображены буквы. И карточки перевернуты, и их пять.

Какова вероятность вынуть карточку, на которой изображена цифра.

А - событие, что карточка с цифрой.

Р (А) = m / n.

n - все исходы.

n = 5

Так как карточек пять.

m - благоприятные исходы.

m = 0

Так как карточек с цифрами нет.

P (A) = 0 / 5 = 0

Это вероятность невозможного события А и она равна нулю.

Ответ: 0.

На карточках изображена буква М; и карточек пять штук.

Они перевёрнуты.

Какова вероятность вынуть карточку с буквой М.

А - событие, что карточка с буквой М.

Р (А) = m / n (все исходы).

n = 5

Так как карточек пять.

m - благоприятные исходы.

m = 5

Так как карточек с буквой M пять.

P (A) = 5 / 5

Это вероятность достоверного события А; и она равна единице.

Ответ: 1

Пример три.

При бросании игральной кости возможны шесть исходов.

Выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков.

Какова вероятность появления чётного числа очков.

А - событие, что выпало чётное число.

n - все исходы.

n = 6

Так как сторон у кости, которая является кубиком шесть и цифр шесть; и они расположены по порядку.

n - благоприятные исходы.

n = 3

Так как чётных чисел три.

P (A) = 3 / 6 = 1 / 2 = 0, 5

Ответ: 0, 5

2. Геометрическое определение вероятности.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G.

Событие А - это событие попадания точки плоскости в фигуру g.

Вероятность события А равнa отношению площади фигуры g площади фигуры G.

P (A) = Sg / SG

Фигура g называется благоприятной событию А.

Область, на которую распространяется геометрическая вероятность, может быть:

1. Одномерной (прямая, отрезок).

2. Двумерной (фигуры на плоскости).

3. Трёхмерной (тела в пространстве).

Обозначим меру (длину, площадь и объём) - mes.

mes - это область пространства.

Определение геометрической вероятности.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области благоприятствующей появлению события А к мере всей области.

Р (А) = mes g / mes G

А - событие, благоприятствующее области g.

n = mes g - область благоприятная событию А.

m = mes G - вся область.

l - длина отрезка или прямой.

S - площадь фигуры.

V - объём тела.

Значит, геометрическую вероятность можно записать тремя способами, в зависимости от того, что мы ищем.

P (A) = lg / lG - для длины

P (A) = Sg / SG - для площади

p (A) = Vg / VG - для объёма.

3. Примеры решения задач на классическую вероятность.

Пример 1.

На 500 шариковых ручек в среднем приходится 15 бракованных.

Какова вероятность, что взятая наугад ручка окажется исправной.

Дано:

n = 500

m = 500 - 15 = 485

Найти:

P (А) = ?

Решение:

А - событие, что ручка окажется исправной.

n = 500 (всех исходов).

m = 500 - 15 = 485 (благоприятных исходов).

Так как исправных ручек все остальные, кроме бракованных.

P (A) = n / m = 485 / 500 = 485 × 2 / 500 × 2 = 970 / 1 000 = 97 / 100 = 0, 97

Ответ: 0, 97

Пример 23. 19.

Набирая номер телефона своего товарища, Николай забыл:

1) Последнюю цифру.

2) Первую и последнюю цифру.

Какова вероятность, что с первой попытки наберётся правильный номер.

Решение:

Сколько в телефонном номере цифр - это не важно.

1) Мы знаем все цифры, кроме последней.

На её месте можно поставить 10 цифр.

А - событие, что Николай забыл последнюю цифру.

Значит, одну из всех цифр, он набрал правильно.

n = 10

Так как однозначных цифр 10, это:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

m = 1

Так как нам надо поставить одну нужную цифру на последнее место.

P (A) = m / n

P (A) = 1 / 10

2) B - событие, что забыл первую цифру.

А - событие, что забыл последнюю цифру.

Найдём вероятность события B.

Так как цифра первая, то нулём она быть не может. А то номер будет меньше чем нужно.

n = 9 (все цифры кроме нуля)

m = 1 (так как нам нужна одна цифра)

P (B) = 1 / 9

Найдём вероятность события А.

Так как цифра последняя, то она может быть любой и нулём тоже.

n = 10 (всего цифр).

m = 1 (так как цифра нужна одна).

Р (А) = 1 / 10

События A и B независимы; потому что наступление одного события не меняет вероятности наступления другого события.

А и В происходят одновременно; значит, их можно перемножить.

Р (А × В) = P (А) × P (B)

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

P (B) = 1 / 10 × 1 / 9 = 1 / 90

Ответ: 1) 1 / 10; 2) 1 / 90

Пример 20. 32.

Абонент забыл две последние цифры номера телефона и набирает их наугад.

Какова вероятность правильно набрать номер; если абонент помнит две последние цифры:

1) Нечётные.

2) Разные и чётные.

Решение:

1) А - событие, что абонент забыл предпоследнюю цифру и она нечётная.

B - событие, что абонент забыл последнюю цифру и она нечётная.

Найдём вероятность первого события.

n = 5

Так как нечётных цифр пять (1, 3, 5, 7, 9)

m = 1

Так как нужна цифра одна из них.

P (A) = m / n = 1 / 5

Найдем вероятность второго события.

n = 5 (так как нечётных цифр пять).

m = 1 (так как нужна цифра одна из них).

P (B) = m / n = 1 / 5

События A и B независимые и происходят одновременно; значит их нужно перемножить.

Р (А × В) = Р (А) × Р (B)

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P (А × B) = 1 / 5 × 1 / 5 = 1 / 25

Ответ: 1 / 25

2) А - событие, что предпоследняя цифра чётная.

B - событие, что последняя цифра чётная и отличная от предпоследней цифры.

Найдём вероятность первого события.

n = 5

Так как чётных цифр пять (2, 4, 6, 8, 0).

m = 1

Так как нам нужна одна из них.

Р (А) = m / n = 1 / 5

Найдём вероятность второго события.

n = 4

Так как одну цифру чётную мы уже выбрали. А их осталось четыре; потому что цифры отличные (разные).

m = 1

Так как нам нужна одна из них.

P (B) = m / n = 1 / 4

События A и B независимые и происходят одновременно; значит, их нужно перемножить.

Р (А × B) = P (A) × Р (В)

Р (A × B) = 1 / 5 × 1 / 4 = 1 / 20

Ответ: 1 / 20

Пример 23. 22.

Грани кубика раскрашены в красный или белый цвет (каждая грань в один цвет).

Вероятность выпадения красной грани равна 5 / 6; а вероятность выпадения белой грани равна 1 / 6.

Сколько красных и сколько белых граней у кубика.

Решение:

Всего у кубика 6 граней.

n = 6 (всего исходов).

Так как вероятность выпадения красной грани равна:

P (A) = 5 / 6 = m / n

m = 5 (благоприятных исходов).

Красных граней пять штук.

Так как вероятность выпадения белой грани равна:

P (B) = 1 / 6 = m / n

m = 1 (благоприятных исходов).

Белых граней одна штука.

Ответ: 5 штук; 1 штука.

Пример 23. 23.

В коробке лежат четыре синих и несколько красных шаров.

Сколько красных шаров в коробке; если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется синим равна 2 / 7.

Решение:

Пусть x - красных шаров в коробке.

A - событие, что вынули синий шар.

Р (A) = m / n

n = x + 4 (всего шаров).

m = 4 (синих шаров).

4 / (x + 4) = 2 / 7

2 (x + 4) = 4 × 7

х + 4 = 4 × 7 / 2

x + 4 = 14

x = 14 - 4

x = 10 (красных шаров).

Ответ: 10 шаров.

Номер 23. 24

Среди двухзначных чисел наугад выбирают одно число.

Какова вероятность того, что:

1) Цифра в разряде десятков больше чем цифра в разряде единиц.

2) Цифры в разрядах десятков и единиц равны (одинаковы).

3) Это число делится нацело на 9.

Решение:

Первый способ.

А - событие, что цифра в разряде десятков больше чем цифра в разряде единиц.

Найдём все исходы.

Двузначных чисел всего 90.

n = 90 (всего исходов).

Найдём благоприятные исходы.

Переберём все цифры.

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,

21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91,

32, 42, 52, 62, 72, 82, 92,

43, 53, 63, 73, 83, 93,

54, 64, 74, 84, 94,

65, 75, 85, 95,

76, 86, 96,

87, 97, 98.

m = 45 цифр (благоприятных исходов).

P (A) = 45 / 90 = 1 / 2

Ответ: 1 / 2

Второй способ.

Благоприятные исходы можно найти по правилу суммы.

Первый элемент можно выбрать n1 способами; второй элемент можно выбрать n2 способами, … n - ый элемент можно выбрать nk способами.